【信號與系統】04 - 離散時間信號

1. 離散時間傅里葉變換

1.1 離散LIT系統

　　前面三篇專一於討論連續信號，創建了比較完備的連續LIT系統的理論。在工業應用、尤爲是計算機科學中，數據、信號都是數字化的，信號在時間上甚至數值上都是離散的。離散時間的信號（簡稱離散信號），可能本來就是離散的（好比統計數據），也有多是連續信號的採樣值。在歷史上，離散信號與連續信號的理論是並行發展的，成熟以後才彙總到了一塊兒。總而言之，離散信號更便於存儲和處理，有着更普遍的使用領域。

　　本篇並行於前面的連續信號理論，集中闡述離散信號的對應結論。那些淺顯無差別的概念或結論，這裏會忽略或一帶而過，而把更多的筆墨放在有本質差別的部分。一個離散信號\(x[n]\)是指離散時間序列\(\{x[i], i\in\Bbb{Z}\}\)，雖然也能夠用數軸表示\(x[n]\)，但通常咱們並不關心非整數點的函數值。週期信號的週期\(N\)也是整數，後面將會看到，這是形成與連續系統差別的根本緣由。離散LIT系統的定義徹底相似連續LTI系統，以及因果性、無記憶性、穩定性等均可以照搬過來。

　　解析離散LIT時，一樣能夠先把信號作線性拆解（式（1）），其中\(\delta[n]\)僅在\(n=0\)時有非零值\(1\)，它被稱爲單位脈衝函數。而後假定\(\delta[n]\)的系統響應爲\(h[n]\)，它稱爲單位脈衝響應，相比單位衝激響應，\(h[n]\)的值是真正的響應值。最後用累加的方法，便知道信號的系統輸出爲式（2）。整個過程只有離散值的累加，再也不有奇異函數和積分，理解起來天然順暢。甚至微分、積分的概念也變成了簡單的差分、求和，好比\(\delta[n]\)的求和函數\(u[n]\)如圖，它被叫作單位階躍函數，反過來\(\delta[n]\)是\(u[n]\)的一次差分函數。

\[x[n]=\sum_{k\in\Bbb{Z}}x[k]\delta[n-k]\tag{1}\]

\[x[n]\to y[n]=x[n]*h[n]=\sum_{k\in\Bbb{Z}}x[k]h[n-k]\tag{2}\]

　　式（2）同時還定義了離散信號的卷積和，它一樣具備交換律、結合律、分配率，且證實更加直白。卷積和的性質，一樣也爲系統的串聯、級聯提供了方便的工具。另外顯然，因果系統知足式（3）左，有限持續的因果系統也叫有限脈衝響應（FIR），不然叫無限脈衝響應（IIR）。穩定系統的充要條件是絕對可和（式（3）右），信號趨於0的速度關係到系統的響應速度。

\[y[n]=\sum_{k=0}^{\infty}h[k]x[n-k];\;\;\sum_{k\in\Bbb{Z}}|h[k]|<\infty\tag{3}\]

1.2 傅里葉變換

　　離散週期信號\(x[n]\)能夠當作是連續週期信號\(x(t)\)的採樣，甚至能夠基於\(x(t)\)的FS討論\(x[n]\)的FS，但討論中沒法擺脫\(x(t)\)自己，難以生成有用的結論。故這裏的週期離散信號\(x[n]\)要求序列自身的週期性，即週期爲整數\(N\)，並以此從新創建分解、變換的理論。先定義週期爲\(N\)的信號的基波頻率\(\omega_0=2\pi/N\)，固然它本質上仍是角速度。而後考察全部基波\(\{E_k[n]=e^{jk\omega_0n}\}\)，顯然有\(E_{k+mN}[n]=E_k[n]\)，故實質上只有\(N\)個不一樣的基波，之後\(k\)的取值僅限於\(\langle N\rangle=\{0,1,\dots,N-1\}\)。

　　爲了進一步討論LIT的性質，這裏一樣要定義特徵函數和特徵值，式（4）代表離散指數函數\(z^n\)就是特徵函數。後面將會看到，離散系統的系統函數以\(z=e^s\)爲主要參數，而不一樣於連續系統中以\(s\)爲主要參數，故直接將式子寫成關於\(z\)的函數。固然在傅里葉變換中，爲了突出頻譜系數，暫時仍是寫成\(e^{j\omega n}\)。離散時間傅里葉級數（DTFS）就是把週期爲\(N\)的信號分解爲特徵函數系\(\{e^{jk\omega_0n}\}\)的線性和（式（5）左），而後利用特徵函數在週期內的「正交性」（乘積和爲0），求得具體的頻譜系數\(a_k\)（式（5）右）。離散信號的值都是有限的，不存在也不須要定義奇異函數，也不存在不連續點和無窮抖動。因此離散信號的DTFS老是存在的，且逆變換不存在偏差，這使得理論簡單而普遍有效。

\[z^n\to H(z)z^n;\;\;H(z)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}h[k]z^{-k}\tag{4}\]

\[x[n]=\sum_{k\in\langle N\rangle}a_ke^{jk\omega_0n};\;\;a_k=\dfrac{1}{N}\sum_{n\in\langle N\rangle}x[n]e^{-jk\omega_0n}\tag{5}\]

