OpenGL座標變換

時間 2019-11-07

標籤 opengl 座標變換简体版

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基礎概述

衆所周知，OpenGL是一個3D圖形庫，在終端設備上普遍使用。可是咱們的顯示設備都是2D平面，那麼OpenGL怎麼把3D圖形映射到2D屏幕那？這就是OpenGL座標變換所要完成的工做。通常狀況下，咱們老是經過一個2D屏幕，觀察3D世界。所以，咱們實際看到的是3D世界在2D屏幕上的一個投影。經過OpenGL座標變換，咱們能夠在一個給定的觀察視角下，把3D物體投影到2D屏幕上，再通過後面的光柵化和片元着色，整個3D物體就映射成了2D屏幕上的像素。 OpenGL的座標變換流程以下所示： html

第一行和第二行的模型變換、視變換和投影變換是頂點着色器負責完成的，它決定了一個圖元在3D空間中的位置。

第三行的透視除法和視口變換是圖元裝配階段完成的，它決定了一個圖元在屏幕上的位置。

咱們先簡單看下整個流程：c++

首先，輸入頂點通常是以本地座標表示的3D模型。本地座標是爲了研究孤立的3D模型，座標原點通常都是模型的中心。每一個3D模型都有本身的本地座標系（Local Coordinate），互相之間沒有關聯。
當咱們須要同時渲染多個3D物體時，須要把不一樣的3D模型，變換到一個統一的座標系，這就是世界座標系（World Coordinate）。把物體從本地座標系變換到世界座標系，是經過一個Model矩陣完成的。模型矩陣能夠實現多種變換：平移(translation)、縮放(scale)、旋轉(rotation)、鏡像(reflection)、錯切(shear)等。例如：經過平移操做，咱們能夠在世界座標系的不一樣位置繪製同一個3D模型；
世界座標系中的多個物體共同構成了一個3D場景。從不一樣的角度觀察這個3D場景，咱們能夠看到不一樣的屏幕投影。OpenGL提出了攝像頭座標系的概念，即從攝像頭位置來觀察整個3D場景。把物體從世界座標系變換到攝像頭座標系，是經過一個View矩陣完成的。視圖矩陣定義了攝像頭的位置、方向向量和上向量等構成攝像頭座標系的基礎信息。View矩陣左乘世界座標系中頂點A的座標，就把頂點A變換到了攝像頭座標系。同一個3D物體，在世界座標系中，擁有一個世界座標；在攝像頭座標系中，擁有一個攝像頭座標，View變換就是負責把物體的座標從世界座標系變換到攝像頭座標系。
由於咱們是從一個2D屏幕觀察3D場景，而屏幕自己不是無限大的。因此當從攝像頭的角度觀察3D場景時，可能沒法看到整個場景，這時候就須要把看不到的場景裁減掉。投影變換就是負責裁剪工做，投影矩陣指定了一個視見體(View Frustum)，在視見體內部的物體會出如今投影平面上，而在視見體以外的物體會被裁減掉。投影包括不少類型，OpenGL中主要考慮透視投影(Perspective Projection)和正交投影(Orthographic Projection)，二者的區別在後面會詳細介紹。除此以外，經過Projection矩陣，能夠把物體從攝像頭座標系變換到裁剪座標系。在裁剪座標下，X、Y、Z各個座標軸上會指定一個可見範圍，超過可見範圍的頂點(vertex)都會被裁剪掉。
每一個裁剪座標系指定的可見範圍多是不一樣的，爲了獲得一個統一的座標系，須要對裁剪座標進行透視除法（Perspective Division），獲得NDC座標(Normalized Device Coordinates - 標準化設備座標系)。透視除法就是將裁剪座標除以齊次份量W，獲得NDC座標：

