離散時間信號與系統-時域：1

教程：RICE大學在edx上的相關課程「ELEC301x Discrete Time Signals and Systems

 

1. 離散時間信號與系統

信號是能夠探測到的物理量，而且其中攜帶了信息。
Signal (n): A detectable physical quantity ...by which messages or information can be transmitted (Merriam-Webster) 

信號處理系統是對信號中攜帶的信息進行處理。例如濾波，編碼，通訊...

信號是函數，其中自變量是獨立的變量，而因變量之間每每是相關的。在信號x[n]中，每一個獨立變量n產生一個值x[n]，而x[n]之間是不獨立的（例如語音，同一段話的語音的波形是類似的）。離散時間信號中的n是整數（大多數狀況是時間），而x[n]通常是實數或者複數。

在刻畫信號時使用離散的點，橫軸是離散的，縱軸是實數。現實中的信號看上去更加複雜一點，但本質相同。

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在matlab中使用stem命令，而不是plot，plot畫的是連續的圖。

 

複數信號的寫法有兩種：極座標和直角座標。 工程上用j表示複數軸，而數學中用i表示複數。複數信號的表示中，實數經常表示

直角座標系中，信號拆分紅兩部分。

在極座標表示中，複數信號也拆分紅幅值和角度。

 

總結：信號中的獨立變量n是整數，表示時間；信號中的非獨立變量x[n]是實數或複數。

 

2.信號的性質

學習內容：有限、無限信號；週期信號；因果信號；奇、偶信號；數字信號

 

有限、無限信號表示的是信號的長度n的範圍。

注意：有限信號指的是在信號兩端沒有定義，不是0也不是別的，而是沒定義。

週期信號，非週期信號叫作aperiodic。

有限信號與無限信號之間的轉換：經過在無限信號中的某段上加窗口將無限信號轉化爲有限信號.將有限信號進行0填充或者週期化變爲無限信號。

週期化，就是將信號按照週期N進行連續的平移，是信號在整個軸上補充完整。

模運算與週期信號息息相關。進行N的模運算就像使用一個含有N個小時的手錶。

例如畫一個以含有8小時的表。那麼4 mod 8的結果就是從0開始轉4下，結果爲4；12 mod 8的結果就是從0開始轉12下，結果仍是4（轉了完整的一週又走到4）。-4 mod 8的結果是負方向轉4下，以此類推能夠獲得任意數mod8的結果。模運算與生俱來就是週期性的。

 

2.5.經過模運算對信號進行週期化。

 一個長度爲N的信號x[n]，經過模運算能夠十分方便的表示該信號的週期化。

下面的左圖爲有限信號，右圖爲該信號的週期化（無限信號）。無限信號的時間軸是無限長的直線，週期信號是一個含有N（週期長度）的圓環。

 有限信號和週期信號含有的信息是相同的。

因果信號（Causal Signals）：信號中n小於0時的信號值爲0。

基數、偶數信號與奇函數偶函數定義相同。

任何信號均可以由奇信號和偶信號共同組成。

奇數和偶數信號部分，從組成上看，偶數部分抵消了奇數的信號，而基數信號抵消了偶數的信號，因此每一個信號都是隻含有奇數和偶數的。

數字信號時離散時域信號的子集。數字信號的特色是bit與信號值聯繫到了一塊兒，這個是數字系統的基礎啊。

總結：

信號可使用不一樣方法歸類：實數，複數，有限，無限，週期，非週期，因果，非因果，奇數，偶數...。有限信號和週期信號涵蓋的信息相等；模運算很是有用。

 

3.信號移位

原則是左加右減， 移位指的的是信號值x[n]位置的平行移動。

仍然是左加右減，圓環的正向爲左。注意週期信號的表達方式。

 

有限信號在移位的時候，出現定義域和值域不存在的問題，解決辦法就是進行循環移位（跟週期信號很像）。

就是將有限信號首位相連，構成一個圓環，這樣無路如何移位，都沒有問題。

 

總結：

信號的移位是指在時間軸上將信號進行移動。模運算提供了一個簡單的進行週期信號移位的方式。 

 

