最小生成樹——Prim And Kruskal實現最小生成樹

什麼是最小生成樹？

一個有 n 個結點的連通圖的生成樹是原圖的極小連通子圖，且包含原圖中的全部 n 個結點，而且有保持圖連通的最少的邊。最小生成樹能夠用kruskal（克魯斯卡爾）算法或prim（普里姆）算法求出。

 

MST性質：

假設 N = (V, {E})是一個連通網，U是頂點集V的一個非空子集。若（u，v）是一條具備最小權值（代價）的邊，其中 u ∈ U， v ∈ V - U，則必存在一棵包含邊（u, v）的最小生成樹。

證實以下（反證法）：

　　假設連通網N的任何一棵最小生成樹中都不包含邊（u，v）。

　　設T是N的一棵最小生成樹，則由上述假設可知，T中不包含（u，v）。因爲T是連通的，所以有一條從u到v的路徑。將T中的頂點集分爲兩部分：頂點集U和頂點集V - U，其中，頂點集U和相關的邊構成一棵最小生成樹T1，頂點集V - U和相關的邊也構成一棵最小生成樹T2，而且T1與T2之間只能有一條邊，不妨設爲（u`, v`），則u 和 u`之間、v和v`之間均是連通的。當把邊（u，v）加入最小生成樹T時，T中必有一條包含邊（u，v）的迴路，刪除邊（u`, v`），上述迴路即被刪除，由此獲得另外一棵生成樹Ｔ｀，如圖所示。由於邊（ｕ，ｖ）的權值小於等於（ｕ｀，ｖ｀）的權值，則Ｔ｀的代價也就小於等於Ｔ的代價，所以Ｔ｀也是Ｎ的最小生成樹，且包含邊（ｕ，ｖ），與假設矛盾，得證。

 

 什麼是Prim算法？

普里姆算法（Prim算法），圖論中的一種算法，可在加權連通圖裏搜索最小生成樹。意即由此算法搜索到的邊子集所構成的樹中，不但包括了連通圖裏的全部頂點（英語：Vertex (graph theory)），且其全部邊的權值之和亦爲最小。該算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克（英語：Vojtěch Jarník）發現；並在1957年由美國計算機科學家羅伯特·普里姆（英語：Robert C. Prim）獨立發現；1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該算法。所以，在某些場合，普里姆算法又被稱爲DJP算法、亞爾尼克算法或普里姆－亞爾尼克算法。

 

Prrim算法的基本思想是：假設N = （V， E）是連通網，令T = （U， TE）是N的最小生成樹。算法的基本思想是：T的初始狀態爲U = {Vo} (Vo∈V），TE = {}，重複執行下述操做：

① 在全部u∈U，v∈V - U的邊（u，v）∈ E中，找一條代價最小的邊（ui, vj）併入集合TE，同時將 vj 併入 U 中；

② 如此不斷重複，知道 U = V 爲止。此時 TE 必有 n - 1 條邊，則 T（V，TE）爲 N 的最小生成樹。

 

連通圖：

 

最小生成樹：

Prim算法代碼實現：

 1 public class MST {
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 3     /**
 4      * 這裏用鄰接矩陣來存儲圖
 5      * 頂點編號從 A 開始，總共有7個頂點
 6      * 這裏須要聲明一下，若是兩個頂點沒有邊直接鏈接，那麼就設置這連個頂點的權值（也可認爲是距離，這裏具體問題具體分析）無窮大
 7      */
 8     private static int[][] closeMatrix = {
 9             {0, 50, 60, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE},
10             {50, 0, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 40, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE},
11             {60, Integer.MAX_VALUE, 0, 52, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 45},
12             {Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 52, 0, 50, 30, 42},
13             {Integer.MAX_VALUE, 40, Integer.MAX_VALUE, 50, 0, 70, Integer.MAX_VALUE},
14             {Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 30, 70, 0, Integer.MAX_VALUE},
15             {Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 45, 42, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 0},
16     };
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18     private static char[] vex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
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20     /**
21      * @param closeMatrix
22      * @param startVex 這裏開始的頂點用數字表示，A-0 B-1 C-2 D-3 E-4 F-5 G-6
23      */
24     public static void prim(int[][] closeMatrix, int startVex) {
25         // 兩個輔助數組，由於隨着點加入U中，可能原先是無窮大，後面直接變成最小都有可能，因此下面的兩個數組的值都是在不停的變化
26         // lowCosts數組還有一個做用，若是lowCosts[i] == 0 表示編號爲i的頂點已經加入到U集合中了，反之則沒有加入U集合
27         // 這裏是爲想不改變原矩陣，因此纔開了lowCosts做爲輔助數組
28         int[] lowCosts = new int[vex.length];
29         // closest數組是用來存儲當前加入U集合中的頂點編號，做用：爲了後面打印邊時，能知道邊左邊的頂點編號
30         int[] closest = new int[vex.length];
31         // 一開始加入第一個頂點時，初始化以上兩個數組
32         // 加入一個頂點時沒有邊，因此不須要打印
33         for (int i = 0; i < vex.length; i++) {
34             lowCosts[i] = closeMatrix[startVex][i];
35             closest[i] = startVex;
36         }
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38         // k用於存儲當前離U集合最近的頂點編號
39         int k = startVex;
40         // 開始加入V - U集合中的頂點，循環n - 1遍，該循環的目的：找出n - 1個頂點
41         for (int i = 1; i < vex.length; i++) {
42             // 找出離最小權值的邊
43             int min = Integer.MAX_VALUE;
44             // 在V - U集合中找出離U最近的頂點k
45             for (int j = 0; j < vex.length; j++) {
46                 if (lowCosts[j] != 0 && lowCosts[j] < min) {
47                     // 更新
48                     min = lowCosts[j];
49                     k = j;
50                 }
51             }
52             // 程序運行到這，表示此時已經找到了咱們想要找到的離U集合最近的頂點了，也能夠將這裏最近理解爲代價最小或權值最小
53             // 打印邊
54             System.out.printf("邊（%c, %c）權爲：%d\n", vex[closest[k]], vex[k], min);
55             // 不要忘了，標誌編號爲k的頂點已經加入U集合
56             lowCosts[k] = 0;
57             // 修改lowCosts 和 closest 數組
58             // 修改仍在V - U集合中的頂點，若是已經在U集合中的頂點不須要修改
59             for (int j = 0; j < vex.length; j++) {
60                 // 如今要比的是編號爲k的頂點，全部頂點以編號爲k的頂點爲參考點，若是此時到它的權值比以前的到上一個頂點時的更優，則更新
61                 if (lowCosts[j] != 0 && closeMatrix[k][j] < lowCosts[j]) {
62                     // 此時 lowCosts[j] 的值再也不是一開始到開始第一加入的頂點時的權值了，而是到編號爲k的頂點的權值
63                     // 由於此時已經將k加入U集合，全部在 V - U集合中的頂點選取最小權值時都要以編號爲k的頂點做爲基點展開
64                     lowCosts[j] = closeMatrix[k][j];
65                     // 更新k，這一行相當重要
66                     closest[j] = k;
67                 }
68             }
69         }
70     }
71 
72     public static void main(String[] args) {
73         prim(closeMatrix, 0);
74     }
75 }

運行結果：