線性代數應該這樣學4：線性映射，單射與滿射，零空間與像空間，線性映射基本定理

時間 2021-02-02

標籤數組 ide 函數學習 spa 對象 class 基礎欄目應用數學简体版

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在本系列中，個人我的看法將使用斜體標註。每篇文章的最後，我將選擇摘錄一些例題。因爲文章是我獨自整理的，缺少審閱，不免出現錯誤，若有發現歡迎在評論區中指正。數組

Part 1：線性映射

線性映射讓線性代數再也不是靜態的一門學科，有了線性映射，線性空間中的向量就能夠動起來。這一章同時也在告訴讀者，向量不僅是狹義的數組。ide

線性映射(linear map) 從\(V\)到\(W\)的線性映射是具備下列性質的函數\(T:V\to W\)：函數

加性(additivity)：\(\forall u,v\in V\)，有\(T(u+v)=Tu+Tv\)。
齊性(homogeneity)：\(\forall \lambda \in\mathbb{F}\)和\(v\in V\)，有\(T(\lambda v)=\lambda (Tv)\)。

注意線性映射的加性和齊性是缺一不可的，它們並沒有相互包含的關係。學習

線性映射的集合 \(\mathcal L(V,W)\)表明從\(V\)到\(W\)的全部線性映射。spa

在\(\mathcal L(V,W)\)中，每個線性映射\(T\)是一個集合內的元素，要搞清楚集合的基本元素是什麼。對象

因爲\(V,W\)都是線性空間，因此不可避免地要討論線性空間的維數和基。能夠直觀地想象一下，若是一個線性映射\(T\)肯定了集合中每個基向量\(v_1,\cdots,v_n\)的取值，那麼\(V\)中的任何向量\(v\)在\(W\)中的像\(Tv\)也隨之肯定，由於\(v\)只能由\(v_1,\cdots,v_n\)惟一表示。這個性質直接引出了下面的定理。ci

線性映射與基 設\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基，\(w_1,\cdots,w_n\in W\)，則存在惟一一個線性映射\(T:V\to W\)使得對任意\(j=1,\cdots,n\)，都有it

\[Tv_j=w_j. \]

這裏須要先說明兩個線性映射相等指的是什麼，若是兩個線性映射把任意\(V\)中的\(v\)都映射到同一個像上，就稱它們是同一個線性映射。從咱們剛纔的分析來看，只要兩個線性映射對全部基的成像都相同，它們就是同一個線性映射。class

首先證實這樣的線性映射存在。定義\(T\)爲基礎

\[T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=c_1w_1+\cdots+c_nw_n, \]

顯然只要取\(c_i=1\)，當\(j\ne i\)時\(c_j=0\)，就有\(Tv_j=w_j\)。下驗證\(T\in\mathcal L(V,W)\)，即知足加性和齊性。首先\(\forall \lambda \in\mathbb{F}\)，\(v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n\)，有

\[T(\lambda v)=T(\lambda c_1v_1+\cdots+\lambda c_nv_n)=\lambda T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=\lambda Tv, \]

另外對於\(u=a_1v_1+\cdots+a_nv_n\)，有

\[T(u+v)=(a_1+c_1)Tv_1+\cdots+(a_n+c_n)Tv_n=Tu+Tv. \]

這裏寫得很簡略，展開之後能夠當即得出，就不詳敘了。接下來要證實這樣的線性映射是惟一的，即任何\(S\in \mathcal L(V,W)\)，若是它知足\(Sv_j=w_j\)，則\(\forall v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n\)，有

\[Sv=c_1Sv_1+\cdots+c_nSv_n=c_1w_1+\cdots+c_nw_n=Tv, \]

故\(S=T\)。

剛纔咱們所構建的\(\mathcal L(V,W)\)只是一個集合，一個集合若是不具備運算，那麼集合內部就沒有結構，只是一個元素的集合體。如今，咱們能夠給\(\mathcal L(V,W)\)內定義運算，從而使它具備更多的性質。

\(\mathcal L(V,W)\)上的加法和標量乘法：

定義\(S+T\)爲\(V\)到\(W\)的線性映射，知足對一切\(v\)都有

\[(S+T)v=Sv+Tv. \]
定義\(\lambda T\)是\(V\)到\(W\)的線性映射，知足對一切\(v\)都有

\[(\lambda T)v=\lambda (Tv). \]