　　相似於FT推導，對通常離散信號\(x[n]\)，將其長爲\(N\)的截斷擴展爲週期信號\(\tilde{x}[n]\)，並觀察它的FS。當\(N\to\infty\)時，\(\{k\omega_0\}\)變成連續變量\(\omega\)，取值範圍\([0,2\pi]\)；\(\dfrac{1}{N}\)變成微分\(\dfrac{1}{2\pi}\,\text{d}\omega\)。最終便有了離散信號的離散時間傅里葉變換（DTFT，式（6）），其中頻譜系數\(X(e^{j\omega})\)可視爲週期爲\(2\pi\)的函數，單位脈衝響應的頻譜系數也叫系統函數。

\[x[n]=\dfrac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}\,\text{d}\omega;\;\;X(e^{j\omega})=\sum_{k\in\Bbb{Z}}x[n]e^{-j\omega n}\tag{6}\]

　　擴展到無窮領域，天然就要考慮其收斂性，不可貴出「可絕對求和」是FT收斂的一個充分條件。固然，FT收斂和分解式存在仍是兩個概念，好比離散週期信號的FS就能夠修改爲FT的形式。FS係數\(a_k\)轉化成FT中的「密度」應該是\(a_k\delta(0)\)，也就是說在基波頻率\(k\omega_0\)上的頻譜應當是\(2\pi a_k\delta(0)\)，綜合便有離散週期信號的FT（式（7））。

\[x[n]\;\overset{FS}{\leftrightarrow}\;a_k\;\;\Rightarrow\;\;x[n]\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\sum_{k\in\langle N\rangle}2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0)\tag{7}\]

1.3 z變換

　　接下來就是把離散時間的傅里葉變換擴展成拉普拉斯變換，即要將基波擴展到通常的指數函數\(z^n\)，如下記\(z=re^{j\omega}\)。對於給定的\(r\)，將\(r^n\)乘到式（6）左，便獲得\(x[n]r^n\)在\(\{(re^{j\omega})^n\}\)下的分解。整理後不可貴到擴展後的變換式（8），它被稱爲z變換，式（9）是它和FT的關係。

\[x[n]=\dfrac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(z)z^n\,\text{d}\omega,\;X(z)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}x[n]z^{-n}\tag{8}\]

\[x[n]\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X(re^{j\omega})\;\;\Rightarrow\;\;x[n]r^{-n}\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X(e^{j\omega})\tag{9}\]

　　z變換仍是在複平面內討論收斂域ROC，所謂收斂指在固定的\(r\)下全部\(X(re^{j\omega})\)都收斂，因此收斂域是以原點爲圓心的同心圓組成的，或者能夠簡單地表示爲\(r\)的取值範圍。和拉普拉斯變換的差別是由變量的選取（\(z=e^s\)）、以及\(\omega\)的範圍致使的，其實並沒有本質不一樣，徹底能夠把LT的特性平移過來。z變換的單位圓對應LT的虛軸，圓內（去除原點）、圓外的同心圓分別對應原點左邊、右邊的虛軸平行線。

　　以\(r\in(0,+\infty)\)或去原點的複平面爲整個定義域，可知有限持續信號的ROC在整個定義域上；右邊信號的ROC是某個同心圓之外的區域；左邊信號的ROC是某個同心圓之內（不含原點）的區域；通常雙邊信號的ROC則是某個環狀區域。固然以上單位圓和環的邊界均可能是\(0\)或\(\infty\)，邊界自己也可能在ROC內。最後，脈衝響應的z變換還被稱爲系統函數，因果系統（右邊信號）的ROC是某個同心圓外部，穩定系統的ROC必定包含單位圓。

2. 系統函數的性質

2.1 z變換的性質

　　z變換和拉普拉斯變換格式相近，大部分性質也都很雷同，這裏簡單羅列這些平行的性質。關於性質的ROC可自行討論，我想強調的是，即使不在ROC內，這些性質在那些收斂的\(z\)上仍然是成立的。另外不難發現，離散信號的傅里葉變換和連續週期信號的傅里葉級數，具備很好的對偶性，據此能夠簡化不少性質的證實。

　　式（10~12）分別是線性、時移、z域平移、共軛的性質，其中實信號知足式（12）右。對離散信號縮放的討論稍微困難一點，這裏僅討論整倍延展和時序翻轉兩種狀況。把信號拉伸\(m\)倍並設新增點（非\(m\)的整數倍）的值爲\(0\)，記新信號爲\(x_m[n]\)，帶入\(X(z)\)的公式便有式（13）左成立。它代表頻域橫向壓縮了\(m\)倍，本來的基波（時域）被拉昇後，還有新的基波填入，已不一樣於原來的分解。時序逆轉不只帶來頻域的正負翻轉，也會帶來z域的單位圓內外翻轉。

\[ax[n]+by[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;aX(z)+bY(z)\tag{10}\]

\[x[n-n_0]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\; z^{-n_0}X(z);\;z_0^nx[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X(\dfrac{z}{z_0})\tag{11}\]

\[x^*[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X^*(z^*);\;\;X(z)=X^*(z^*)\tag{12}\]

\[x_m[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X(z^m);\;\;x[-n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X(z^{-1})\tag{13}\]

