最小生成樹（Kruskal和Prim算法）
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最小生成樹（Kruskal和Prim算法）
關於圖的幾個概念定義：
連通圖：在無向圖中，若任意兩個頂點vi與vj都有路徑相通，則稱該無向圖爲連通圖。
強連通圖：在有向圖中，若任意兩個頂點vi與vj都有路徑相通，則稱該有向圖爲強連通圖。
連通網：在連通圖中，若圖的邊具有一定的意義，每一條邊都對應着一個數，稱爲權；權代表着連接連個頂點的代價，稱這種連通圖叫做連通網。
生成樹：一個連通圖的生成樹是指一個連通子圖，它含有圖中全部n個頂點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。一顆有n個頂點的生成樹有且僅有n-1條邊，如果生成樹中再添加一條邊，則必定成環。
最小生成樹：在連通網的所有生成樹中，所有邊的代價和最小的生成樹，稱爲最小生成樹。
Kruskal算法
此算法可以稱爲「加邊法」，初始最小生成樹邊數爲0，每迭代一次就選擇一條滿足條件的最小代價邊，加入到最小生成樹的邊集合裏。
1. 把圖中的所有邊按代價從小到大排序；
2. 把圖中的n個頂點看成獨立的n棵樹組成的森林；
3. 按權值從小到大選擇邊，所選的邊連接的兩個頂點ui,vi,應屬於兩顆不同的樹，則成爲最小生成樹的一條邊，並將這兩顆樹合併作爲一顆樹。
4. 重複(3),直到所有頂點都在一顆樹內或者有n-1條邊爲止。
Prim算法
此算法可以稱爲「加點法」，每次迭代選擇代價最小的邊對應的點，加入到最小生成樹中。算法從某一個頂點s開始，逐漸長大覆蓋整個連通網的所有頂點。
1. 圖的所有頂點集合爲V；初始令集合u={s},v=V−u;
2. 在兩個集合u,v能夠組成的邊中，選擇一條代價最小的邊(u0,v0)，加入到最小生成樹中，並把v0併入到集合u中。
3. 重複上述步驟，直到最小生成樹有n-1條邊或者n個頂點爲止。