離散時間信號與系統-時域：4

18.衝擊響應

線性時不變系統是一個拓普利茲矩陣H，該矩陣能夠用h[n-m](其中n或m必定有一個0.例如：= h_n,0表示其中第0列，即m=0；h是一個列向量)，因此等於h[n]_。就含有矩陣的所有信息（0處於矩陣的中心）。

同時，也等於h[n-m]，即任何n,m點的值都用h向量表達出來，這個結論更重要。

 

使用delta衝擊函數，能夠獲得該矩陣的第0列所有信息，即delta衝擊信號通過該系統，獲得的系統響應（輸出），就能夠獲得系統的拓普利茲矩陣H。

根據前面對矩陣相乘的理解：系統輸出至關於以delta爲權值，對矩陣H的每一列進行加權，再對每一行進行求和，由於delta函數中只有n=0的位置有值，因此該操做獲得H的第0列（這就是h[n],或者說h_n,0）

線性時不變系統的通常化公式以下：系統的輸出y[n]爲關於n的函數，這裏的h[n-m]由以前的推到獲得。

將輸入x變爲衝擊信號delta，獲得delta衝擊的響應就是h[n]，即含有H的所有信息（可是h到H須要一個轉化過程，h不直接等於H）

利用衝擊函數獲得衝擊相應h，從而獲得矩陣H是一個標準過程，有趣。

例：計算縮放系統的衝擊響應，即獲得系統的h。利用衝擊信號代替輸入信號x[n],獲得輸入響應，最後根據H到h的轉換公式，獲得系統的拓普利茲矩陣。

 

注意：這個系統中只有主對角線的位置有值，其餘位置爲0。能夠從三個角度理解：

第三，[H]_n,m=h[n-m]，而h[n]=2delta[n]也是個LTI系統，因此h[n-m]=2delta[n-m]。

第一，就是h[n-m]只有在位置n和m同時爲0處有值，而拓普利茲矩陣是根據第0列的元素，在對角線方向複製對應元素構成。

第二，將n和m帶入其中，獲得每一個點的元素，只有在n=m的時候，h才存在值。

 

y[n]=x[n-2]位移系統的衝擊響應。

位移系統是在上面的系統進行位移獲得的結果。

第一種理解：將第0列h[0]向正方向移動兩位，而後利用拓普利茲矩陣的性質構造H。

第二種理解：n-m-2=0的位置纔有值。

Moving Average System的衝擊響應。

遞歸平均系統的衝擊響應。

首先，H{delta[n]}=delta[n]+alpha*delta[n]. delta[0]時纔有值,因此n<0時,沒有值.而根據遞歸的公式表達:y[0]=1,y[1]=alpha,y[1]=alpha^2.

有限長度的LTI系統，回憶循環矩陣的定義,大體與無限信號的矩陣相似,不一樣的是矩陣H中,每一列都是以第0列(有限信號的0列從第一列開始了哦)爲基礎的圓環位移(圓環模運算).

有限信號的衝擊響應,其結果與無限的相同,可是注意0列和0行的位置.

有人問了:這個0是怎麼規定的?

其實,是人爲規定的.有限信號的定義從0到N-1,因此H的第一列爲0很正常.

而無限信號,定義中間爲0比較好看,(從數學上也是以中間爲對稱,兩邊無限延伸)

 

有限信號的衝擊響應與無限的也同樣嘍

總結:

LTI系統至關於將輸入信號乘以無限大小的拓普利茲矩陣(無限信號)或者是N*N(有限信號)大小的循環矩陣H.

一個LTI系統的衝擊響應=進入該系統的衝擊信號的響應,具備兩個性質:

該衝擊響應表示了系統矩陣H的第0列。

該衝擊響應具備該LTI系統的所有信息。

那麼這個h如何能夠獲得輸入信號呢？具體公式以下：

19.卷積（無限長度信號）

三種計算LTI系統輸出的方法：

H定義爲公式或者算法，每一個時間輸入x[n]，從而獲得輸出y[n].