這裏須要思考，這樣定義出來的\(S+T\)與\(\lambda T\)是不是線性映射（實際上確定是，可是須要驗證）。同時，要將\(\mathcal L(V,W)\)上的加法、標量乘法與線性映射的加性、齊性區分開，這兩個是徹底不一樣的東西。

加上了定義以後，咱們能夠驗證\(\mathcal L(V,W)\)是一個線性空間。回顧線性空間的定義條件，加法、乘法、交換性、結合性、分配性質都是容易驗證的，乘法單位元也是顯然的，而加法單位元應該是\(0\)映射：\(\forall v,0v=0\)。要注意，這裏第一個\(0\)既不是\(0\)向量，也不是標量\(0\)，而是一個線性映射：\(0\in\mathcal L(V,W)\)，它將\(v\)上的全部向量映射到\(W\)空間的加法單位元\(0\)。

線性映射的乘積(product of linear maps) 若\(L\in\mathcal L(U,V)\)，\(S\in\mathcal L(V,W)\)，則定義線性映射的乘積\(ST\)爲：

\[\forall u\in U,\quad ST(u)=S(Tu)\in W. \]

注意到，若是咱們把每個線性映射當作線性空間裏的一個向量，通常的向量乘積是沒有定義的，但線性映射卻能夠定義乘積，這是它與通常向量的不一樣之處。實際上，線性映射也屬於特殊的一種函數，因此線性映射的乘積等價於函數的複合。

\(ST\)是線性映射：線性映射的乘積仍然是一個線性映射。

\(\forall u_1,u_2\in U\)，\(\lambda \in\mathbb{F}\)，

\[ST(u_1+u_2)=S[T(u_1+u_2)]=S(Tu_1+Tu_2)=STu_1+STu_2,\\ ST(\lambda u)=S[T(\lambda u)]=S[\lambda (Tu)]=\lambda S(Tu)=\lambda STu. \]

故\(ST\)做爲映射知足加性和齊性，是線性映射。

咱們把線性映射當作一個向量，可是相乘的兩個向量並不屬於同一個向量空間，乘出的結果也並不屬於原來兩個向量空間之一（廣義來講，即不考慮\(\mathcal L(V,V)\)的特例），因此它與線性空間中定義的加法又不屬於同一種運算類型。

線性映射乘積的代數性質 如下性質有助於對線性映射進行復合。

結合性(associativity)：若是如下乘積都是有意義的，則

\[(T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3). \]
這裏\(T_1,T_2\)和\(T_3\)都是線性映射。
單位元(identity)：存在恆等映射\(I_V,I_W\)，使得\(\forall T\in\mathcal L(V,W)\)，

\[I_WT=TI_V=T. \]
在學習的初級階段，寫出映射乘積的存在條件仍是頗有必要的。
分配性質(distributive properties)：對\(T,T_1,T_2\in\mathcal L(U,V)\)，\(S,S_1,S_2\in\mathcal L(V,W)\)，成立

\[(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T,\\ S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2. \]

通常要注意，線性映射的乘法不可交換，即對於通常函數也有\(f[g(x)]\ne g[f(x)]\)同樣。對於那些特別可交換的線性映射對，稱它們爲可交換的。

結合性：\(\forall v\)，這裏\(v\)落在\(L_3\)的定義域內，則

\[(T_1T_2)T_3v=(T_1T_2T_3)v=T_1(T_2T_3)v, \]

故結合性成立。這裏的每一個等號都是基於線性映射乘法的定義的，不妨回顧一下。

單位元：\(\forall v\in V\)，

\[I_WTv=I_W(Tv)=Tv,\\ TI_V v=T(I_Vv)=Tv, \]

故\(I_WT=TI_V=T\)。

分配性質：\(\forall v\in V\)，

\[(S_1+S_2)Tv=(S_1+S_2)(Tv)=S_1Tv+S_2Tv=(S_1T+S_2T)v,\\ S(T_1+T_2)v=S(T_1v+T_2v)=ST_1v+ST_2v=(ST_1+ST_2)v. \]

對於第一行，第一個等號是線性映射乘法定義，第二個等號是線性映射加法定義，第三個等號是映射的線性性。對於第二行，第一個等號是線性映射加法定義，第二個等號是映射的線性性，第三個等號也是線性映射加法定義。

最後書上給出一個實用的定理，這個定理經常能夠直接證實映射不是線性的。

線性映射對加法單位元 若\(T\in\mathcal L(V,W)\)，則\(T(0)=0\)。

\[T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0), \]