　　信號的差分性質直接根據時移和線性便獲得（式（14）），信號的累加則是差分的逆運算，固有式（15）。對式（6）右兩邊求微分，便有\(z\)域的微分性質（式（16））。直接觀察\(X(z)\)的單項\(x[n]z^{-n}\)，對任何\(n>0\)，當\(z\to\infty\)時總有項的極限爲0（且是一致的）。因此對初始鬆弛的信號有式（17）的初值定理，但它和LT中的初值定理並沒有原理的相通性，也沒有相似的終值定理。最後就是那個不意外的結果，把式（18）左的卷積和當作信號\(x_1[n]\)在單位脈衝爲\(x_2[n]\)的系統下的輸出，根據特徵函數的性質應當有式（18）右成立。

\[x[n]-x[n-1]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;(1-z^{-1})X(z)\tag{14}\]

\[\sum_{k=-\infty}^nx[k]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{1-z^{-1}}X(z)\tag{15}\]

\[nx[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;-z\dfrac{\text{d}X(z)}{\text{z}}\tag{16}\]

\[x[k]=0,\;k<0\;\;\Rightarrow\;\;x[0]=\lim_{z\to\infty}X(z)\tag{17}\]

\[x_1[n]*x_2[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;X_1(z)X_2(z)\tag{18}\]

2.2 傅里葉變換的性質

 　　作爲z變換的特殊狀況，傅里葉變換也有一些特有的性質。好比實偶信號知足\(X(e^{-j\omega})=X^*(e^{-j\omega})\)，既有它的頻譜系數爲實數；一樣還有實奇信號的頻譜系數爲純虛數。再好比積分性質中\(z=1\)時，需單獨討論密度係數\(\pi X(1)\delta(0)\)（相似連續狀況）。以及利用離散信號FT與連續週期信號FS的對偶性，很快能獲得式（19）的能量譜公式（帕斯瓦爾定理），以及式（20）的乘法公式，注意右邊爲週期卷積。

\[\sum_{n\in\Bbb{Z}}|x[n]|^2=\dfrac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\omega})|^2\,\text{d}\omega\tag{19}\]

\[x_1[n]x_2[n]\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{2\pi}X_1(j\omega)*X_2(j\omega)\tag{20}\]

　　離散時間週期傅里葉級數是FT的原型，幾乎全部的性質均可以平移過來，只須要把\(X(e^{j\omega})\)換成\(a_k\)、\(2\pi\)換成\(N\)便可。典型的有周期卷積和與乘積的對偶式（21），以及式（22）帕斯瓦爾定理。

\[x[n]*y[n]\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;Na_kb_k;\;\;x[n]y[n]\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;a[n]*b[k]\tag{21}\]

\[\sum_{n\in\langle N\rangle}|x[n]|^2=N\sum_{k\in\langle N\rangle}|a_k|^2\tag{22}\]

2.3 經常使用系統函數

　　先來看單位脈衝的z變換式（23）左，它仍然是全部基波的無相移疊加，單位脈衝的時移便是\(z\)的多項式或簡單分式（式（23）右）。\(\delta[n]\)是\(u[n]\)的一階差分，從而有式（24）左成立，下移\(1\)後仍然有式（24）右成立，只是ROC相反了。式（24）的格式有點不一樣於LT，咱們不要「簡化」它，而是繼續遵循其自身的格式特色，之後把系統函數當作\(z^{-1}\)的分式。

\[\delta[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;1;\;\;\delta[n-k]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;z^{-k}\tag{23}\]

\[u[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{1-z^{-1}},\;(r>1);\;\;-u[-n-1]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{1-z^{-1}},\;(r<1)\tag{24}\]

　　接下來把z域的平移性質用在式（24）上，可有帶參數的一次式（25）左。利用求和性質或\(z\)域微分（式（25）右），可獲得更高階的一次式，它們也都有ROC爲反向的表達式。式（25）左的\(a\)也能夠爲複數，對實數域內不能分解的二次項，利用復根即可有式（26~27）。至此，任何\(z\)的實數域分式均可以分解爲不一樣一次項和二次項之和，它表明的系統也就拆分紅了多個簡單系統之和。固然，分式分解比LT要麻煩一點，高階分式處理起來也不容易。

\[a^nu[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{1-az^{-1}};\;\;nx[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{z^{-1}}{1-z^{-1}}\tag{25}\]

\[\cos\omega n\cdot u[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1-\cos\omega\cdot z^{-1}}{1-2\cos\omega\cdot z^{-1}+z^{-2}}\tag{26}\]

\[\sin\omega n\cdot u[n]\;\overset{Z}{\leftrightarrow}\;\dfrac{\sin\omega\cdot z^{-1}}{1-2\cos\omega\cdot z^{-1}+z^{-2}}\tag{27}\]