最小生成樹Prim

Prim算法

1.概覽

普里姆算法（Prim算法），圖論中的一種算法，可在加權連通圖裏搜索最小生成樹。意即由此算法搜索到的邊子集所構成的樹中，不但包括了連通圖裏的全部頂點（英語：Vertex (graph theory)），且其全部邊的權值之和亦爲最小。該算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克（英語：Vojtěch Jarník）發現；並在1957年由美國計算機科學家羅伯特·普里姆（英語：Robert C. Prim）獨立發現；1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該算法。所以，在某些場合，普里姆算法又被稱爲DJP算法、亞爾尼克算法或普里姆－亞爾尼克算法。

 

2.算法簡單描述

1).輸入：一個加權連通圖，其中頂點集合爲V，邊集合爲E；

2).初始化：Vnew = {x}，其中x爲集合V中的任一節點（起始點），Enew = {},爲空；

3).重複下列操做，直到Vnew = V：

a.在集合E中選取權值最小的邊<u, v>，其中u爲集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合當中，而且v∈V（若是存在有多條知足前述條件即具備相同權值的邊，則可任意選取其中之一）；

b.將v加入集合Vnew中，將<u, v>邊加入集合Enew中；

4).輸出：使用集合Vnew和Enew來描述所獲得的最小生成樹。

 

下面對算法的圖例描述

圖例	說明	不可選	可選	已選（Vnew）
	此爲原始的加權連通圖。每條邊一側的數字表明其權值。	-	-	-
	頂點D被任意選爲起始點。頂點A、B、E和F經過單條邊與D相連。A是距離D最近的頂點，所以將A及對應邊AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一個頂點爲距離D或A最近的頂點。B距D爲9，距A爲7，E爲15，F爲6。所以，F距D或A最近，所以將頂點F與相應邊DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法繼續重複上面的步驟。距離A爲7的頂點B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在當前狀況下，能夠在C、E與G間進行選擇。C距B爲8，E距B爲7，G距F爲11。E最近，所以將頂點E與相應邊BE高亮表示。	無	C, E, G	A, D, F, B
	這裏，可供選擇的頂點只有C和G。C距E爲5，G距E爲9，故選取C，並與邊EC一同高亮表示。	無	C, G	A, D, F, B, E
	頂點G是惟一剩下的頂點，它距F爲11，距E爲9，E最近，故高亮表示G及相應邊EG。	無	G	A, D, F, B, E, C
	如今，全部頂點均已被選取，圖中綠色部分即爲連通圖的最小生成樹。在此例中，最小生成樹的權值之和爲39。	無	無	A, D, F, B, E, C, G

 

3.簡單證實prim算法

反證法：假設prim生成的不是最小生成樹

1).設prim生成的樹爲G0

2).假設存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)   則在Gmin中存在<u,v>不屬於G0

3).將<u,v>加入G0中可得一個環，且<u,v>不是該環的最長邊(這是由於<u,v>∈Gmin)

4).這與prim每次生成最短邊矛盾

5).故假設不成立，命題得證.

 4.算法代碼實現(未檢驗)

#define MAX  100000
#define VNUM  10+1                                             //這裏沒有ID爲0的點,so id號範圍1~10

int edge[VNUM][VNUM]={/*輸入的鄰接矩陣*/};
int lowcost[VNUM]={0};                                         //記錄Vnew中每一個點到V中鄰接點的最短邊
int addvnew[VNUM];                                             //標記某點是否加入Vnew
int adjecent[VNUM]={0};                                        //記錄V中與Vnew最鄰近的點


void prim(int start)
{
     int sumweight=0;
     int i,j,k=0;

     for(i=1;i<VNUM;i++)                                      //頂點是從1開始
     {
        lowcost[i]=edge[start][i];
        addvnew[i]=-1;                                         //將全部點至於Vnew以外,V以內，這裏只要對應的爲-1，就表示在Vnew以外
     }

     addvnew[start]=0;                                        //將起始點start加入Vnew
     adjecent[start]=start;
                                                 
     for(i=1;i<VNUM-1;i++)                                        
     {
        int min=MAX;
        int v=-1;
        for(j=1;j<VNUM;j++)                                      
        {
            if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min)                 //在Vnew以外尋找最短路徑
            {
                min=lowcost[j];
                v=j;
            }
        }
        if(v!=-1)
        {
            printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);
            addvnew[v]=0;                                      //將v加Vnew中

            sumweight+=lowcost[v];                             //計算路徑長度之和
            for(j=1;j<VNUM;j++)
            {
                if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])      
                {
                    lowcost[j]=edge[v][j];                     //此時v點加入Vnew 須要更新lowcost
                    adjecent[j]=v;                             
                }
            }
        }
    }
    printf("the minmum weight is %d",sumweight);
}

5.時間複雜度

這裏記頂點數v，邊數e

鄰接矩陣:O(v2)  鄰接表:O(elog2v)