故\(T(0)=0\)。

Part 2：零空間與值域

能夠說，本節中提到的零空間、值域、單射滿射都是彼此相連的一個總體，它們之間具備許多聯繫，共同構成線性映射的結構基礎。

零空間(null space) 對於\(T\in\mathcal L(V,W)\)，\(T\)的零空間指的是\(V\)中那些被\(T\)映射爲\(0\)的向量構成的集合：

\[\mathrm{null}{T}=\{v\in V:Tv=0\}. \]

零空間也被稱爲核空間(kernel)。

零空間之因此能被稱爲空間，是由於零空間也是一個向量空間，知足加法與標量的封閉性。顯然，若是零空間不是線性空間，也沒有研究它的價值。

零空間是子空間 設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，則\(\mathrm{null}T\)是\(V\)的子空間。

設\(u,v\in\mathrm{null}T\)，則

\[T(u+v)=Tu+Tv=0,\quad u+v\in\mathrm{null}T. \]

對於\(\lambda \in\mathbb{F}\)，有

\[T(\lambda v)=\lambda Tv=0,\quad \lambda v\in\mathrm{null}T. \]

最後，因爲\(T(0)=0\)，因此\(0\in\mathrm{null}T\)。向量空間的三大條件得以驗證。

單射(injective) 若是\(Tu=Tv\Leftrightarrow u=v\)，則稱\(T\in\mathcal L(V,W)\)是單射。

單射的概念很重要，聯想可以一一肯定自變量和因變量的函數——可逆函數，它與單射就很相似。

單射的等價條件 設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，則\(T\)是單射等價於\(\mathrm{null}T=\{0\}\)。

這是一個十分重要的定理。

已有\(\{0\}\subset\mathrm{null}T\)。當\(T\)是單射時，\(\forall v\in \mathrm{null}T\)，有

\[Tv=0=T0, \]

結合單射性就獲得\(v=0\)，即\(\mathrm{null}T= \{0\}\)。

反之，若\(\mathrm{null}T=0\)，則\(\forall u,v\in V\)，若是\(Tu=Tv\)，則

\[Tu-Tv=T(u-v)=0, \]

故\(u-v=0\)，獲得\(u=v\)，從而證實\(T\)是單射。

值域(range) 對於\(T\in\mathcal L(V,W)\)，稱\(V\)的值域爲全部形如\(Tv(v\in V)\)的向量構成的集合，即

\[\mathrm{range}T=\{Tv:v\in V\}. \]

天然地，值域也應該是一個子空間，但注意對象不一樣。顯然每個\(Tv\in W\)，因此值域是\(W\)的子空間而不是\(V\)的，這點與零空間不一樣。

值域是子空間 設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，則\(\mathrm{range}T\)是\(W\)的子空間。

這個證實雖然簡單，但又和零空間的有一些不一樣。

若\(w_1,w_2\in\mathrm{range}T\)，則\(\exists v_1,v_2\in V\)，\(Tv_1=w_1,Tv_2=w_2\)，則

\[w_1+w_2=Tv_1+Tv_2=T(v_1+v_2), \]

因爲\(v_1+v_2\in V\)，因此\(w_1+w_2\in \mathrm{range}T\)。同理

\[\lambda w_1=\lambda Tv_1=T(\lambda v_1)\in\mathrm{range}T, \]

又由於\(T(0)=0\)，因此\(0\in\mathrm{range}T\)。向量空間的三個條件得以驗證。

滿射(surjective) 設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，若是\(\mathrm{range}T=W\)，則稱\(T\)是滿射。

單射能夠類比一一映射，滿射則至關於將映射的值域擴充滿了，兩者一結合，就能獲得全空間上的一一映射。

須要注意的是，若是\(W'\)是\(W\)的非平凡子空間，\(T\in\mathcal L(V,W')\)是滿的極可能不意味着\(T\in\mathcal L(V,W)\)上也是滿的，即便對\(T\)做解析延拓也不必定，這是由於\(\mathrm{range}T\)受到\(V\)的維數限制，咱們能夠很容易地證實這一點。

事實上，咱們前面得出了單射與零空間的關係，這裏得出了滿射與像空間（值域）的關係，這兩組關係在形式上對偶，不妨將\(Tu=Tv\Leftrightarrow u=v\)看做單射的衍生性質，而從零空間的角度定義它，這樣顯得更統一，不過這讓「單射」的名字沒有那麼寫實了。

線性映射基本定理 設\(V\)是有限維的，\(T\in\mathcal L(V,W)\)，則\(\mathrm{range}T\)是有限維的，且

\[\dim V=\dim\mathrm{null}T+\dim\mathrm{range}T. \]