4. Test signals

須要瞭解：Delta function，Unit step，Real exponetial，sinusoids，complex exponentials。這些信號做爲無限信號進行介紹，可是每一個信號也有一個有限長度的信號與其相等。

 

此處須要注意，m是個常數。x[n]delta[n-m]表明兩個信號相乘，而x[m]delta[n-m]表明一個信號與一個數相乘。

 

 

5.正弦函數

正弦函數(包括咱們常說的正弦，餘弦)出如今無數的學科當中，特別是信號處理；他們是離散傅里葉變換和離散時域傅里葉變換的基礎。學習目標：實數正弦函數，複數正弦函數，複數指數函數

由頻率omega和相位決定的函數。頻率單位是每一個樣本點轉過的弧度，相位的單位就是弧度。餘弦函數時偶函數，正弦函數是奇函數，前面咱們曾經推出結論，任何信號均可以由偶函數和奇函數組成！！！

 

複數正弦函數：根據歐拉公式獲得複數包含了正弦部分（複數）和餘弦部分（實數）。

 

複數正弦是在Z軸上的螺旋線，包含兩種變化，頻率的正負決定了螺旋線的旋轉方向。

複數正弦中的負數頻率並不可怕，僅僅是複數軸的sin函數的正負發生了變化，而cos函數徹底相同。

 

相位的變化比較有趣，相位的移動與頻率無關，也就是說並非在頻率軸中進行整數移動（每次都移動到整數nw的位置）。而是跟週期2pi有關係，例如pi/4，就是移動1/8個週期，此時採樣頻率沒有變化，因此函數值爲1的點（在第一個函數中）採樣不到了。

 

總結：

正弦函數再理論和應用中都很重要，包含頻率和相位兩個部分。

複數正弦函數是一個三維的螺旋，表明了正弦和餘弦。其中頻率爲負數不用懼怕，僅僅是螺旋線反向旋轉而已。

 

6.離散時域正弦線函數很是奇怪

離散時域正弦函數有兩個特別奇怪的地方，他們都和頻率omega有關係：一個是混疊;另外一個是反週期。

兩個頻率不一樣的離散時域正弦信號的圖像徹底相同，這就叫作混疊。

 

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只有omega在2pi以內，纔不會出現混疊。通常使用兩個定義域：[0,2pi],[-pi,pi]

 

諧波正弦信號。

 

實驗：

隨着k的增長，角頻率w不斷增長，可是咱們發現信號並非隨着角頻率的增長而頻率變得愈來愈快。

而k=4時，信號的週期最短，離散正弦信號的頻率轉換最快。

信號的實數部分：k=1和k=7兩個信號如出一轍（發生混疊）。

信號的虛數部分：k=1和k=7兩個信號是徹底相反的關係（至關於sin（-wn）=-sin（wn）），由於k=7時，w=7*pi/4，至關於-1*pi/4, 與k=1相反。

 

將信號以圖像的形式表示出來，這個也叫作DFT DFT DFT.兩個特色：

k=1和k=7（等等）時，信號的實數部分徹底相同，而虛數部分徹底相反。

實數部分和虛數部分都是沿着主對角線對稱。

 

總結：

只有諧波正弦頻率的信號纔是具備週期的離散正弦信號。

信號長度N決定了k的取值範圍，例如N=8決定了0-7的範圍，從而肯定了DFT的頻率個數，同時N也決定了DFT後的信號長度。

最圖像上能夠看出更明顯的區別DFT後的信號有很強的規律。

 

 

 

 

前面涉及到的複數（離散時域正餘弦函數）的複數中，指數部分是個純虛數，也就是說都是模長爲1的複數。

那麼，更通常化的複數是什麼樣子呢？其中，z的模長不只僅是1.

 

  復指數其實是一個螺旋，其中omega決定了螺旋旋轉的速度，而z決定了螺旋的半徑大小。因此，通常狀況下就是一個隨着時間不斷變大或者變小的螺旋。

 

 從平面上看，就是信號的幅值不斷變大或者變小的狀況。

 

 總結: