線性代數應該這樣學6：積空間，商空間，多項式

在本系列中，個人我的看法將使用斜體標註。每篇文章的最後，我將選擇摘錄一些例題。因爲文章是我獨自整理的，缺少審閱，不免出現錯誤，若有發現歡迎在評論區中指正。

Part 1：積空間

積空間與和空間都是把多個向量空間聯繫在一塊兒的工具，最後也會給出它們的聯繫。

向量空間的積(product of vector spaces) 設\(V_1,\cdots,V_m\)都爲\(\mathbb{F}\)上的向量空間，規定它們的積爲

\[V_1\times\cdots \times V_m=\{(v_1,\cdots,v_m):v_1\in V_1,\cdots,v_m\in V_m \}. \]

又被稱爲笛卡爾直積，在規定了向量空間積上的加法、標量乘法後，向量空間的積空間也成爲向量空間。

• \(V_1\times\cdots\times V_m\)上的加法：

  \[(u_1,\cdots,u_m)+(v_1,\cdots,v_m)=(u_1+v_1,\cdots,u_m+v_m). \]

• \(V_1\times \cdots\times V_m\)上的乘法：

  \[\lambda(v_1,\cdots,v_m)=(\lambda v_1,\cdots,v_m). \]

要把積空間上的元素與\(m\)元組區分開。\(m\)元組中每個份量都是\(\mathbb{F}\)上的數，積空間上的元素每個份量都是\(V_i(\mathbb{F})\)上的向量，所以兩者的維數是不一樣的。

積的維數等於維數的和 設\(V_1,\cdots,V_m\)都是有限維向量空間，則\(V_1\times \cdots\times V_m\)都是有限維的，且

\[\dim(V_1\times \cdots\times V_m)=\dim V_1+\cdots+\dim V_m. \]

證實這個結論，只須要找到\(V_1\times\cdots V_m\)的一組基便可。設\(e_{i,k}\)是\(V_i\)上的第\(k\)個基向量，則

\[\begin{matrix} (e_{1,1},\cdots,0) & \cdots & (e_{1,\dim V_1},\cdots,0) \\ \vdots & & \vdots \\ (0,\cdots,e_{m,1}) & \cdots & (0,\cdots,e_{m,\dim V_m}) \end{matrix} \]

以上向量陣中第\(i\)行擁有\(\dim V_i\)個元素，且容易證實它們線性無關、張成\(V_1\times\cdots\times V_m\)，因此是積空間的一組基。

積空間與和 設\(U_1,\cdots,U_m\)都是\(V\)的子空間，線性映射\(\Gamma:U_1\times\cdots\times U_m\to U_1+\cdots+U_m\)定義爲

\[\Gamma(u_1,\cdots,u_m)=u_1+\cdots+u_m, \]

則\(U_1+\cdots+U_m\)是直和當且僅當\(\Gamma\)是單射。

單射表明\(\mathrm{null}\Gamma=\{(0,\cdots,0)\}\)，即\(u_1+\cdots+u_m=0\)當且僅當每個\(u_i=0\)，故\(0\)的表示方式惟一，\(U_1+\cdots+U_m\)是直和。反之相似。

和爲直和的條件 設\(V\)是有限維的，且\(U_1,\cdots,U_m\)均爲\(V\)的子空間，則\(U_1+\cdots+U_m\)是直和當且僅當

\[\dim (U_1+\cdots+U_m)=\dim U_1+\cdots+\dim U_m. \]

此爲上一條的直接推論，上面\(\Gamma\)是滿的顯然。

先證必要性。只要\(U_1+\cdots+U_m\)是直和，則\(\Gamma\)是單射，\(\Gamma\)是積空間與和空間的同構，它們維數相同，就有

\[\dim(U_1+\cdots+U_m)=\dim(U_1\times\cdots\times U_m)=\dim U_1+\cdots+\dim U_m. \]

再證充分性。只要這個維數公式成立，則和空間與積空間是同構的，由線性映射基本定理，

\[\dim (U_1\times\cdots\times U_m)=\dim\mathrm{null}\Gamma+\dim\mathrm{range}\Gamma, \]

又\(\Gamma\)是滿的，因此\(\dim\mathrm{null}\Gamma=0\)，證實了\(\Gamma\)是單射，因而\(U_1+\cdots+U_m\)是直和。

