矩陣的分解

資料

matrix decomposition wiki

Eigen庫 關於矩陣Ax=b的求解

QR Factorization and Singular Value Decomposition

完整的Eigen矩陣分解比較，精度，速度

線性方程\(Ax=b\)有關的矩陣分解

LU decomposition

分解成上三角,下三角,置換矩陣的乘積

• 適用於方塊矩陣(\(n \times n\))
• LUP(P是置換矩陣)是必定存在的,這其實就是高斯消元法的體現
• 用於\(Ax = b\)的求解,\(LUx = b\),

Rank factorization(秩分解)

• 適用於\(m \times n\)矩陣,秩爲\(r\)
• \(A=CF\),C(\(m \times r\)),列滿秩,F(\(r \times n\)),行滿秩
• 用於計算僞逆

Cholesky decomposition

• 適用於方塊,對稱,正定矩陣
• \(A = LL^T\) ,L是下三角矩陣
• 是惟一的,同時適用於Hermitian正定矩陣
• 是LU的一種特殊形式

QR decomposition

• 適用於\(m \times n\)
• \(A =QR\), Q是正交矩陣\(QQ^T =I\),R是上三角矩陣
• 也能夠用於求解\(Ax=b\),而不須要求解逆矩陣
• 同時相對於LU分解,他是數值穩定的,(不須要保留小數點後面不少的數字,爲了不數值上的不穩定)

基於特徵值的相關矩陣分解

Eigen decomposition

• spectral decomposition,同時也叫做譜分解
• 適用於具備不一樣特徵向量的方塊矩陣,
• \(A=VDV^{-1}\) ,D是由特徵值組成的對角矩陣,V的每一列是特徵值對應的特徵向量

Jordan decomposition

• 適用於方塊矩陣
• 是特徵值分解的普遍推廣形式

Schur decomposition

• 適用於方塊矩陣
• 有複數版本的,有實數版本的schur分解
• 實數版本\(A = VSV^T\),V是正交矩陣,S是上三角塊矩陣.(The blocks on the diagonal of S are of size 1×1 (in which case they represent real eigenvalues) or 2×2 (in which case they are derived from complex conjugate eigenvalue pairs).

Singular value decomposition

• 適用於\(m\times n\)矩陣
• \(A= UDV^H\),D非負對角矩陣,U,V是酉矩陣

其餘形式的分解

Polar decomposition

• 適用於方塊,複數矩陣

• \(A= UP\)(right polar decomposition), \(A=P'U\) (left polar decomposition)

  數值穩定性,主元的選擇

condition num

Measures how change in input is propogated to change in output

能夠由SVD分解來求解條件數，判斷矩陣的穩定性。具體參考QR Factorization and Singular Value Decomposition