在NDC座標系中，X、Y、Z各個座標軸的區間是[-1,1]。所以，能夠把NDC座標系看作做一個邊長爲2的立方體，全部的可見物體都在這個立方體內部。
NDC座標系的範圍是[-1,1]，可是咱們的屏幕尺寸是變幻無窮的，那麼OpenGL是如何把NDC座標映射到屏幕座標的那？視口變換(Viewport Transform)就是負責這塊工做的。在OpenGL中，咱們只須要經過glViewport指定繪製區域的座標和寬高，系統會幫咱們自動完成視口變換。通過視口變換，咱們就獲得了2D屏幕上的屏幕座標。須要注意的是：屏幕座標與屏幕的像素位置是不同的，屏幕座標是屏幕上任意一個頂點的精確位置，能夠是任意小數。可是像素位置只能是整數（具體的某個像素）。這裏的視口變換是從NDC座標變換到屏幕座標，尚未生成最終的像素位置。從屏幕座標映射到對應的像素位置，是後面光柵化完成的。

在OpenGL中，本地座標系、世界座標系和攝像頭座標系都屬於右手座標系，而最終的裁剪座標系和標準化設備座標系屬於左手座標系。左右手座標系的示意圖以下所示，其中大拇指、食指、其他手指分別指向x,y,z軸的正方向。 git

下面咱們分別來看下模型變換、視圖變換、投影變換和視口變換的推導和使用。github

模型變換

模型變換經過對3D模型執行平移、縮放、旋轉、鏡像、錯切等操做，來調整模型在世界座標系中的位置。模型變換是經過模型矩陣來完成的，咱們看下每種模型矩陣的推導過程。app

平移變換

平移就是將一個頂點A = (x,y,z)，移動到另外一個位置 =（,,），移動距離D = - A = ( - x , - y , - z) = ( , , )，因此能夠用頂點A來表示：ide

經過平移矩陣來表示以下所示：wordpress

A^* = M_{translation} * A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & d_x \\ 0 & 1 & 0 & d_y \\ 0 & 0 & 1 & d_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+d_x \\ y+d_y \\ z+d_z \\ 1 \end{bmatrix}

其中 $M_{translation}$ 就是平移變換矩陣，表示X軸上的位移，表示Y軸上的位移，表示Z軸上的位移。雖然看上去很繁瑣，可是在OpenGL中，咱們能夠經過GLM庫來實現平移變換。函數

glm::mat4 model; // 定義單位矩陣
model = glm::translate(model, glm::vec3(1.0f, 1.0f, 1.0f));
複製代碼

上述代碼定義了平移模型矩陣，表示在X、Y、Z軸上同時位移1。學習

縮放變換

能夠在X、Y和Z軸上對物體進行縮放，3個座標軸相互獨立。對於以原點爲中心的縮放，假設頂點A(x,y,z)在X、Y和Z軸上分別放大、、倍，那麼能夠獲得放大後的頂點 =（ * x , * y , * z），經過縮放矩陣來表示以下所示：spa

A^* = M_{scale} * A =
\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x * s_x \\ y * s_y \\ z * s_z \\ 1 \end{bmatrix}

其中 $M_{scale}$ 就是縮放變換矩陣。默認狀況下，縮放的中心點是座標原點，若是咱們要以指定頂點P( , , )爲中心對物體進行縮放。那麼能夠按照以下步驟操做：

把頂點P移動到座標原點
以座標原點爲中心，旋轉指定角度
把頂點P移動回原來的位置整個過程能夠簡化成一個矩陣：

M_{scale} = Translation(P) * Scale(\theta) * Translation(-P)

在OpenGL中，咱們能夠經過GLM庫來實現縮放變換：

glm::mat4 model; // 定義單位矩陣
model = glm::scale(model, glm::vec3(2.0f, 0.5f, 1.0f);
複製代碼

上述代碼定義了縮放模型矩陣，表示在X軸上fa2倍，Y軸上縮小0.5倍、Z軸上保持不變。

旋轉變換

在3D空間中，旋轉須要定義一個旋轉軸和一個角度。物體會沿着給定的旋轉軸旋轉指定角度。咱們首先看下，沿着Z軸旋轉的旋轉矩陣是怎樣的？假設有一個頂點P，原始座標爲 ( , , )，離原點的距離是，沿着Z軸順時針旋轉 $\theta$ 度，新的座標爲( , , )，由於旋轉先後，z座標不變，因此暫時忽略，那麼能夠獲得：

x = r * \cos(\alpha + \theta) = r * \cos(\alpha) * \cos(\theta) - r * \sin(\alpha) * \sin(\theta) = x_o * \cos(\theta) - y_o * \sin(\theta)

y = r * \sin(\alpha + \theta) = r * \sin(\alpha) * \cos(\theta) + r * \cos(\alpha) * \sin(\theta) = x_o * \sin(\theta) + y_o * \cos(\theta)