Part 2：商空間

商空間能夠看做是線性空間的擴展，使非線性空間也稱爲某個集合中的元素，並構成一個線性空間。

向量與子空間的和 設\(v\in V\)，\(U\)是\(V\)的子空間，則\(v+U\)是\(V\)的子集，定義爲

\[v+U=\{v+u:u\in U \}. \]

顯然，若是\(v\notin U\)，則\(0\notin v+U\)，故此時\(v+U\)不是向量空間。

仿射子集(affine subset) \(V\)的仿射子集是\(V\)的形如\(v+U\)的子集，其中\(v\in V\)，\(U\)是\(V\)的子空間。

平行(parallel) 對於\(v\in V\)和\(V\)的子空間\(U\)，稱仿射子集\(v+U\)平行於\(U\)。

在二維或者三維空間上，平行有直觀的幾何意義，但此時給出的平行必須有相同的維數。

商空間(quotient space) 設\(U\)是\(V\)的子空間，則\(V/U\)是指\(V\)的全部平行於\(U\)的仿射子集構成的集合，即

\[V/U=\{v+U:v\in V \}. \]

典型例子是，齊次線性方程組的解空間構成一個子空間，對應的非齊次線性方程組的解空間，就是平行於上述子空間的一個仿射子集，全部這樣的仿射子集構成商空間。因此說，商空間並不是一個單獨的集合，而是多個集合構成的集合。而且，商空間裏的元素並不全是向量空間。

相關結論：設\(U\)是\(V\)的子空間，\(v,w\in V\)，則如下陳述等價：

1. \(v-w\in U\)；
2. \(v+U=w+U\)；
3. \((v+U)\cap (w+U)\ne \emptyset\)。

在低維空間上，這是很好理解的，給出了兩個平行仿射子集相等的條件。

\(1\Rightarrow 2\)：若\(v-w=u\in U\)，則\(\forall v'\in v+U\)，存在\(u'\in U\)使得\(v'=v+u'=w+u+u'\)，從\(u+u'\in U\)得\(v'\in w+U\)，這就證實了\(v+U\subset w+U\)，反之可得\(w+U\subset v+U\)，因此

\[v+U=w+U. \]

\(2\Rightarrow 3\)：顯然，由於\(v\in v+U\)，因此\(v+U\ne \emptyset\)，那麼相同的集合天然有相交元素。

\(3\Rightarrow 1\)：若\(u\in v+U\)且\(u\in w+U\)，則\(\exists u_1,u_2\in U\)使得

\[u=v+u_1=w+u_2, \]

因此

\[v-w=u_2-u_1\in U. \]

爲了使商空間是向量空間，給出商空間上的加法和乘法定義。

• 商空間上的加法：\((v+U)+(w+U)=v+w+U\)；
• 商空間上的標量乘法：\(\lambda(v+U)=\lambda v+U\)。

上述定義不能保證是有意義的，若是按照某個定義，兩個相同的元素相加得不出肯定的結果，則此定義是沒有意義的。下證商空間上的加法和標量乘法是有意義的。

證實商空間上的加法有意義，即證實\(\forall v,w,\hat v,\hat w\)，若是

\[v+U=\hat v+U,\quad w+U=\hat w+U, \]

則

\[v+w+U=\hat v+\hat w+U. \]

由相關結論，有\(v-\hat v\in U,w-\hat w\in U\)，因此

\[v+w-(\hat v+\hat w)=(v-\hat v)+(w-\hat w)\in U, \]

故\((v+w+U)=(\hat v+\hat w+U)\)成立。

證實商空間上的標量乘法有意義，即證實\(\forall v_1,v_2,\lambda\)，若是

\[v_1+U=v_2+U, \]

則

\[\lambda v_1+U=\lambda v_2+U. \]

依然能夠由相關結論給出證實。

商空間是向量空間 在上述的加法和乘法定義下，商空間是向量空間。

加法單位元是\(0+U=U\)，知足對任何\(v+U\)，有

\[(v+U)+(0+U)=(v+0)+U=v+U. \]

加法封閉性與標量乘法封閉性，本質是\(V\)上的封閉性，只要寫出條件就容易證實。

合理的運算定義比起驗證向量空間更重要，即好的開端是成功的一半。

商映射(quotient map) 設\(U\)是\(V\)的子空間，則商映射定義爲\(\pi:V\to V/U\)，它使得\(\forall v\in V\)，

\[\pi(v)=v+U. \]

