莫比烏斯反演

莫比烏斯反演

（PS：在評論區中衆多dalao的催促下，我認真的寫了三天三夜寫完了這篇杜教篩，保證是精品！）

前言

（這大概是我第一次寫學習筆記吧OvO）
可能每個剛開始接觸莫比烏斯反演的OIer，起初都會厭惡這個神奇的東西。(我也同樣233)每個人厭惡的緣由有許多，多是這個煩人的式子，也可能僅僅只是由於不理解\(\mu\)函數而感到不爽。固然，莫比烏斯反演有一個小小的預備知識：整除分塊
那麼咱們先從莫比烏斯反演中最基礎的莫比烏斯函數\(\mu\)開始提及：

莫比烏斯函數

• 首先，咱們能夠先明確一點，莫比烏斯函數並非什麼很高大上的東西，它其實只是一個由容斥係數所構成的函數。\(\mu(d)\)的定義是:

1. 當\(d=1\)時，\(\mu(d)=1\)；
2. 當\(d=\Pi_{i=1}^{k}p_i\)且\(p_i\)爲互異素數時，\(\mu(d)=(-1)^k\)。(說直白點，就是\(d\)分解質因數後，沒有冪次大於平方的質因子，此時函數值根據分解的個數決定)；
3. 只要當\(d\)含有任何質因子的冪次大於等於2，則函數值爲0.

• 固然，莫比烏斯函數也有不少有趣的性質：

1. 對於任意正整數\(n\)，\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)。（\([n=1]\)表示只有當\(n=1\)成立時，返回值爲\(1\)；不然，值爲\(0\)；(這個就是用\(\mu\)是容斥係數的性質能夠證實)(PS:這一條性質是莫比烏斯反演中最經常使用的)
2. 對於任意正整數\(n\)，\(\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}\)。（這個性質很奇妙，它把歐拉函數和莫比烏斯函數結合起來，或許我以後寫杜教篩的學習筆記時會去證實吧）

• 程序實現並不難，咱們能夠在線性篩素數的程序上略做修改，即可以篩出\(\mu\)函數。
• 那我仍是給一段線篩的代碼吧

void get_mu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0)break;
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
 }

• 那麼，莫比烏斯函數就這麼告一段落了。

莫比烏斯反演

• 解決完莫比烏斯函數的問題後，咱們便迎來了重頭戲莫比烏斯反演
• 定理：F(n)和f(n)是定義在非負整數集合上的兩個函數，而且知足條件：
  \[F(n)=\sum_{d|n}f(d)\]
  那麼存在一個結論：
  \[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\]
  這個定理就稱做莫比烏斯反演定理。
• 莫比烏斯反演的證實主要有兩種方式，其中一種就是經過定義來證實；另一種，我則是會在杜教篩中提到(利用狄利克雷卷積)。那麼我先來講一說第一種證實方法：
  \[\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(i)\]
  \[=\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\mu(d)=f(n)\]
  (PS:若是不知道最後一步怎麼來的，能夠再去看性質一，至於和式的變換，就本身腦補一下吧)
• 固然，莫比烏斯反演有另外的一種形式，當\(F(n)\)和\(f(n)\)知足：
  \[F(n)=\sum_{n|d}f(d)\]
  能夠推出：
  \[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)\]
• 感受這個式子，可能在莫比烏斯反演中更加好用。

那麼，莫比烏斯反演的基本內容就說完了。知道了這些內容，就已經能夠解決一些有關的問題了。我作了一些關於莫比烏斯反演的題，具體題解能夠看看我博客中的內容。

題目

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(未完，待更新)