離散時間信號與系統-時域：2

 7.信號是向量

信號是數學對象，咱們將要展現分析信號幾何性質的工具-線性代數。經過線性空間的解讀，咱們能夠對信號的強度，信號之間的類似程度進行分析。使用矩陣能夠更好地理解信號處理過程。

 

向量空間的定義，就是一個線性空間的定義。

在實數空間R和複數空間C都有效，經常表述爲N維的空間。咱們將使用二維空間進行舉例。

學習中，僅僅使用x就表明二維空間中的向量，而且每一個向量的份量從0開始計數，而不是1.標量alpha是實數。向量空間的性質1：縮放（尺度變換）就是alpha x。

向量空間的性質2：兩個向量相加，仍然處於這個向量空間。

信號的相加，表示兩個信號的混合（mix）後的新的信號。

複數向量空間僅在實數向量空間進行簡單的修改：信號中的每一個份量是一個複數（是複數就存在兩種表示方法：複平面座標與極座標）。

直角座標系表示：分紅兩個向量；極座標系，注意每一個信號的大小是絕對值（實際上是該信號在的長度）。

8.信號的線性組合

許多信號處理的基礎是多個信號的混合相加，線性組合結果仍然是該向量空間中的向量。

假設每一個信號（向量）都是一種樂器產生的時域信號。混音就是簡單將他們進行線性組合（混音哦，好帥）

線性組合=矩陣相乘，每一個x_m都是一個向量（列），表明一種樂器隨着時間出現的聲音的嘛，而線性組合就是矩陣和向量的乘積。

更加血腥的細節！！！ x_m的信號長度爲N，而一共有M種信號，將其細節進行展現以下。因此信號獲得兩種表述，矩陣表述(n行m列的矩陣)[X]n,m= x_m[n]（一共有m種信號，每一個信號長度爲n）。分別把X視爲標量和把x視爲向量。

 因此信號的線性組合就是矩陣的乘法

總結：

線性代數在數字信號處理中過重要了！！！ 

信號存在於向量空間的向量！！！

經過線性組合，咱們能夠將多個信號組合成一個新的信號。

線性組合其實就是矩陣和向量的乘法。

 

9.信號的範數（Norm）

出現一個問題： 如何衡量信號（向量）的強度？

 

 

信號的強度經過範數進行描述，其中2範數（也叫歐式距離，歐式距離，歐式距離）定義爲一個信號的能量（power）。（注意2範數的寫法和它的縮寫方法）；例子中是複數空間哦。

P範數表示信號的絕對值的p次方的累加，最後再進行p次開方。1範數爲每一個信號份量的絕對值的和。注意：都是對信號份量絕對值的操做，即表示該信號向量的每一個維度上的操做。

有意思的來了！！！無窮範數表示的是一個信號中，幅值最大的份量。

2範式描述的是信號的能量，而無窮範式描述的是信號的峯值（該信號份量的1範式的值，不是歐式距離。注意注意注意，複數空間中這個值是該信號的長度）。

應用舉例:揚聲器

在磁鐵周圍纏繞一層線圈（coil of wire），在振動一側，將線圈與紙質的椎體連接（paper cone），當線圈中流過電流，電磁效應使得線圈沿着軸向左右移動，拉動紙質椎體進行振動，最後發聲。

若是能量（2範式）的值太大，線圈就會因爲過熱而融化。

若是峯值（無窮範式）的值太大，線圈就會左右移動的太厲害，致使紙質椎體脫膠（回憶一下，真的好常見啊。）

 

例子2：自動駕駛汽車

2範數表示汽車的軌跡相對正確路線的擬合程度。 （能量越小，擬合程度越高，表示汽車沿着真個軌道走的越好）。可是，僅僅損失函數的值達到最好仍是不夠，若是無窮範數過大，表示某一次的偏離及其嚴重，那麼就會產生嚴重事故。 因此，這個時候通常須要在軌跡兩側創建警惕線，而該車的軌跡的無窮範數的值不容許超過警惕線範圍。

向量的標準化（歸一化）：將向量的長度化爲1.

