轉載 單目攝像機標定說明

轉自https://blog.csdn.net/xuelabizp/article/details/50314633

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1.針 孔 攝 像 機 模型

• 在介紹攝像機標定參數以前，須要先簡單說一下針孔 攝 像 機的原理。投影平面到小孔的距離爲焦距f，物體到小孔的距離爲Z，其中物體和投影是倒立類似的關係，下圖爲針 孔 攝像機的投影示意圖：

• 若是按照實際的投影關係創建座標系，那麼投影座標和物體座標的符號老是相反的，考慮起來不太方便，因而在「數學上」把投影平面平移到其關於小孔對稱的位置，這樣投影座標和物體座標符號就相同了，示意圖以下：

• 根據三角形類似的原理，能夠列出以下等式：
  fZ=l投影l物體 $\frac{f}{Z}=\frac{l_{投影}}{l_{物體}}$Zf​=l物體​l投影​​

2.攝像機中的座標系

• 攝像機中的座標系有4個，均爲右手座標系，分別記爲{world}，{camera}，{picture}，{pixel}，下圖所示列出了{camera}，{picture}和{pixel}座標系：

• {world}，{camera}，{picture}和{pixel}座標系的座標用下標來區分，分別是W，c，p，pix

• {world}，{camera}，{picture}座標系單位爲長度，通常爲mm；{pixel}座標系單位爲像素，通常爲pix

• {world}座標系爲世界座標系，能夠任意指定，其餘座標系都有明確的定義

• {camera}座標系爲攝像機座標系，原點在小孔的位置，z軸與光軸重合，Xc軸和Yc軸分別和投影面兩邊平行

• {picture}座標系爲圖像座標系，光軸和投影面的交點爲原點，Xp軸和Yp軸分別和投影面兩邊平行

• {pixel}座標系爲像素座標系，從小孔向投影面方向看，投影面的左上角爲原點Opix，Xpix軸和Ypix軸和投影面兩邊重合

3.各個座標系的座標轉換

3.1{world}到{camera}

設某點在{world}座標系中的座標爲  PW=[xW,yW,zW,]T ${\ P_W = [x_W,y_W,z_W,]^T}$ PW​=[xW​,yW​,zW​,]T，該點在{camera}座標系中的座標爲 Pc=[xc,yc,zc,]T $P_c = [x_c,y_c,z_c,]^T$Pc​=[xc​,yc​,zc​,]T，則有
Pc=[R0T1]PW(1) $P_c=\begin{bmatrix}R & T \\0 & 1\end{bmatrix}P_W\tag{1}$Pc​=[R0​T1​]PW​(1)
其中R是正交旋轉矩陣：
R=⎡⎣⎢⎢⎢r11r21r31r12r22r32r13r23r33⎤⎦⎥⎥⎥(2) $R=\begin{bmatrix}r_{11} & r_{12}&r_{13}\\r_{21} & r_{22}&r_{23}\\r_{31} & r_{32}&r_{33}\\\end{bmatrix}\tag{2}$R=⎣⎡​r11​r21​r31​​r12​r22​r32​​r13​r23​r33​​⎦⎤​(2)
T是平移矩陣：
T=[txtytz]T(3) $T=\begin{bmatrix}t_x&t_y&t_z\end{bmatrix}^T\tag{3}$T=[tx​​ty​​tz​​]T(3)
肯定R須要3個參數，肯定T須要3個參數，共需6個參數，這6個參數稱爲攝像機的外部參數。

3.2{camera}到{picture}

根據三角形類似原理，可得
⎧⎩⎨⎪⎪xp=fxczcyp=fyczc(4) $\left\{\begin{aligned}x_p=f\frac{x_c}{z_c}\\y_p=f\frac{y_c}{z_c}\end{aligned}\right.\tag{4}$⎩⎪⎨⎪⎧​xp​=fzc​xc​​yp​=fzc​yc​​​(4)
寫成矩陣形式
zc⎡⎣⎢⎢⎢xpyp1⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢f000f0001000⎤⎦⎥⎥⎥⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎢xcyczc1⎤⎦⎥⎥⎥⎥(5) $z_c\begin{bmatrix}x_p\\y_p\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_c\\y_c\\z_c\\1\end{bmatrix}\tag{5}$zc​⎣⎡​xp​yp​1​⎦⎤​=⎣⎡​f00​0f0​001​000​⎦⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​xc​yc​zc​1​⎦⎥⎥⎤​(5)

3.3{picture}到{pixel}

sx $s_x$sx​表示Xpix方向上單位mm的像素數，單位是pix/mm
sy $s_y$sy​表示Ypix方向上單位mm的像素數，單位是pix/mm
x0,y0 $x_0,y_0$x0​,y0​表示投影平面中心在{pixel}中的座標，則有
{xpix=x0+xp⋅sxypix=y0+yp⋅sy(6) $\left\{\begin{aligned}x_{pix}=x_0+x_p\cdot s_x\\y_{pix}=y_0+y_p\cdot s_y\end{aligned}\right.\tag{6}${xpix​=x0​+xp​⋅sx​ypix​=y0​+yp​⋅sy​​(6)
寫成矩陣形式
⎡⎣⎢⎢⎢xpixypix1⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢sx000sy0x0y01⎤⎦⎥⎥⎥⋅⎡⎣⎢⎢⎢xpyp1⎤⎦⎥⎥⎥(7) $\begin{bmatrix}x_{pix}\\y_{pix}\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}s_x&0&x_0\\0&s_y&y_0\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_p\\y_p\\1\end{bmatrix}\tag{7}$⎣⎡​xpix​ypix​1​⎦⎤​=⎣⎡​sx​00​0sy​0​x0​y0​1​⎦⎤​⋅⎣⎡​xp​yp​1​⎦⎤​(7)