商映射中必須規定好\(U\)和\(V\)，因爲商空間上運算的定義，商映射是一個線性映射。

\[\pi(v+w)=v+w+U=(v+U)+(w+U)=\pi(v)+\pi(w),\\ \pi(\lambda v)=\lambda v+U=\lambda(v+U)=\lambda\pi(v). \]

容易驗證\(\pi\)是滿射，且\(\forall u\in U\)，\(\pi(u)=\pi(0)\)。由商映射的線性映射基本定理，有

\[\dim V=\dim\mathrm{null}\pi+\dim\mathrm{range}\pi=\dim U+\dim(V/U). \]

因而獲得商空間的維數爲

\[\dim(V/U)=\dim V-\dim U. \]

事實上，因爲\(U\)是\(V\)的子集，因此\(U\)的基能夠擴展成爲\(V\)的基，設新增長的部分是\(v_1,\cdots,v_n\)，則則商空間的一組基就是\(\pi(v_1),\cdots,\pi(v_n)\)。

如今來看這個困擾人的\(\tilde T\)線性映射，要理解這個\(\tilde T\)，能夠聯想線性方程組。咱們前面說過，商空間能夠當作是齊次線性方程組的解空間的平行仿射子集構成的集合，那麼，\(V/(\mathrm{null}T)\)裏的每個元素，事實上對應着一個非齊次線性方程組的解空間，\(v+\mathrm{null}T\)中，這個\(v\)表示的就是非齊次線性方程組的特解，\(Tv\)就對應着右端係數列。\(\tilde T\)將\(V\)上任一貫量，映射到給定線性方程組下的右端係數向量。

\(\tilde T\) 設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，定義\(\tilde T:V/(\mathrm{null}T)\to W\)爲

\[\tilde T(v+\mathrm{null}T)=Tv. \]

由斜體部分的分析，\(\tilde T\)是有意義的，而且仍是線性映射，下面咱們來證實它。

若是\(v+\mathrm{null}T=w+\mathrm{null}T\)，則\(v-w\in\mathrm{null}T\)，因此

\[\tilde T(v+\mathrm{null}T)=Tv=Tv+T(w-v)=Tw=\tilde T(w+\mathrm{null}T). \]

這說明\(\tilde T\)是合理的。下證實\(\tilde T\)仍是一個線性映射。

加性：

\[\begin{aligned} &\quad \tilde T((v+\mathrm{null}T)+(w+\mathrm{null}T)) \\ &=\tilde T(v+w+\mathrm{null}T) \\ &=T(v+w) \\ &=Tv+Tw\\ &=\tilde T(v+\mathrm{null}T)+\tilde T(w+\mathrm{null}T). \end{aligned} \]

齊性：

\[\tilde T(\lambda(v+\mathrm{null}T))=\tilde T(\lambda v+\mathrm{null}T)=T(\lambda v)=\lambda Tv=\lambda \tilde T(v+\mathrm{null}T). \]

線性性得證。

\(\tilde T\)的零空間和值域 設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，則

1. \(\mathrm{null}\tilde T=\mathrm{null}T\)，即\(\tilde T\)是單射。（但這裏不能說\(\tilde T\)與\(T\)有相同的零空間，由於\(\mathrm{null}T\)只是\(V/\mathrm{null}T\)中的一個元素）
2. \(\mathrm{range}\tilde T=\mathrm{range}T\)，即\(T\)與\(\tilde T\)有相同的值域。
3. \(V/\mathrm{null}T\)與\(\mathrm{range}T\)同構。

一、設\(v\in V\)，且\(v+\mathrm{null}T\in \mathrm{null}\tilde T\)。則

\[\tilde T(v+\mathrm{null}T)=Tv=0, \]

則\(v\in\mathrm{null}T\)，因此

\[\mathrm{null}\tilde T=v+\mathrm{null}T=0+\mathrm{null}T=\mathrm{null}T. \]

二、\(\forall v\in V\)，

\[\tilde T(v+\mathrm{null}T)=Tv\in\mathrm{range}T, \]

因此\(\mathrm{range}\tilde T\subset \mathrm{range}T\)。另外一方面，\(\forall w\in \mathrm{range}T\)，\(\exists v\in V\)使得\(Tv=w\)，則

\[\tilde T(v+\mathrm{null}T)=Tv=w, \]