 

 總結：

範數測量了信號的強度，咱們介紹了1範數，2範數和無窮範數。

 

10.內積

上面介紹了信號是向量，單個信號的定量分析（強度等）由範數規定。下面，咱們介紹一對信號的定量分析，（做用巨大並且很是常見的方法）。

 

信號的轉置：行與列進行交換。

若是將轉置與共軛操做放在一塊兒（這個操做頗有用），就叫作複數轉置（厄米特轉置），使用H進行表示先進行轉置，而後將每一個份量進行取共軛操做，用*號表示。實數的共軛轉置就是普通的轉置咯。

 

複數乘法法則：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。因此，複數與其共軛相乘等於一個實數。

內積的定義中，後面的向量要進行共軛轉置，複數空間的時候，虛數部分符號取反；實數空間的時候，與普通的轉置相同）。實數向量的內積是個值（標量），而複數向量的內積仍然是個複數（標量，例如x和y一個實數向量，一個虛數向量）。可是這種定義能夠保證複數向量本身自己的內積是個正數。

實數信號中，角度等於內積與兩個向量的2範數的相除。複數信號中稍微複雜，角度等於內積的實數部分與兩個向量的2範數的相除。注意 注意 注意 複數內積夾角的求法。
內積就表示兩個向量的類似程度，雖然計算時使用x[n]與y[n]*的乘積，可是它表示的是x[n]與y[n]的內積，<x[n],y[n]>

 

應用舉例：

 

 每一個信號自己的內積就是該信號的2範數。（實數與複數皆同樣）

正交向量：若是兩個向量正交，則他們的內積爲0

諧波正弦是正交的。（諧波正弦表示改離散時域正弦信號爲週期信號的狀況，即角頻率omega爲:(2*pi*k)/N,N是週期）。 注意離散時域正弦的定義，注意離散時域正弦的定義，注意離散時域正弦的定義。

注意：exp^j*2*pi*k = 1 由於，exp^j*2*pi*k = cos（2*pi*k）+j*sin（2*pi*k）

 諧波正弦信號的2範數爲sqrt（N），其中N爲信號長度。它的歸一化以下：

總結：

內積的定義。內積夾角度定義。諧波正弦信號是正交的。

 

11.矩陣相乘和內積

信號的線性組合就是矩陣與向量的乘積，而線性組合也能夠表示爲兩個向量的內積。

多個不一樣信號，在時間n進行混合，獲得的值y[n]爲：X矩陣的第n行與權值的內積。複數向量的內積計算須要共軛轉置，因此用T表達是不許確的。

 

總結：

矩陣與向量相乘也是向量內積。

 

12.柯西不等式

內積和角度這兩個有用的工具能夠幫助咱們對信號進行比較。Amazing的是，柯西不等式能夠對這個比較進行定量分析。

經過夾角獲得了柯西不等式，獲得結論：內積體現了兩個信號的類似程度。

柯西不等式很重要，柯西不等式很重要，柯西不等式很重要。兩個信號共線，則他們的類似程度最高。一個信號就是另外一個信號的縮放（哇哇哇，太神奇）。（想一想他們的信號長度N相同，通過alpha的縮放。）

 

應用舉例：大前提：全部信號在傳輸過程當中，都有噪音的影響。

如何識別通信信號中的0和1？ 由於實際波形噪音嚴重，可是經過與理想信號（0和1）進行內積，就能獲得該信號屬於0或者1的可能性的大小。

雷達發出一個衝擊信號，同時不斷接受各類信號（純噪音，各類信號與噪音的負荷信號），一樣進行不斷的內積，若是發現了較大的內積值，就是咱們想要的結果了。根據延時信息還能夠獲得該信號（飛機）的速度信息。

面部識別：最簡單的是圖像的全部點都進行了註冊，因此信號的長度相等，對應份量位置表示相同的信息。因此內積能夠表示兩個圖像的類似程度。（實際識別複雜的多）

 

總結：

內積能夠衡量兩個信號的類似程度。

柯西不等式對這種衡量進行了校準，結果在0，1之間。信號接近邊界分別表示了不一樣和類似。

 

 

13.長度無限的向量（信號）

以上，咱們研究的對象都是有限長度的信號，包括實數和複數兩種信號，並研究了他們的範式，內積和線性組合。下面，咱們看看無限長的信號。信號的份量標示n從負無窮到正無窮之間。

 

先看看超級有用的2範數。 從有限到無限，範數的定義沒有變化。可是，在無限長度信號中，不必定存在2範數~~~~~~

 

例如，下面信號的2範數表示該信號： 能量無限能量無限能量無限 哈哈我瘋了。

推廣到p_norm，也不是全部的無限信號都有P範數。

無窮範數呢？

內積的定義與有限信號相比，也沒有變化噢。

無限信號的內積與線性組合關係十分緊密，而且與有線信號的線性組合是同樣的。 更重要的是：咱們對不少無限信號的線性組合很是關注。

總結：

無限信號的範數，內積，線性組合與有限信號徹底同樣。

BUT， 無限信號存在1範數，2範數，無窮範數不存在的狀況。另外，線性組合中可能涉及到無窮種信號的混合（而不僅僅是信號長度爲無窮）