獲得衝擊響應h,從而獲得系統的拓普利茲矩陣H,最後直接利用矩陣相乘獲得.(無限矩陣很差算,不經常使用)

獲得衝擊響應h,而且根絕每一個輸入時間n,獲得矩陣的第n行與信號x的內積.這叫作卷積.(經常使用)，注意卷積的符號表達。

卷積就是內積的一個序列(每一個n對應一個內積)。
其中x[n]是向量，不一樣的n表明同一個輸入信號；h[n]是個矩陣，每一個n表明不一樣的向量，矩陣中的一行

從公式的理解上: h是系統的衝擊響應,h[n]表示了系統矩陣H的第0列(h[n]=h_n,0)的信息.而系統的第0行的信息是其時序的反轉(h[m]=h_0,-m),即h[m]=h[-n].

而第0行與x的內積就是y[0]的值,即y[0]=<h[m]_,x[m]>。同理，爲了計算其餘的y[n]，只要在第0行（h[m]）的基礎上向上、下進行移位,獲得H中相應的該行的值（拓普利茲矩陣性質）,而且與x求內積就行了，即h[n-m]x[m]。

這與矩陣角度理解徹底相同！這與矩陣角度理解徹底相同！這與矩陣角度理解徹底相同！

由於卷積具備交換律，因此必定要肯定h和x的前後順序。

在第5步的內積計算中，不要對第二個信號進行復數共軛的變換（只對第一個進行復數共軛轉置的操做，看前面章節）

例子：

當n爲0時候，h[-m]含有H的所有信息，此處前提條件：h[n]=x[n]，因此h[-m]是就爲x[-m].即m=0，-1，-2時有值。

計算n=-1時的輸出

推出n小於等於-1時,y=0

計算n=0

計算n=1

計算n=2

以此類推，獲得全部的值：

卷積例子2：

計算n小於0時

例如：n=2時，自變量m=0,1,2，一共有三個元素疊加。

若是n爲更通常的狀況，就是n大於0的時候，卷積就從自變量m=0開始，到m=n結束。

隨着n的增長，y向2不斷接近。

總結：

卷積就是輸入信號和一系列衝擊信號的的時序反轉，位移的內積。

20.循環卷積（有限信號）

循環卷積例子1：

n=0時候

 

n=1的時候，在h[-m]_s下，正向位移1位。

n=2時，正向旋轉2位。

以此類推：

總結：

注意循環卷積clock的旋轉操做。

練習課：

濾波器中衝擊響應越長，及濾波器越大，則信號被模糊的越厲害，可是噪聲除掉的比較好；而短的衝擊響應能夠保持信號的特性，可是噪聲不會除掉的很好，這裏面須要trade off

還有能夠檢測邊緣的濾波器。

21.卷積的性質

 

卷積符合交換律。

串聯: 信號通過兩個連續的濾波器，至關於通過 該兩個濾波器的卷積(做爲一個總體濾波器)

一個衝擊信號delta通過系統h1，經過與該系統的衝擊響應h1與delta的卷積(有點繞，其實h1也就是所求)，就是獲得該系統的矩陣H或者h1（也是該衝擊信號的響應）。

而信號h1通過h2，就是h1與h2的卷積結果。

系統的並行性：

 

因果系統，n小於0的時候，輸出信號爲0. 因果系統就是一個下三角的拓普利茲矩陣。

卷積的持續時間：

這個持續時間表示信號存在值（x[n]>0）的n的個數是有界的便可。而不是說信號的時間n有界。

有限衝擊系統，就是指h的duration是有限的，即h只在一段時間內有不爲0的值。

無限衝擊響應

假設兩個信號是無限的，可是兩個信號的持續D的長度是有限的。

兩個無限長度信號的卷積爲：Dx+Dh-1

具體：分別將Dx和Dh提出來，而且padding 上0,獲得x'和y'。

總結：

 

22.穩定系統

從題目就是看得出來，想看一個複雜系統是否是夠穩定，例如空間站，很是複雜，環境複雜，振動方式複雜，要計算整個系統是否是夠穩定。

當alpha是1/2時，系統behave比較好，上限是2；而3/2時，系統的behave就不是那麼好了，無窮大的一個上限。

BIBO穩定性：有界的輸入產生有界的輸出。

 

 

 充分條件：

h的1範數小於無窮，則系統爲BIBO。

 

證實其必要性：

 只要證實再h的1範數爲無窮的狀況下，系統不是BIBO的，即存在一個信號的無窮範數小於無窮，可是輸出y卻等於無窮。

 sign函數就是當自變量大於0，該函數爲正，若是函數值爲負，則該函數爲負數。

例子：

FIR系統都是BIBO的。

 

總結：