這個定理揭示了線性映射結構的本質關係——它只會形成信息的丟失，而不會形成信息的增長，由於\(T(0)=0\)，而零空間的維數就是信息丟失多少的量度。

設\(u_1,\cdots,u_m\)是\(\mathrm{null}T\)的基，則\(\dim \mathrm{null}T=m\)。這組基能夠擴充成\(V\)的基：

\[u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_n,\quad \dim{V}=m+n. \]

若是等式成立，則\(\dim\mathrm{range}T=n\)，天然會猜測\(Tv_1,\cdots,Tv_n\)是\(\mathrm{range}T\)的基，這包括張成性與線性無關性兩方面。

先證張成性，\(\forall v\in V\)，有

\[v=a_1u_1+\cdots+a_m u_m+b_1v_1+\cdots+b_nv_n, \]

故

\[Tv=T\left(\sum_{j=1}^m a_ju_j+\sum_{j=1}^n b_jv_j \right)=\sum_{j=1}^nb_j Tv_j, \]

所以\(Tv_1,\cdots,Tv_n\)張成\(\mathrm{range}T\)。

再證線性無關，令

\[a_1Tv_1+\cdots +a_nTv_n=0, \]

則

\[T\left(\sum_{j=1}^n a_jv_j\right)=0,\quad \sum_{j=1}^n a_j v_j\in\mathrm{null}T, \]

因此

\[\sum_{j=1}^n a_jv_j=\sum_{j=1}^m b_ju_m, \]

移項後獲得\(a_1=\cdots=a_n=b_1=\cdots=b_m=0\)，線性無關性得證。

對比線性映射基本定理與和空間維數公式的證實過程，讀者應該能捕捉到兩者之間的共同點。

由線性映射基本定理，直接獲得兩個推論：

到更小維數向量空間的線性映射不是單射。
到更大維數向量空間的線性映射不是滿射。

由此結論創建線性方程組求解的關係，是一個直接的推論。事實上，線性方程組的本質就是咱們在例題1中提到的\(T\in\mathcal L(\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m)\)，\(n\)是變量個數，\(m\)是約束條件個數，在這裏就不展開了。

例題

3.A部分的例題比較簡單，畢竟仍是圍繞着有限維向量空間的線性映射，只要別忘了有限維向量空間的基就好。3.B部分的例題則主要圍繞着線性映射基本定理，還有一些維數的基本關係，只要會利用\(V\)和\(W\)的基構造知足條件的線性映射（構造的存在性由「線性映射與基」結論保證），問題基本能夠迎刃而解。

第一題（3.A 3） 設\(T\in\mathcal L(\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m)\)，證實存在標量\(A_{j,k}\in\mathbb{F}\)，其中\(j=1,\cdots,m\)，\(k=1,\cdots,n\)，使得對任意\((x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{F}^n\)都有

\[T(x_1,\cdots,x_n)=(A_{1,1}x_1+\cdots+A_{1,n}x_n,\cdots,A_{m,1}x_1+\cdots+A_{m,n}x_n). \]

這題看起來無從入手，可是線性代數嘛，既然是有限維向量空間，那就有窮舉的機會，莽就完事了。

取\(V\)的一組天然基\(e_1,\cdots,e_n\)，它在\(T\)下必然擁有一個像，故設

\[T(e_i)=(A_{1,i},A_{2,i},\cdots,A_{m,i}), \]

因爲\(V\)中的每個向量均可以被這組基線性表示，不妨設

\[v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n, \]

則由\(T\)的線性性，

\[\begin{aligned} T(v)&=T(x_1e_1+\cdots+x_ne_n)\\ &=T(x_1,\cdots,x_n)\\ &=x_1T(e_1)+\cdots+x_nT(e_n)\\ &=(A_{1,1}x_1+\cdots+A_{1,n}x_n,\cdots,A_{m,1}x_1+\cdots+A_{m,n}x_n). \end{aligned} \]

由\(v\)的任意性，結論得證。

第二題（3.A 14） 設\(V\)是有限維的且\(\dim{V}\ge2\)，證實存在\(S,T\in\mathcal L(V,V)\)，使得\(ST\ne TS\)。

這題的關鍵信息在於\(\dim{V}\ge 2\)，於是能夠找到兩個線性無關向量，圍繞他們進行一波構造就能夠推出找到這樣的\(S,T\)。

設\(v_1,v_2\)是\(V\)中兩個線性無關的向量，由於\(\dim V\ge 2\)，因此這樣的兩個向量是能夠找到的。

令

\[Tv_1=v_2,\quad Sv_1=v_1+v_2,\\ Tv_2=0,\quad Sv_2=v_1. \]

