矩陣的Cholesky分解

矩陣的Cholesky分解
若是矩陣A是正定的，那麼它能夠被（惟一地）分解爲一個主對角不爲零的下三角矩陣L和其共軛轉置L*的乘積，這就是所謂的「矩陣的Cholesky分解」。對於實矩陣而言，即A=LLT，其中L是一個下三角矩陣。下面是一個3×3的矩陣Cholesky分解的示意。

具體要如何來計算Cholesky分解的值呢？經過觀察，結合矩陣乘法的規則，不難發現矩陣L對角線上的元素能夠由以下規律算得：

推廣後獲得：

對於那些位於對角線如下的元素_lik_，其中_i_>_k_，則會有下面這樣的計算規律：

仍然能夠推廣獲得一個更加普適的公式：

最後一個問題，Cholesky分解在實際中有什麼用？其中一個很是重要的應用就是解方程組 Ax = B，其中A是一個正定矩陣。由於A是一個正定矩陣，因此有A =LLT，其中L是一個下三角矩陣。原方程組能夠寫成 LLTx = B。若是令 y = LTx ，則有Ly = B。注意到其中L是一個下三角矩陣，因此從下向上求解y是很是很是容易的！求解出y以後，在按照相似的方法求解y = LTx 中的 x，而其中LT是一個上三角矩陣，因此最終求出 x 就也是很是很是容易的！

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參考博客：
原文連接：https://blog.csdn.net/baimafu...