根據上述公式，能夠獲得圍繞Z軸的旋轉矩陣：

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 & 0
\\
\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 & 0
\\
0 & 0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 1
\\
\end{bmatrix}

同理，能夠獲得圍繞X軸的旋轉矩陣：

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0
\\
0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0
\\
0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0
\\
0 & 0 & 0 & 1
\\
\end{bmatrix}

同理，能夠獲得圍繞Y軸的旋轉矩陣：

\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) & 0
\\
0 & 1 & 0 & 0
\\
-\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) & 0
\\
0 & 0 & 0 & 1
\\
\end{bmatrix}

在OpenGL中，咱們能夠經過GLM庫來實現旋轉變換：

glm::mat4 model; // 定義單位矩陣
model = glm::rotate(model, glm::radians(-45.0f), glm::vec3(0.4f, 0.6f, 0.8f));
複製代碼

上述代碼表示：圍繞向量(0.4f, 0.6f, 0.8f)，順時針旋轉45度。

在進行旋轉操做時，常常有一個困惑：順時針是正方向，仍是逆時針是正方向？其實，存在一個左手規則和右手規則，能夠用於判斷物體繞軸旋轉時的正方向。

在OpenGl中，咱們使用右手規則，大拇指指向旋轉軸的正方向，其他手指的彎曲方向即爲旋轉正方向。因此上面的-45度是順時針旋轉。

模型變換的順序問題

由於矩陣不知足交換律，因此平移、旋轉和縮放的順序十分重要，通常是先縮放、再旋轉、最後平移。固然最終仍是要考慮實際狀況。還有一點須要注意，GLM操做矩陣的順序和實際效果是相反的。以下所示，雖然書寫順序是：平移、旋轉和縮放，可是實際最終的模型矩陣是：先縮放、再旋轉、最後平移。

glm::mat4 model; // 定義單位矩陣
model = glm::translate(model, glm::vec3(1.0f, 1.0f, 1.0f));
model = glm::rotate(model, glm::radians(-45.0f), glm::vec3(0.4f, 0.6f, 0.8f));
model = glm::scale(model, glm::vec3(2.0f, 0.5f, 1.0f);
複製代碼

視圖變換

通過模型變換，都有的座標都處於世界座標系中，本節就是以攝像頭的角度觀察整個世界空間。首先須要定義一個攝像頭座標系。通常狀況下，定義一個座標系須要如下參數:

指定座標系的維度：2D、3D、4D等。
定義座標空間的軸向量，例如：X軸、Y軸、Z軸，這些向量稱爲基向量，基向量通常都是正交的。座標系中的全部頂點都是經過基向量表示的。
座標系的原點O，原點是座標系中全部其餘點的參考點。簡單來講，座標系=(基向量，原點O)

同一個頂點，在不一樣的座標系中擁有不一樣的座標，那怎麼才能把世界座標系中的頂點座標，變換到攝像頭座標系那？要實現不一樣座標系之間的座標轉換，須要計算一個變換矩陣。這個矩陣就是座標系A中的原點和基向量在另外一個座標系B下的座標表示。假設存在A座標系和B座標系以及頂點V，那麼頂點V在A和B座標系下的座標變換公式以下所示：

簡單解釋一下：

頂點V在A座標系的座標 = B座標系的基向量和原點在A座標系下的座標表示構成的變換矩陣 * 頂點V在B座標系的座標；

頂點V在B座標系的座標 = A座標系的基向量和原點在B座標系下的座標表示構成的變換矩陣 * 頂點V在A座標系的座標
複製代碼

其中，和互爲逆矩陣。因此座標系之間的切換，關鍵就是求出座標系之間互相表示的變換矩陣。那麼矩陣應該怎麼計算那？假設座標系A的三個基向量和原點在B座標空間的單位座標向量分別是 $\vec{X^A_B}$ 、 $\vec{Y^A_B}$ 、 $\vec{Z^A_B}$ 和 $\vec{O^A_B}$ ，那麼矩陣以下所示：

