最小生成樹Kruskal

1.概覽

Kruskal算法是一種用來尋找最小生成樹的算法，由Joseph Kruskal在1956年發表。用來解決一樣問題的還有Prim算法和Boruvka算法等。三種算法都是貪婪算法的應用。和Boruvka算法不一樣的地方是，Kruskal算法在圖中存在相同權值的邊時也有效。

2.算法簡單描述

1).記Graph中有v個頂點，e個邊

2).新建圖Graphnew，Graphnew中擁有原圖中相同的e個頂點，但沒有邊

3).將原圖Graph中全部e個邊按權值從小到大排序

4).循環：從權值最小的邊開始遍歷每條邊 直至圖Graph中全部的節點都在同一個連通份量中

                if 這條邊鏈接的兩個節點於圖Graphnew中不在同一個連通份量中

                                         添加這條邊到圖Graphnew中

 

圖例描述：

首先第一步，咱們有一張圖Graph，有若干點和邊 

將全部的邊的長度排序，用排序的結果做爲咱們選擇邊的依據。這裏再次體現了貪心算法的思想。資源排序，對局部最優的資源進行選擇，排序完成後，咱們率先選擇了邊AD。這樣咱們的圖就變成了右圖

在剩下的變中尋找。咱們找到了CE。這裏邊的權重也是5

依次類推咱們找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面繼續選擇， BC或者EF儘管如今長度爲8的邊是最小的未選擇的邊。可是如今他們已經連通了（對於BC能夠經過CE,EB來鏈接，相似的EF能夠經過EB,BA,AD,DF來接連）。因此不須要選擇他們。相似的BD也已經連通了（這裏上圖的連通線用紅色表示了）。

最後就剩下EG和FG了。固然咱們選擇了EG。最後成功的圖就是右：

3.簡單證實Kruskal算法

對圖的頂點數n作概括，證實Kruskal算法對任意n階圖適用。

概括基礎：

n=1，顯然可以找到最小生成樹。

概括過程：

假設Kruskal算法對n≤k階圖適用，那麼，在k+1階圖G中，咱們把最短邊的兩個端點a和b作一個合併操做，即把u與v合爲一個點v'，把原來接在u和v的邊都接到v'上去，這樣就可以獲得一個k階圖G'(u,v的合併是k+1少一條邊)，G'最小生成樹T'能夠用Kruskal算法獲得。

咱們證實T'+{<u,v>}是G的最小生成樹。

用反證法，若是T'+{<u,v>}不是最小生成樹，最小生成樹是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。顯然T應該包含<u,v>，不然，能夠用<u,v>加入到T中，造成一個環，刪除環上原有的任意一條邊，造成一棵更小權值的生成樹。而T-{<u,v>}，是G'的生成樹。因此W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，產生了矛盾。因而假設不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成樹，Kruskal算法對k+1階圖也適用。

由數學概括法，Kruskal算法得證。

4.代碼算法實現

typedef struct          
{        
    char vertex[VertexNum];                                //頂點表         
    int edges[VertexNum][VertexNum];                       //鄰接矩陣,可看作邊表         
    int n,e;                                               //圖中當前的頂點數和邊數         
}MGraph; 
 
typedef struct node  
{  
    int u;                                                 //邊的起始頂點   
    int v;                                                 //邊的終止頂點   
    int w;                                                 //邊的權值   
}Edge; 

void kruskal(MGraph G)  
{  
    int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;  
    int vset[VertexNum];                                    //輔助數組，斷定兩個頂點是否連通   
    int E[EdgeNum];                                         //存放全部的邊   
    k=0;                                                    //E數組的下標從0開始   
    for (i=0;i<G.n;i++)  
    {  
        for (j=0;j<G.n;j++)  
        {  
            if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)  
            {  
                E[k].u=i;  
                E[k].v=j;  
                E[k].w=G.edges[i][j];  
                k++;  
            }  
        }  
    }     
    heapsort(E,k,sizeof(E[0]));                            //堆排序，按權值從小到大排列       
    for (i=0;i<G.n;i++)                                    //初始化輔助數組   
    {  
        vset[i]=i;  
    }  
    k=1;                                                   //生成的邊數，最後要恰好爲總邊數   
    j=0;                                                   //E中的下標   
    while (k<G.n)  
    {   
        sn1=vset[E[j].u];  
        sn2=vset[E[j].v];                                  //獲得兩頂點屬於的集合編號   
        if (sn1!=sn2)                                      //不在同一集合編號內的話，把邊加入最小生成樹   
        {
            printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);       
            k++;  
            for (i=0;i<G.n;i++)  
            {  
                if (vset[i]==sn2)  
                {  
                    vset[i]=sn1;  
                }  
            }             
        }  
        j++;  
    }  
}  

時間複雜度：elog2e  e爲圖中的邊數