讀書筆記: 博弈論導論 - 10 - 完整信息的動態博弈重複的博弈

時間 2020-07-21

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讀書筆記: 博弈論導論 - 10 - 完整信息的動態博弈重複的博弈

重複的博弈(Repeated Games)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的學習筆記。html

有限地重複的博弈

有限地重複的博弈(Finitely Repeated Games) 給定一個階段博弈$G$，一個有限地重複的博弈被記作$G(T, \delta)$，其中階段博弈$G$被連續進行了T次，$\delta$是公共折扣因子。

推論 10.1學習

若是有限重複博弈的階段博弈有一個惟一的納什博弈，則這個有限重複博弈有一個惟一的子博弈精煉均衡。ui

現值(present value) 在一個無限隊列的收益$ { v_i }{i=1}^{\infty}$中，玩家i的現值是 $$ v_i = \sum{t=1}^{\infty} \delta^{t-1} v_i^t \ where \ 0 < \delta < 1 $$spa
平均收益(average payoff) 在一個無限隊列的收益$ { v_i }{i=1}^{\infty}$中，玩家i的現值是 $$ \bar{v_i} = (1 - \delta) \sum{t=1}^{\infty} \delta^{t-1} v_i^t \ where \ \delta < 1 $$htm
策略在一個無限重複博弈中，$H_t$表明長度爲t的全部可能歷史的集合。 $h_t \in H_t$是一種歷史。 $H = \cup_{t=1}^{\infty} H_t$爲全部可能歷史的集合。玩家i的一個純策略是一個映射$s_i: H \to S_i$，映射歷史到這個階段博弈的行動。玩家i的一個行爲策略一個映射$\sigma_i: H \to \Delta S_i$，映射歷史到這個階段博弈的行動的隨機選擇。blog
子博弈精煉均衡(Sub-game-perfect equilibria) 一個純博弈組合$(s_1^(\cdot), s_2^(\cdot), \cdots, s_n^(\cdot)), s_i: H \to S_i, \forall i \in N$是一個子博弈精煉均衡，若是在每個子博弈中，$(s_1^(\cdot), s_2^(\cdot), \cdots, s_n^(\cdot))$的約束都是一個納什均衡。隊列

推論 10.2rem

一個無限重複博弈$G(\delta), \delta < 1$，其階段博弈G的一個（靜態）納什均衡$(\sigma_1^, \sigma_2^, \cdots, \sigma_n^)$。定義這個重複博弈的每一個玩家i的策略爲不依賴歷史的納什策略，$\sigma_i^(h) = \sigma_i^, \forall h \in H$，則$(\sigma_1^(h), \sigma_2^(h), \cdots, \sigma_n^(h))$爲這個重複博弈的一個子博弈精煉均衡。get

不依賴歷史的無限重複博弈中階段博弈，其納什均衡就是重複博弈的子博弈精煉均衡。it

推論 10.3

在一個無限重複博弈$G(\delta)$中，一個策略組合是一個子博弈精煉均衡，當且僅當不存在玩家i在其單個歷史$h_{t-1}$中，能夠從$s_i(h_{t-1})$偏離中得到更多的收益。

凸組合(convex combination) 給定兩個矢量$v = (v_1, v_2, \cdots, v_n)$和$v’ = (v‘_1, v’_2, \cdots, v‘_n)$， $\hat{v} = (\hat{v}_1, \hat{v}_2, \cdots, \hat{v}_n)$是一個凸組合(convex combination)，若是$\hat{v} = \alpha v + (1 - \alpha) \hat{v}, \alpha \in [0, 1]$或者說$\hat{v}_i = \alpha v_i + (1 - \alpha) \hat{v}_i, \forall i \in [1, \cdots, n]$ 從幾何上說凸組合位於兩個點之間線段上的任意點。
凸包(convex hull) 給定一組矢量$V = {v^1, v^2, \cdots, v^k }$，則V的凸包(convex hull)爲： $$ CoHull(V) = { \ v = \sum_{j=1}^k \alpha_j v^j \ where \ v \in \mathbb{R}^n, \ \exists (\alpha_1, \cdots, \alpha_k) \in R_+^n, \ \sum_{j=1}^k \alpha_j = 1\ } $$

幾何上的理解爲：當n = 2（矢量的維度是2）時，兩個點的凸包就是兩個點之間線段; 多個點的凸包就是多個點之間組成的平面; 當n > 2（矢量的維度 > 2）時，兩個點的凸包就是兩個點之間線段; 多個點的凸包就是多個點之間組成的多維空間（維度爲$m \leq n \ \land \ m \leq k - 1$）。

可行收益(feasible payoffs) 一個博弈的全部收益的凸包爲可行收益的集合。

大衆定理(the folk theorem)

$G(\delta)$爲一個有限，同時選擇的完整信息博弈， $v^* = (v_1^, \cdots, v_n^)$爲博弈G的一個納什均衡的收益，也是G的可行收益。若是存在$v_i > v_i^*, \forall i \in N, \delta$爲一個足夠接近1的值，則對於$G(\delta)$的無限重複博弈，存在一個子博弈精煉均衡，其平均收益接近於$v = (v_1, \cdots, v_n)$。

大衆定理因爲是多人貢獻，也搞不清是那些人，而得名。