[A]_B = \begin{bmatrix}
\vec{X^A_B[0]} & \vec{Y^A_B[0]} & \vec{Z^A_B[0]} & \vec{O^A_B[0]}
\\
\vec{X^A_B[1]} & \vec{Y^A_B[1]} & \vec{Z^A_B[1]} & \vec{O^A_B[1]}
\\
\vec{X^A_B[2]} & \vec{Y^A_B[2]} & \vec{Z^A_B[2]} & \vec{O^A_B[2]}
\\
0 & 0 & 0 & 1
\\
\end{bmatrix}

矩陣的計算方式也相似，此處再也不贅述。

下面咱們看下OpenGL的視圖變換矩陣是怎麼計算出來的？如今存在兩個座標系：世界座標系W和攝像頭座標系E，還有一個頂點V，而且知道頂點V在世界座標系的座標 = (,,)，那麼頂點V在攝像頭座標系下的座標是多少那？根據上面的公式可知，咱們首先須要計算出矩陣。

衆所周知，世界座標系的原點O = (0,0,0)，三個基向量分別是，X軸：(1,0,0)、Y軸：(0,1,0)、Z軸：（0,0,1）。理論上，定義一個攝像頭座標系，須要4個參數：

攝像頭在世界座標系中的位置（攝像頭座標系的原點）
攝像頭的觀察方向（攝像頭座標系的Z基向量）
一個指向攝像頭右側的向量（攝像頭座標系的X基向量）
一個指向攝像頭上方的向量（攝像頭座標系的Y基向量）。

經過上述4個參數，咱們實際上建立了一個三個單位軸相互垂直的，以攝像機位置爲原點的座標系。

在使用過程當中，咱們只須要指定3個參數：

攝像機位置向量( $\vec{eye}$ )
攝像機指向的目標位置向量( $\vec{target}$ )
指向攝像頭上方的向量（ $\vec{up}$ ）

接下來是根據上面3個參數，推導出攝像頭座標系單位基向量的步驟：

首先計算攝像頭的方向向量 $\vec{forwrad}$ （方向向量是攝像頭座標系的Z軸正方向，和實際的觀察方向是相反的）。

\vec{forwrad}=(\vec{eye} - \vec{target})

而後計算出單位方向向量

\vec{forwrad_{norm}} = \frac {\vec{forwrad}}{|\vec{forwrad}|}

根據上向量 $\vec{up}$ 和單位方向向量 $\vec{forwrad_{norm}}$ 肯定攝像頭的右向量 $\vec{side}$

\vec{side} = cross(\vec{forwrad_{norm}},\vec{up})

而後計算出單位右向量

\vec{side_{norm}} = \frac {\vec{side}}{|\vec{side}|}

根據單位右向量 $\vec{side_{norm}}$ 和單位方向向量 $\vec{forwrad_{norm}}$ 肯定單位上向量 $\vec{up_{norm}}$

\vec{up_{norm}} = cross(\vec{side_{norm}},\vec{forwrad_{norm}})

這樣，就肯定了攝像頭座標系的三個單位基向量： $\vec{side_{norm}}$ 、 $\vec{up_{norm}}$ 和 $\vec{forwrad_{norm}}$ 以及攝像頭的位置向量 $\vec{eye}$ 。這四個參數一塊兒肯定了攝像頭座標系：攝像頭位置是座標原點，單位右向量指向正X軸，單位上向量指向正Y軸，單位方向向量指向正Z軸。

如今咱們已經定義了一個攝像頭座標系，下一步就是把世界座標系中的頂點V = (,,)，變換到這個攝像頭座標系。根據上文可知，頂點V在攝像頭座標系E的座標計算過程以下所示：