3.4{world}到{pixel}

記
{fx=f⋅sxfy=f⋅sy(8) $\left\{\begin{aligned}f_x=f\cdot s_x\\f_y=f\cdot s_y\end{aligned}\right.\tag{8}${fx​=f⋅sx​fy​=f⋅sy​​(8)
分別表示焦距f在Xpix和Ypix方向上的等效焦距，單位是pix，結合（1）（5）（7）（8）式可得
zc⎡⎣⎢⎢⎢xpixypix1⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢fx000fy0x0y01000⎤⎦⎥⎥⎥⋅[R0T1]⎡⎣⎢⎢⎢⎢xWyWzW1⎤⎦⎥⎥⎥⎥(9) $z_c\begin{bmatrix}x_{pix}\\y_{pix}\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_x&0&x_0&0\\0&f_y&y_0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}R & T \\0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_W\\y_W\\z_W\\1\end{bmatrix}\tag{9}$zc​⎣⎡​xpix​ypix​1​⎦⎤​=⎣⎡​fx​00​0fy​0​x0​y0​1​000​⎦⎤​⋅[R0​T1​]⎣⎢⎢⎡​xW​yW​zW​1​⎦⎥⎥⎤​(9)

3.5小結

單目攝像機須要標定參數就是 fx,fy,x0,y0 $f_x,f_y,x_0,y_0$fx​,fy​,x0​,y0​這4個參數

• fx,fy,x0,y0 $f_x,f_y,x_0,y_0$fx​,fy​,x0​,y0​叫作攝像機的內部參數，由於這些參數只和攝像機有關係，和具體的攝像場景，和世界座標系沒有關係
• R $R$R和 T $T$T內部一共有6個獨立的參數，叫作外部參數。外部參數是描述世界座標系和攝相機座標系的參數，因此只要世界座標系和攝相機座標系的相對位姿發生了變化， R $R$R和 T $T$T就會改變，甚至能夠說，每一張圖片的 R $R$R和 T $T$T都不同
• 單目攝像機標定就是已知像素座標系下的座標 Ppix $P_{pix}$Ppix​和世界座標系下的座標 PW $P_W$PW​，列方程組求解內部參數

4.攝像機透鏡畸變

因爲針孔能夠透過的光線太少，成像會不清楚，因此每每都會加上凸透鏡匯聚更多的光線。可是加上凸透鏡之後，會致使成像畸變，因此還須要校訂透鏡畸變。透鏡的畸變主要分爲兩類，一類是徑向畸變，一類是切向畸變

4.1徑向畸變

徑向畸變會產生「魚眼」現象。成像中心處徑向畸變爲0，徑向畸變隨着與成像中心距離增大而增大，在圖像邊緣處達到最大徑向畸變。經常用偶次冪的泰勒公式描述徑向畸變
{xcerrected=x(1+k1r2+k2r4+k3r6)ycerrected=y(1+k1r2+k2r4+k3r6)(10) $\left\{\begin{aligned}x_{cerrected}=x(1+k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6)\\y_{cerrected}=y(1+k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6)\end{aligned}\right.\tag{10}${xcerrected​=x(1+k1​r2+k2​r4+k3​r6)ycerrected​=y(1+k1​r2+k2​r4+k3​r6)​(10)

4.2切向畸變

切向畸變由透鏡和成像平面不平行引發。經常使用以下公式描述
{xcerrectedycerrected=x+[2p1y+p2(r2+2x2)]=y+[p1(r2+2y2)+2p2x](11) $\left\{\begin{aligned}x_{cerrected}&=x+[2p_1y+p_2(r^2+2x^2)]\\y_{cerrected}&=y+[p_1(r^2+2y^2)+2p_2x]\end{aligned}\right.\tag{11}${xcerrected​ycerrected​​=x+[2p1​y+p2​(r2+2x2)]=y+[p1​(r2+2y2)+2p2​x]​(11)

4.3小結

單目攝像機透鏡畸變校訂須要肯定的就是 k1,k2,k3,p1,p2 $k_1,k_2,k_3,p_1,p_2$k1​,k2​,k3​,p1​,p2​這5個參數，若是「魚眼」現象不明顯的話，經常使用 k1,k2 $k_1,k_2$k1​,k2​來校訂徑向畸變

5.總結

• 單目攝像機標定和校訂最終將得到9個參數，內部參數是4個，畸變校訂參數是5個
• 單目攝像機標定經常使用的工具備OpenCV庫和Matlab攝像機標定工具箱
• 具體如何使用OpenCV標定單目攝像機（含源代碼），請參考下一篇博文機器視覺學習筆記（5）——基於OpenCV的單目攝像機標定