多變量微積分筆記11——變量替換

　　在二重積分中，極座標替換是一種特殊狀況，更通常的變量替換後的面積元是經過雅可比行列式來關聯，替換後的積分域也會隨之變更。

變量替換

　　二重積分能夠計算面積，如今有一個橢圓 (x/a)² + (y/b)² = 1，如何計算該橢圓的面積？

 

　　很容易寫出Area = ∫∫_Rdxdy，積分區域是(x/a)² + (y/b)² = 1，如今的問題是如何計算的內外積分的積分域？這固然能夠經過代數法轉換，將x寫做y的表達式，但這個複雜的表達式多少會有些尷尬。橢圓也不能輕鬆地轉換爲極座標，由於r的上限也是變化的。

　　如今嘗試一種新的方案，若是令u = x/a， v = y/b，則橢圓將轉換爲 u² + v² = 1，退化成圓。對u和v計算微分：

　　變量替換的主要目的是簡化被積函數或積分域，從而更容易地求得積分。

變量的變化率

　　上面方法將原變量表達式轉化爲一個新的簡單變量，從而求得結果，其中最重要的步驟是求得dxdy和dudv之間的關係，那麼對於更復雜的狀況，這種方法還可否適用？

　　假設出於某種目的，咱們作了這樣的變換：u = 3x – 2y，v = x + y。如今dA是xy座標系的面積積元，dA = dxdy；dA’ 是uv座標的面積積元，dA’ = dudv。二重積分的思想是ΔA的面積乘以ΔA的函數值從而獲得小柱體，再把這些小柱體相加，可是變換成uv座標後，ΔA’的面積並不等於ΔA的面積：

ΔA≠ΔA’

　　這其實是線性變換，用一個簡單的方法說明，讓ΔA是小正方形，Δx = Δy = 1，變換後將獲得一個平行四邊形：

 

　　能夠利用叉積求得ΔA’ 的面積：

 

　　因而可知，ΔA’ = 5ΔA。

　　值得注意的是，若是將Δx和Δy代入u和v，獲得Δu = 3Δx – 2Δy，Δv = Δx + Δy，因爲變換後的圖形並非正方形，因此ΔA’ ≠ ΔuΔv，ΔA’ 是平行四邊形兩條邊的向量的叉乘：

 

　　至此，咱們肯定了dxdy和dudv之間的關係：

 

雅可比行列式

　　若是二元積分的被積函數f(x,y)中的變量被替換爲u = u(x, y)，v = v(x, y)，那麼u和v的微小改變，是輕輕擾動x和y的綜合結果：

 

　　若是用矩陣表示：

 

　　這實際上說明，對於線性變換，小矩形將轉換爲平行四邊形，面積的放縮比例就是偏導的行列式。若是A = ΔxΔy是一個頂點在原點的矩形：

 

　　因爲這個行列式的結果和轉置後結果一致，因此放縮的倍數就是之①的矩陣行列式。這個行列式被稱爲雅可比行列式，用數學符號表示：

　　雅可比行列式描述了從xy座標到uv座標後，面積積元的變換比率。須要注意的是，雅可比行列式須要加上絕對值，由於行列式可能出現負值，但面積必定是正的。

用雅可比式驗證極座標

　　在《多變量微積分9——極座標的二重積分》中提到過，從xy座標轉換到極座標後，面積積元的變換率是 dxdy = rdrdθ：

　

　　用雅可比式轉換，注意此處是用x和y替換r和θ：

　　這再一次說明數學是能夠互相佐證的，高級理論能夠證實低級理論，低級理論又能夠爲高級理論的提供推導步驟。

變量替換後的積分域

　　用變量替換計算下面的積分：

 

　　若是不使用變量替換，直接計算結果：

 

　　在試用變量替換時，首先使用雅可比式計算dudv和dydx之間的比率，而後轉換被積函數：

 

　　如今的主要問題是轉換後的積分域。先來看xy座標系，因爲積分域0 < x < 1，0 < y < 1，因此積分的範圍就是一個正方形：

 

　　如今須要找出u和v是如何變化的。

在原座標系計算積分域

　　能夠這樣思考，對於∫∫vdudx，先計算內積分，也就是先對u積分，把v看做常量，u看做變量，也就是把v = xy看做常量，u = x看做變量。把v = xy看做常量，意味着xy = C是一個雙曲線：

 

　　若是v的值固定，那麼v就是雙曲線上的一點。對於不一樣的v，能取到不一樣的雙曲線：

　　把雙曲線加入到正方形中：

　　如今u = x是變量，v = xy是常量，這意味着當x變化時，就是在其中一條雙曲線上移動。對於∫∫vdudx，咱們首先回答的問題是當v固定時，u是積分域是什麼？

　　如上圖所示，在離開積分域時，u = x = 1；在進入積分域時y = 1，因此：

　　如今完成了內積分。對於外積分來講，就是在正方形區域內雙曲線族所能達到的最大值和最小值：

經過座標變換計算積分域

　　還能夠經過座標系變換的方式計算積分域。xy座標系在轉換成uv座標系時，有4條邊須要解釋：

 

　　x = 0和x = 1轉換後：

 

　　y = 1，轉換後，v = xy = x = u；y = 0，轉換後v = 0：

　　轉換後的積分域就是三角形圍成的面積。

　　若是以u爲外積分，v爲內積分，能夠肯定0 < u <1，v的取值以下圖所示：

　　能夠看到，轉換先後的計算結果相同。

綜合示例

示例1

　　用變量替換計算積分∫∫_R(4x² – y²)⁴dxdy，u = 2x – y，v = 2x + y，R區域以下圖所示：

 

　　雅可比行列式：

　　爲了計算R’，嘗試將xy座標系轉換爲uv座標系，只須要對邊和點進行解釋：

　　對比兩個三角形，R的面積R = 1/2(2 * 1/2) = 1/2；R’的面積R’= 1/2(2 * 2) = 2；R’ = 4R，座標轉換後面積放大了4倍，這也驗證了雅可比表達式，dudv = 4dxdr 。

　　三角形的斜邊是u = -v，如今能夠很容易得出轉換後的積分域：

示例2

　　計算變量替換後的積分域。

　　∫∫_R1/x²dxdy變量替換u = x² – y²，v = y/x，xy座標系的R區域中第一象限，在y=1/x下方，x² – y²=1上方，以下圖所示：

 

　　轉換座標系後，u = x² – y² = 1：

 

　　座標系轉移後：

 

　　設兩條曲線的交點是(1,a)，可知積分域：

 

　　雅可比行列式：

 

　　如今須要用uv代替1/x²：

 

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  　　做者：我是8位的

 　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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