[V]_E = [W]_E * [V]_W = [E]^{-1}_W * [V]_W

因此關鍵是計算變換矩陣 $[E]^{-1}_W$ ，而根據攝像頭座標系的基向量和原點在世界空間中的座標表示，咱們能夠獲得：

[E]_W = \begin{bmatrix}
\vec{side_{norm}}[0] & \vec{up_{norm}}[0] & \vec{forward_{norm}}[0] & \vec{eye}[0]
\\
\vec{side_{norm}}[1] & \vec{up_{norm}}[1] & \vec{forward_{norm}}[1] & \vec{eye}[1]
\\
\vec{side_{norm}}[2] & \vec{up_{norm}}[2] & \vec{forward_{norm}}[2] & \vec{eye}[2]
\\
0 & 0 & 0 & 1
\\
\end{bmatrix}

那麼最終的變換矩陣 $[E]^{-1}_W$ 以下所示：

[E]^{-1}_W = \begin{bmatrix}
\vec{side_{norm}}[0] & \vec{side_{norm}}[1] & \vec{side_{norm}}[2] & -dot(\vec{side_{norm}},\vec{eye})
\\
\vec{up_{norm}}[0] & \vec{up_{norm}}[1] & \vec{up_{norm}}[2] & -dot(\vec{up_{norm}},\vec{eye})
\\
\vec{forward_{norm}}[0] & \vec{forward_{norm}}[1] & \vec{forward_{norm}}[2] & dot(\vec{forward_{norm}},\vec{eye})
\\
0 & 0 & 0 & 1
\\
\end{bmatrix}

其中，dot函數表示向量的點積，是一個標量。最終，頂點V在攝像頭座標系下的座標以下所示：

[V]_E =
\begin{bmatrix}
\vec{side_{norm}}[0] & \vec{side_{norm}}[1] & \vec{side_{norm}}[2] & -dot(\vec{side_{norm}},\vec{eye})
\\
\vec{up_{norm}}[0] & \vec{up_{norm}}[1] & \vec{up_{norm}}[2] & -dot(\vec{up_{norm}},\vec{eye})
\\
\vec{forward_{norm}}[0] & \vec{forward_{norm}}[1] & \vec{forward_{norm}}[2] & dot(\vec{forward_{norm}},\vec{eye})
\\
0 & 0 & 0 & 1
\\
\end{bmatrix}
*
\begin{bmatrix}
x_w
\\
y_w
\\
z_w
\\
1
\\
\end{bmatrix}

上面的 $[E]^{-1}_W$ 矩陣就是View變換矩陣。

下面看一個案例：假設攝像頭的座標是(0, 0, 3)，攝像頭的觀察方向是世界座標系的原點(0,0,0)，上向量是(0,1,0)，頂點V在世界座標系的座標爲(1,1,0)，那麼能夠計算出攝像頭座標系的基向量和原點以下所示：

$\vec{side_{norm}}$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$
$\vec{up_{norm}}$ = $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$
$\vec{forward_{norm}}$ = $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$
$\vec{eye}$ = $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$ 因此對應的View變換矩陣就是：

View = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 1 & -3
\\
0 & 0 & 1 & 1
\\
\end{bmatrix}

最後，頂點V在攝像頭座標系的座標就是：

[V]_E = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 1 & -3
\\
0 & 0 & 0 & 1
\\
\end{bmatrix}
*
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\
\end{bmatrix}
.=
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ -3 \\ 1 \\
\end{bmatrix}

雖然上述流程很複雜，但在OpenGL中，咱們能夠經過GLM庫定義View矩陣。針對上述案例，經過lookAt函數就能夠獲得View矩陣。

glm::mat4 view;
view = glm::lookAt(glm::vec3(0.0f, 0.0f, 3.0f),glm::vec3(0.0f, 0.0f, 0.0f), glm::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f));
複製代碼

通過驗證，經過lookAt函數獲得View矩陣爲：

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 1 & -3
\\
0 & 0 & 0 & 1
\\
\end{bmatrix}

很顯然，經過lookAt函數獲得View矩陣和上面咱們推導的View矩陣是一致的。

投影變換

前面通過模型變換和視圖變換後，3D模型已經處於攝像頭座標系中。本節的投影變換將物體從攝像頭座標系變換到裁剪座標系，爲下一步的視口變換作好準備。投影變換經過指定視見體來決定場景中哪些物體能夠呈如今屏幕上。在視見體中的物體會出如今投影平面上，而在視見體以外的物體不會出如今投影平面上。在OpenGL中，咱們主要考慮透視投影和正交投影，二者的區別以下所示：

