本質矩陣分解

定義

 本質矩陣是歸一化圖像座標下的基本矩陣的特殊形式

E=t^R

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性質

一個 3X3 矩陣是本質矩陣的充要條件是它的奇異值中有兩個相等而第三個是 0

證實： 正交矩陣$W=\begin{bmatrix}1&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}$    反對稱矩陣$Z=\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$  

其中t^R轉換成矩陣形式爲t^R, S是反對稱矩陣，E=SR.

根據定義：

　　S=kUZU^T   ,U是正交矩陣。

　　Z=diag(1,1,0)W

　　得S=kUdiag(1,1,0)WU^T, 忽略尺度時視k=1

由SVD分解E可得

 　　E=Udiag(1,1,0)V^T=SR

在相差一個常數k的意義下，

　　E=SR=Udiag(1,1,0)WU^TR=Udiag(1,1,0)V^T

　　故WU^TR=V^T 

這正是E的奇異值分解並如所須要證實的具備兩個相等的奇異值,反之，一個具備兩個相同奇異值的矩陣能夠用一樣方法分解爲 SR.

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分解

 （1）若E可由SVD分解爲E=Udiag(1,0,0)V^TR和 t有四種分解的狀況

其中R 有兩種狀況；

　　因爲 

　　E=SR=Udiag(1,1,0)V^T=Udiag(1,1,0)WU^TR

 

　　即　　WU^TR=V^T  ,　　其中 R ,   W，  U   ，V 爲正交矩陣 

　　得      R=UWV^T    or  UW^TV^T     其中U V 是E經過SVD分解出的  W 是前面說起的反對稱矩陣  ；

       當R=UW^TV^T    時爲負號

證實

　　E=SR=(UZU^T)(UXV^T)   ,x是正交矩陣,旋轉矩陣，

  　　=U(ZX)V^T=Udiag(1,0,0)V^T

　　故ZX=diag(1,1,0)

由於X是旋轉矩陣，因此x= W

當 x=W^T     得  ZX=diag(-1,-1,0)         忽略符號 -->      ZX=diag(1,1,0)

 

（2）己知本質矩陣 E=Udiag(1,1,0)V^T和前一個相機位置矩陣P[R |t ]， 那麼第二個像機矩陣 P'[R |t ] 有下列幾種可能的選擇:

　　P'2=[UWV^T|u₃]  or  [UWV^T|−u₃ ]  or  [UW^TV^T|u₃]  or  [UW^TV^T|−u₃]

　　即 t取U的最後一列

 

R部分上面已證實 t部分證實以下

 

S的F範數的平方爲2，意味着若是S=t^(包含尺度因子) ，則 ιι t ιι=1，這是對兩個攝像機矩陣基線的一種經常使用的歸一化

由叉乘性質得

　　St=0

 

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不嚴謹推導

利用最小二乘思想（SVD分解求方程組相似）

　　min  ιι St ιι  ,   st  ιι t ιι=1

ιι St ιι  = t^TS^TSt

　　　　=σ  ιι t ιι

 

取S^TS的最小特徵值對應的特徵向量爲最優解

　　S^TS=UZ^TU^TUZU^T

　　　　=U^TZ^TZU^T

　　　　=U^Tdiag(1,1,0)U^T

 

其中U爲S的特徵向量 ，取最後一行爲最小解

即  Su=oS       ，u爲S最小特徵值對應的特徵向量，此時Su 最小

 

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 代碼 

from orbslam2

 1 /**  2  * @brief 分解Essential矩陣  3  *  4  * F矩陣經過結合內參能夠獲得Essential矩陣，分解E矩陣將獲得4組解 \n  5  * 這4組解分別爲[R1,t],[R1,-t],[R2,t],[R2,-t]  6  * @param E Essential Matrix  7  * @param R1 Rotation Matrix 1  8  * @param R2 Rotation Matrix 2  9  * @param t Translation 10  * @see Multiple View Geometry in Computer Vision - Result 9.19 p259 chinese 174 11  */
12 void Initializer::DecomposeE(const cv::Mat &E, cv::Mat &R1, cv::Mat &R2, cv::Mat &t) { 13  Mat u, w, vt; 14  SVDecomp(E, w, u, vt); 15     //t爲 u的最後一行
16     u.col(2).copyTo(t); 17     t /= norm(t); 18 
19     Mat W(3, 3, CV_32F, cv::Scalar(0)); 20     W.at<float>(0, 1) = -1; 21     W.at<float>(1, 0) = 1; 22     W.at<float>(2, 2) = 1; 23 
24     R1 = u * W * vt; 25     if (cv::determinant(R1) < 0)// 旋轉矩陣有行列式爲1的約束
26         R1 = -R1; 27 
28     R2 = u * W.t() * vt; 29     if (cv::determinant(R2) < 0) 30         R2 = -R2; 31 
32 }

 

 

 參考  《計算機視覺中的多視圖幾何》