則

\[STv_1=Sv_2=v_1,\\ TSv_1=T(v_1+v_2)=v_2, \]

由\(v_1,v_2\)的線性無關性，獲得\(STv_1\ne TSv_1\)，即\(ST\ne TS\)。

第三題（3.B 22） 設\(U,V\)都是有限維向量空間，並設\(S\in \mathcal L(V,W)\)，\(T\in\mathcal L(U,V)\)，證實：

\[\dim\mathrm{null}(ST)\le \dim\mathrm{null}S+\dim\mathrm{null}T. \]

萬變不離其宗，基擴充在證實維數不等式上依然是永遠的神。

首先要注意到\(\mathrm{null}T\subset\mathrm{null}(ST)\)。設\(u_1,\cdots,u_m\)是\(\mathrm{null}T\)的基，若是\(\mathrm{null}T=\mathrm{null}(ST)\)，則不等式已經成立。假設兩者不等，則能夠擴充爲\(\mathrm{null}(ST)\)的基：

\[u_1,\cdots,u_m,u_{m+1},\cdots,u_{n}. \]

知足

\[Tu_{m+1}\ne 0,\cdots,Tu_n\ne 0. \]

現證實\(Tu_{m+1},\cdots,Tu_n\)是線性無關的，即

\[a_{m+1}Tu_{m+1}+\cdots+a_nTu_n=T\left(\sum_{j={m+1}}^{n} a_ju_{j} \right), \]

因此\(\sum_{j=m+1}^{n}a_ju_j\in\mathrm{null}T\)，即

\[\sum_{j=m+1}^n a_ju_j=\sum_{k=1}^m b_ku_k, \]

移項獲得\(a_{m+1}=\cdots=a_n=0\)（因爲\(u_1,\cdots,u_n\)是\(\mathrm{null}(ST)\)的基），因此線性無關性得證。又由於\(\mathrm{null}S\)中線性無關組的長度中小於張成組的長度，因此

\[\dim S\ge n-m,\\ \dim\mathrm{null}(ST)=n=n-m+m\le \dim\mathrm{null}S+\dim\mathrm{null}T. \]

第四題（3.B 2六、27）

一、設\(D\in\mathcal L(\mathcal P(\mathbb{R}),\mathcal P(\mathbb{R}))\)使得對每一個很是數多項式\(p\in\mathcal P(\mathbb{R})\)均有\(\mathrm{deg}(Dp)=(\mathrm{deg}p)-1\)，這裏\(\mathrm{deg}\)指的是多項式的次數，證實\(D\)是滿射。

二、設\(p\in\mathcal P(\mathbb{R})\)，證實存在多項式\(q\in\mathcal P(\mathbb{R})\)使得

\[5q''+3q'=p. \]

這題本質上和線性方程組是同樣的，但因爲筆記中對線性方程組的介紹不多，所以將這個例題摘錄於此。第二問中的微分算子其實就是第一問中\(D\)的一種顯式，能夠看做1中結論的直接應用。另外，看到多項式時，應當考慮多項式空間的天然基，本題的主要問題是無限維向量空間的處理。

一、由題意，\(\forall n\)，

\[\mathrm{deg}Dx^{n+1}=n, \]

顯然因爲\(Dx,Dx^2,\cdots\)的次數不一樣，它們是線性無關的，對任何一個給定的\(j\)，

\[\mathrm{span}(Dx,Dx^2,\cdots,Dx^{j+1})=\mathrm{span}(1,x,\cdots,x^j), \]

所以令\(j\to \infty\)，有

\[\mathrm{span}(Dx,Dx^2,Dx^3,\cdots)=\mathrm{span}(1,x,x^2,\cdots)=\mathcal P(\mathbb{R}),\\ \mathcal P(\mathbb{R})\subset \mathrm{range}D. \]

又由於對任何多項式\(p\)，\(Dp\)還是一個多項式，因此

\[\mathrm{range}D\subset \mathcal P(\mathbb{R}), \]

即\(\mathrm{range}D=\mathcal P(\mathbb{R})\)，也就是\(D\)是滿射。

二、定義降次算子爲\(Dp=3p'+5p''\)，則由1，\(D\)是滿的，因此\(\forall q\in\mathcal P(\mathbb{R})\)，一定存在一個\(p\)，使得

\[Dp=5p''+3p'=q. \]