上圖中，紅色和黃色球在視見體內，於是呈如今投影平面上；綠色球在視見體外，因此沒有投影到近平面上。除此以外，透視投影會根據物體的Z座標，決定物體在投影平面的大小，原則是：遠小近大，符合生活常識。而正交投影不考慮物體Z座標，全部物體在投影平面上保持原來的大小。

無論透視投影，仍是正交投影，均可以經過指定(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far)6個參數來指定視見體。(left,bottom)指定了近裁剪面左下角的座標，(right,top)指定了近裁剪面右上角的座標，-near表示近裁剪面，−far表示遠裁剪面。下面須要利用這6個參數，推導投影矩陣。

在攝像頭座標系下，攝像頭指向-z軸，因此近裁剪面z=−near，遠裁剪面z=−far。而且OpenGL是在近平面上成像的。

經過上述6個參數指定的透視投影變換以下所示:

經過上述6個參數指定的正交投影變換以下所示：

投影變換和透視除法後，攝像頭座標系中的頂點被映射到一個標準立方體中，即NDC座標系。其中X軸上：[left,right]映射到[−1,1]，Y軸上：[bottom,top]映射到[-1,1]中，Z軸上：[near,far]映射到[−1,1]，下面的矩陣推導會利用這裏的映射關係。下面咱們分別看下兩種投影矩陣的推導過程。

透視投影

透視投影和透視除法的座標映射以下所示：

上圖中，攝像頭座標系是右手座標系，NDC是左手座標系，NDC座標系的Z軸指向攝像頭座標系的-Z軸方向。

假設頂點V在攝像頭座標系的座標 = ( , , , )，變換到裁剪座標系的座標 = ( , , , )，透視除法到NDC座標系的座標 = ( , , , )。咱們的目標是計算出投影矩陣 $M_{projection}$ ，使得：

\begin{bmatrix}
x_c \\ y_c \\ z_c \\ w_c \\
\end{bmatrix}
= M_{projection} *
\begin{bmatrix}
x_e \\ y_e \\ z_e \\ w_e \\
\end{bmatrix}

同時，可獲得透視除法的變換：

\begin{bmatrix}
x_n \\ y_n \\ z_n \\
\end{bmatrix}
.=
\begin{bmatrix}
x_c/w_c \\ y_c/w_c \\ z_c/w_c \\
\end{bmatrix}

首先，咱們看下投影矩陣 $M_{projection}$ 對X軸和Y軸的變換。頂點P投影到近平面後，獲得頂點 $P_{near}$ = （ , , −near）。具體示意圖以下所示：

利用三角形的類似性，經過左圖可知：

因此，能夠獲得X軸上的投影值：

同理，經過右圖，能夠獲得Y軸上的投影值：

由(1)(2)公式能夠發現，他們都除以了 ${-z_e}$ 份量，而且與之成反比。這能夠做爲透視除法的一個線索，所以咱們的矩陣 $M_{projection}$ 以下所示：

\begin{bmatrix}
* & * & * & * \\
* & * & * & * \\
* & * & * & * \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
\end{bmatrix}

也就是說。

接下來，咱們根據、與NDC座標的映射關係，推導出 $M_{projection}$ 的前兩行。知足[left,right]映射到[-1,1]，以下所示：

由於是線性映射關係，因此能夠設置線性方程，求出係數 K和常量 P。

經過代入[left,right]到[-1,1]的映射關係，能夠獲得線性方程：

x_n = \frac {2}{right - left} * x_p - \frac {right + left}{right - left}
\tag{3}

將上面的公式(1)代入公式(3)，可得：

x_n =
\frac {2 * x_e * near}{right - left} * \frac {1}{-z_e} - \frac {right + left}{right - left}
= \frac {\frac{2 * x_e * near}{right - left} + \frac {right + left}{right - left} * z_e}{-z_e}
\tag{4}

又由於，因此能夠進一步簡化公式：

x_c = \frac {2 * near}{right - left} * x_e + \frac {right + left}{right - left} * z_e
\tag{5}

