CF1139D Steps to One 題解【莫比烏斯反演】【枚舉】【DP】

反演套 DP 的好題（不用反演貌似也能作app

Description

Vivek initially has an empty array $a$ and some integer constant $m$.dom

He performs the following algorithm:優化

Select a random integer $x$ uniformly in range from $1$ to $m$ and append it to the end of $a$.

Compute the greatest common divisor of integers in $a$.

In case it equals to $1$, break

Otherwise, return to step $1$.

Find the expected length of $a$. It can be shown that it can be represented as $\frac PQ$ where $P$ and $Q$ are coprime integers and $Q\neq 0\pmod{10^9+7}$. Print the value of $P\cdot Q^{-1}\pmod{10^9+7}$.ui

Input

The first and only line contains a single integer $m$($1\le m\le 100000$).spa

Output

Print a single integer — the expected length of the array $a$ written as $P\cdot Q^{-1}\pmod{10^9+7}$.code

Examples

inputorm
1
outputip
1
inputinput
2
outputstring
2
input
4
output
333333338
Note

In the first example, since Vivek can choose only integers from $1$ to $1$, he will have $a=[1]$ after the first append operation, and after that quit the algorithm. Hence the length of $a$ is always $1$, so its expected value is $1$ as well.

In the second example, Vivek each time will append either $1$ or $2$, so after finishing the algorithm he will end up having some number of $2$'s (possibly zero), and a single $1$ in the end. The expected length of the list is $1⋅\frac 12+2⋅\frac 1{2^2}+3⋅\frac 1{2^3}+\dots =2$.

題意

每一步在 $1\sim m$ 中任選一個整數，問指望多少步後選出的數的最大公約數是 $1$。答案對 $1\ 000\ 000\ 007$ 取模。

題解

由於每一步不會讓已經選了的元素的 $\gcd$ 和變大，所以認爲是一個除自環外的有向無環圖。對於自環咱們很好處理，因此把它當作是一道指望 DP。

令 $f[i]$ 表示當前的 $\gcd$ 和爲 $i$，到 $\gcd$ 和爲 $1$ 的狀態的指望步數。所以把狀態轉移方程寫出來 $$ f[i]=1+\frac{\sum_{j=1}^m f[\gcd(i,j)]}m $$ 這樣的轉移是 $O(m^2)$ 的。可是咱們發現，對於不少 $j$，$\gcd(i,j)$ 都是相等的，所以咱們把這樣的數整合到一塊兒。

令 $F(n)$ 表示 $1\sim m$ 中有多少個數 $i$ 知足 $\gcd(x,i)=n$，其中視 $x$ 爲常數。

則計算 $f[i]$ 就轉化爲了 $$ f[i]=1+\frac{\sum_{d|i}f[d]\times F(d)}n,x=i $$ 這樣差很少就把枚舉優化到了 $\log n$ 的 $d|i$。

考慮怎麼計算 $F(n)$ $$ F(n)=\sum_{i=1}^m[\gcd(x,i)=n] $$ 令 $G(n)=\sum_{n|d}F(d)$，則 $$ \begin{aligned} G(n)&=\sum_{n|d}F(d)\ &=\sum_{n|d}\sum_{i=1}^m[\gcd(x,i)=d]\ &=\sum_{i=1}^m[n|\gcd(x,i)]\ ?&=\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac mn\right\rfloor}\left[1|\gcd\left(\frac xn,i\right)\right] \end{aligned} $$ 實際上這樣是有問題的，由於（在後面）沒法保證 $n|x$，此時 $G(n)$ 就必定爲 $0$ 了。

咱們再多化一步： $$ \begin{aligned} G(n)&=\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac mn\right\rfloor}\left[1|\gcd\left(\frac xn,i\right)\right][n|x]\ &=\left\lfloor\frac mn\right\rfloor\cdot[n|x] \end{aligned} $$ 根據 $G(n)=\sum_{n|d}F(d)$，咱們反演到 $F$，得 $$ \begin{aligned} F(n)&=\sum_{n|d}\mu\left(\frac dn\right)G(d)\ &=\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac mn\right\rfloor}\mu(i)G(ni)\ &=\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac mn\right\rfloor}\mu(i)\left\lfloor\frac{m}{ni}\right\rfloor[(ni)|x] \end{aligned} $$ 咱們發現後面的布爾表達式能夠看成條件。本來的條件原本就是 $\to +\infty$ 的，只不過超過了 $\left\lfloor\frac mn\right\rfloor$ 沒有意義。所以直接把條件換成 $[(ni)|x]$ 便可。又由於 $n|x$ 在上面的枚舉過程當中是成立的，同時能夠轉化爲 $\left[i|\frac xn\right]$。 $$ F(n)=\sum_{i|\frac xn}\mu(i)\left\lfloor\frac{m}{ni}\right\rfloor $$ 這樣的一次枚舉是 $O\left(d\left(\frac xn\right)\right)$ 的，因爲 $1\sim m$ 的約數個數和均攤是 $O(\log m)$ 的，其中最多的有 $128$ 個約數，可是這樣的數確定不是不少，而且其中不少被枚舉到的數都是質因數，迭代一下並不會形成很大的複雜度。

而後咱們須要再把狀態轉移方程稍微轉化一下，把 $f[i]$ 移到左邊 $$ \begin{aligned} f[i]&=1+\frac{\sum_{d|i,d<i}f[d]\times F(d)+f[i]\times F(i)}n,x=i\ \frac{n-F(i)}{n}\cdot f[i]&=1+\frac{\sum_{d|i,d<i}f[d]\times F(d)}n,x=i\ f[i]&=\frac{n+\sum_{d|i,d<i}f[d]\times F(d)}{n-F(i)},x=i \end{aligned} $$ 就獲得了真正的轉移方程。

時間複雜度 $O(m\log^2 m)$。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define ll long long
#define p 1000000007
using std::vector;
vector<int> v[100100];//約數用 vector 存一下，每次 √m 枚舉不是很穩
ll qpow(ll x,ll y)
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            ans=ans*x%p;
        x=x*x%p;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
bool is[100100];
int pri[100100],mu[100100],cnt=0;
ll f[100100];
int n;
int calc(int x,int y)//1~n 中 gcd(x,i)=y 的數的個數
{
    int g=x/y,ans=0;
    for(int i=0;i<v[g].size();++i)
        ans+=mu[v[g][i]]*(n/v[g][i]/y);
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    f[1]=1;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!is[i])
        {
            pri[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j)
        {
            is[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j])
                mu[i*pri[j]]=-mu[i];
            else
            {
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=i;j<=n;j+=i)
            v[j].push_back(i);
    ll ans=1,inv=qpow(n,p-2);
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        for(int j=0;j<v[i].size()-1;++j)
            f[i]=(f[i]+calc(i,v[i][j])*f[v[i][j]]%p)%p;
        f[i]=(f[i]*inv+1)%p;
        ll g=n-calc(i,i);
        f[i]=f[i]*n%p*qpow(g,p-2)%p;
        ans=(ans+f[i])%p;
    }
    printf("%lld\n",ans*qpow(n,p-2)%p);
    return 0;
}