因此\(w\in \mathrm{range}\tilde T\)，也即\(\mathrm{range}T=\mathrm{range}\tilde T\)。

三、對\(\tilde T\)，將其視爲到\(\mathrm{range}T\)上的映射，則\(\tilde T\)是一個同構。

另外，若是\(\mathrm{range}T\)是有限維的，則由線性映射基本定理有

\[\dim(V/\mathrm{null}T)=\dim\mathrm{null}\tilde T+\dim\mathrm{range}\tilde T=\dim\mathrm{range}T, \]

這就說明\(V/\mathrm{null}T\)與\(\mathrm{range}T\)維數相同，即同構。

Part 3：多項式

因爲線性泛函部分的內容較多，調換一下順序，對結構不影響。多項式部分，掌握基礎結論便可，證實不是線性代數方面的重點。

實部(real part)與虛部(imaginary part) 設\(z=a+b\mathrm{i}\)，則記\(z\)的實部和虛部爲

\[\Re(z)=a,\quad \Im(z)=b. \]

• \(\forall z\in\mathbb{C}\)，\(z=\Re(z)+\Im(z)\mathrm{i}\)。

複共軛(complex conjugate) 設\(z\in\mathbb{C}\)，則記\(z\)的複共軛爲

\[\bar z=\Re(z)-\Im(z)\mathrm{i}. \]

絕對值(absolute value) 設\(z\in\mathbb{C}\)，則記\(z\)的絕對值爲

\[|z|=\sqrt{\Re(z)^2+\Im(z)^2}. \]

複數的相關性質：

1. \(z+\bar z=2\Re(z)\)。

2. \(z-\bar z=2\Im(z)\mathrm{i}\)。

3. \(z\bar z=|z|^2\)。

4. 複共軛具備可加性和可乘性，即

   \[\overline{z+w}=\bar z+\bar w,\\ \overline{zw}=\bar z\bar w. \]

5. \(\bar{\bar z}=z\)。

6. 複數的實部和虛部有界於\(|z|\)，即

   \[\Re(z)\le |z|,\quad \Im(z)\le |z|. \]

7. 複共軛的絕對值與原複數的絕對值相等，即

   \[|\bar z|=|z|. \]

8. \(|wz|=|w||z|\)。

9. 三角不等式：

   \[|w+z|\le |w|+|z|. \]

零函數 設\(a_0,\cdots,a_m\in\mathbb{F}\)，若\(\forall z\in\mathbb{F}\)，均有

\[\sum_{j=0}^ma_jz^j=0, \]

則\(a_0=\cdots=a_m=0\)。

次數(degree) 若一個多項式能夠寫成

\[p(z)=\sum_{j=1}^m a_jz^j,\quad a_m\ne 0 \]

的形式，則稱此多項式的次數爲\(m\)，即\(\mathrm{deg}p=m\)。

• 規定\(0\)多項式的次數爲\(-\infty\)，\(\forall m\in\mathbb{Z}\)，有\(-\infty <m\)和\(-\infty +m=-\infty\)。
• \(\mathrm{deg}(pq)=\mathrm{deg}p+\mathrm{deg}q\)。

多項式的帶餘除法 設\(p,s\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，\(s\ne 0\)，則存在惟一的多項式\(q,r\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，使得

\[p=sq+r,\quad \mathrm{deg}r<\mathrm{deg}s. \]

這個定理是下面結論的基礎，且證實方式可使用線性代數的方法，所以摘錄於此。

設\(\mathrm{deg}p=n\)，\(\mathrm{deg}s=m\)。若是\(n<m\)，則取\(q=0,r=p\)，帶餘除法就成立。

當\(n\ge m\)時，定義\(T:\mathcal P_{n-m}(\mathbb{F})\times \mathcal P_{m-1}(\mathbb{F})\to \mathcal P_n(\mathbb{F})\)爲

\[T(q,r)=sq+r. \]

要驗證此\(T\)是既單又滿的。

先證實\(T\)是單射，若\((q,r)\in\mathrm{null}T\)，則\(sq+r=0\)，這代表\(q=0\)且\(r=0\)，不然\(\mathrm{deg}(sp)=nm\ge m>\mathrm{deg}r\)，不可能有\(sq=-r\)。因而\(T\)是單射。

再證實\(T\)是滿射，由線性映射基本定理，對\(T\)有

\[\dim(\mathcal P_{n-m}(\mathbb{F})\times\mathcal P_{n-1}(\mathbb{F}))=n+1=\dim\mathrm{range}(T)=\dim\mathcal P_n(\mathbb{F}), \]