根據公式(5)，能夠進一步獲得矩陣 $M_{projection}$ ：

\begin{bmatrix}
\frac {2 * near}{right - left} & 0 & \frac {right + left}{right - left} & 0 \\
* & * & * & * \\
* & * & * & * \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
\end{bmatrix}

OK，繼續看下 $y^{p}$ 的映射關係：知足[bottom,top]映射到[-1,1]，以下所示：

同理，根據 $y^{p}$ 線性映射關係，能夠獲得以下公式：

y_n =
\frac {2 * y_e * near}{top - bottom} * \frac {1}{-z_e} - \frac {top + bottom}{top - bottom}
= \frac {\frac{2 * y_e * near}{top - bottom} + \frac {top + bottom}{top - bottom} * z_e}{-z_e}
\tag{6}

又由於，因此能夠進一步簡化公式：

y_c = \frac {2 * near}{top - bottom} * y_e + \frac {top + bottom}{top - bottom} * z_e
\tag{7}

根據公式(7)，能夠進一步獲得矩陣 $M_{projection}$ ：

\begin{bmatrix}
\frac {2 * near}{right - left} & 0 & \frac {right + left}{right - left} & 0 \\
0 & \frac {2 * near}{top - bottom} & \frac {top + bottom}{top - bottom} & 0 \\
* & * & * & * \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
\end{bmatrix}

接下來須要計算的係數，這和、的計算方式不一樣，由於攝像頭座標系的座標投影到近平面後老是-near。同時咱們知道與x和y份量無關，所以，可進一步獲得矩陣 $M_{projection}$ ：

\begin{bmatrix}
x_c \\ y_c \\ z_c \\ w_c
\end{bmatrix}
.=
\begin{bmatrix}
\frac {2 * near}{right - left} & 0 & \frac {right + left}{right - left} & 0 \\
0 & \frac {2 * near}{top - bottom} & \frac {top + bottom}{top - bottom} & 0 \\
0 & 0 & A & B \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
\end{bmatrix}
*
\begin{bmatrix}
x_e \\ y_e \\ z_e \\ w_e
\end{bmatrix}

由於，因此能夠獲得：

又由於攝像頭座標系中 = 1，因此進一步獲得：

一樣的，代入與的映射關係：[-near，-far]映射到[-1,1]，可獲得：

z_n = \frac {-\frac{far + near}{far - near} * z_e - \frac {2 * far * near}{far - near}}{-z_e}
\tag{8}

又由於，能夠進一步簡化獲得和的關係：

z_c = -\frac{far + near}{far - near} * z_e - \frac {2 * far * near}{far - near}
\tag{9}

由公式（9）就能夠知道A和B了，所以，最終的矩陣 $M_{projection}$ ：

\begin{bmatrix}
\frac {2 * near}{right - left} & 0 & \frac {right + left}{right - left} & 0 \\
0 & \frac {2 * near}{top - bottom} & \frac {top + bottom}{top - bottom} & 0 \\
0 & 0 & -\frac{(far + near)}{far - near} & -\frac {2 * far * near}{far - near} \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
\end{bmatrix}

通常狀況下，投影的視見體都是對稱的，即知足left=−right,bottom=−top，那麼能夠獲得：

\begin
{cases} right + left = 0
\\
right - left = 2 * right = width
\end{cases}

\begin
{cases} top + bottom = 0
\\
top - bottom = 2 * top = height
\end{cases}

則矩陣 $M_{projection}$ 能夠簡化爲：

\begin{bmatrix}
\frac {near}{right} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac {near}{top} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\frac{(far + near)}{far - near} & -\frac {2 * far * near}{far - near} \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
\end{bmatrix}

除了能夠經過（left,right,bottom,top,near,far）指定透視投影矩陣外，還能夠經過函數glm::perspective指定視角(Fov)、寬高比（Aspect）、近平面（Near）、遠平面（Far）來生成透視投影矩陣，以下所示，指定了45度視角，近平面和遠平面分別是0.1f和100.0f：

glm::mat4 proj = glm::perspective(glm::radians(45.0f), width/height, 0.1f, 100.0f);
複製代碼

觀察視角的示意圖以下所示：

經過視角指定的透視投影變換以下所示：

經過視角指定的透視投影矩陣的視見體是對稱的：

由上圖可知，近平面的寬和高以下所示：

Height = 2 * near * \tan(\frac{\theta}{2}) \tag{10}

由於視見體是對稱的，因此把公式(10)(11)代入已有的 $M_{projection}$ 矩陣，能夠獲得由視角Fov表示的 $M_{projection}$ 矩陣，以下所示：

M_{projection} =
\begin{bmatrix}
\frac {\cot(\frac{\theta}{2})}{Aspect} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cot(\frac{\theta}{2}) & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\frac{(far + near)}{far - near} & -\frac {2 * far * near}{far - near} \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
\end{bmatrix}

經過 $M_{projection}$ 矩陣左乘攝像頭座標系中的頂點，就把這些頂點變換到了裁剪座標系。而後再通過透視除法，就變換到了NDC座標系。

正交投影

相比於透視投影矩陣，正交投影矩陣要簡單一些，以下所示：

由於正交投影不考慮遠小近大的狀況，因此正交投影矩陣 $M_{orthographic}$ 的第4行始終爲

。

對於正交投影變換，投影到近平面的座標( , ) = ( , )，所以能夠直接利用與、與、與的線性映射關係，求出線性方程係數。X、Y、Z軸的映射關係以下所示：

映射關係	映射值	示意圖
與的映射關係	[left , right] $\iff$ [-1 , 1]
與的映射關係	[bottom , top] $\iff$ [-1 , 1]
與的映射關係	[near , far] $\iff$ [-1 , 1]

根據上述的映射關係，同時攝像頭座標系的 = 1，能夠獲得三個線性方程，以下所示：

x_c = x_n = \frac{2}{right - left} * x_e - \frac{right + left}{right - left}
\tag{$x_n$和$x_e$的映射關係}

y_c = y_n = \frac{2}{top - bottom} * y_e - \frac{top + bottom}{top - bottom}
\tag{$y_n$和$y_e$的映射關係}

z_c = z_n = \frac{-2}{far - near} * z_e - \frac{far + near}{far - near}
\tag{$z_n$和$z_e$的映射關係}

根據上述3個線性方程，能夠獲得正交投影矩陣 $M_{orthographic}$ ：

M_{orthographic} =
\begin{bmatrix}
\frac{2}{right - left} & 0 & 0 & - \frac{right + left}{right - left} \\
0 & \frac{2}{top - bottom} & 0 & - \frac{top + bottom}{top - bottom} \\
0 & 0 & \frac{-2}{far - near} & - \frac{far + near}{far - near} \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}

若是視見體是對稱的，即知足left=−right，bottom=−top，那麼能夠獲得：

則正交投影矩陣 $M_{orthographic}$ 能夠進一步簡化爲：

M_{orthographic} =
\begin{bmatrix}
\frac{1}{right} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{top} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{-2}{far - near} & - \frac{far + near}{far - near} \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}

視口變換

通過投影變換和透視除法後，咱們裁減掉了不可見物體，獲得了NDC座標。最後一步是把NDC座標映射到屏幕座標（， , ）。以下所示：

在映射到屏幕座標時，咱們須要指定窗口的位置、寬高和深度。以下所示：

//指定窗口的位置和寬高
glViewport(GLint x , GLint y , GLsizei width , GLsizei height); 
//指定窗口的深度
glDepthRangef(GLclampf near , GLclampf far);
複製代碼

那麼能夠NDC座標和屏幕座標的線性映射關係：

映射關係	映射值
與的映射關係	[-1 , 1] $\iff$ [x , x + width]
與的映射關係	[-1 , 1] $\iff$ [y , y + height]
與的映射關係	[-1 , 1] $\iff$ [near , far]

所以，能夠設置線性方程，求出係數K和常量P。

把上述映射關係代入線性方程，能夠獲得各個份量的參數值。

座標份量	線性方程的係數`K`	線性方程的常量`P`
X份量線性方程	$\frac {width} {2}$	x + $\frac {width} {2}$
Y份量線性方程	$\frac {height} {2}$	y + $\frac {height} {2}$
Z份量線性方程	$\frac {far - near} {2}$	$\frac {far + near} {2}$