所以\(T\)是滿射，結論得證。

零點(zero) 若是對\(\lambda \in\mathbb{F}\)有\(p(\lambda)=0\)，則稱\(\lambda\)是\(p\in\mathcal P(\mathbb{F})\)的零點。

因式(factor) 若是存在多項式\(q\in\mathcal P(\mathbb{F})\)使得\(p=sq\)，則稱\(s\)是\(p\)的因式。

零點與因式的對應關係 設\(p\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，\(\lambda \in\mathbb{F}\)，則\(p(\lambda)=0\)當且僅當存在多項式\(q\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，使得對每一個\(z\)，都有

\[p(z)=(z-\lambda)q(z). \]

多項式零點的個數上限 設\(p\in\mathcal P(\mathbb{F})\)，\(\mathrm{deg}p=m\ge 0\)，則\(p\)在\(\mathbb{F}\)中至多有\(m\)個互不相同的零點。

代數學基本定理 每一個很是數的復係數多項式都有零點。

\(\mathbb{C}\)上多項式的分解 若\(p\in\mathcal P(\mathbb{C})\)是很是數多項式，則\(p\)能夠惟一分解爲

\[p(z)=c(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m), \]

其中\(c,\lambda_1,\cdots,\lambda_m\in\mathbb{C}\)。這裏的惟一性是不計因式順序的。

\(\mathbb{R}\)上多項式的零點成對出現 設\(p\in\mathcal P(\mathbb{C})\)是實係數多項式，若\(\lambda\in\mathbb{C}\)是\(p\)的零點，則\(\bar \lambda\)也是\(p\)的零點。

\(\mathbb{R}\)上二次多項式的分解 設\(b,c\in\mathbb{R}\)，則存在\(\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}\)使得分解式

\[x^2+bx+c=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2) \]

成立的充要條件是\(b^2-4c>0\)。

\(\mathbb{R}\)上多項式的分解 設\(p\in\mathcal P(\mathbb{R})\)是很是數多項式，則\(p\)能夠惟一分解爲

\[p(x)=c(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_m)(x^2+b_1x+c_1)\cdots(x^2+b_Mx+c_M), \]

這裏\(c,\lambda_1,\cdots,\lambda_m,b_1,c_1,\cdots,b_M,c_M\in\mathbb{R}\)，且\(\forall j=1,\cdots,M\)，有\(b_j^2<4c_j\)。

例題

第一題（3.E 1） 設\(T\)是\(V\)到\(W\)的函數，定義\(T\)的圖爲\(V\times W\)的以下子集：

\[G_T=\{(v,Tv)\in V\times W:v\in V \}. \]

證實\(T\)是線性映射當且僅當\(T\)的圖是\(V\times W\)的子空間。

必要性：若\(T\)是線性映射，則\(\forall (v,Tv),(w,Tw)\in G_T\)，

\[(v,Tv)+(w,Tw)=(v+w,Tv+Tw)=(v+w,T(v+w))\in G_T,\\ \lambda (v,Tv)=(\lambda v,\lambda Tv)=(\lambda v,T(\lambda v))\in G_T,\\ (0,0)=(0,T(0))\in G_T. \]

充分性：若\(G_T\)是子空間，則

\[(v,Tv)+(w,Tw)=(v+w,Tv+Tw)\in G_T, \]

即\(T(v+w)=Tv+Tw\)；

\[\lambda(v,Tv)=(\lambda v,\lambda Tv)\in G_T, \]

即\(T(\lambda v)=\lambda Tv\)。

第二題（3.E 8） 證實\(V\)的非空子集\(A\)是\(V\)的仿射子集當且僅當對全部的\(v,w\in A\)和\(\lambda \in\mathbb{F}\)，都有

\[\lambda v+(1-\lambda )w\in A. \]

即說明仿射子集具備凸組合性。

必要性：設\(A=v_0+U\)，\(v_0\in V\)，則

\[v=v_0+u_1,\quad w=v_0+u_2,\quad u_1,u_2 \in A. \]

因而

\[\lambda v+(1-\lambda )w=v_0+(\lambda u_1+(1-\lambda )u_2)\in A. \]

充分性：設\(u=w-v\)，取\(U=\mathrm{span}(u)\)，則\(w=u+v\)。而

\[\lambda v+(1-\lambda )w=\lambda v+(1-\lambda )u+(1-\lambda)v=v+(1-\lambda)u\in v+U. \]

因此取\(A=v+\mathrm{span}(U)\)，即證實\(V\)是仿射子集。