離散時間信號與系統-時域：3

14.系統

系統就是變換（Transformations，在線性代數中表示運動的一種描述）.將一個離散時域信號x映射到一個離散時域信號y。例如：磁共振成像系統。

 與有限信號的和無限信號相對應的處理有限信號的系統和無限信號的系統。

其中，offset翻譯成：補償系統麼？ Decimate 翻譯成抽樣系統麼？

總結：

系統經過對信息的操做將一個信號變換爲（transform）另外一個信號。

將無限信號x變換爲無限信號y。

將長度爲N的信號x變換爲長度爲N的信號y。

15. 線性系統

兩個性質： 縮放性和可加性。

注意：兩個性質都是系統輸出y隨着系統輸入x的變化。而對應信號中x[n]的總體變化，不是n的變化。（時不變是關於n的）

證實系統線性，須要證實系統對任意輸入信號都保持兩個性質。而證實非線性只須要一個返例。

矩陣相乘和線性系統的關係，寫在前面：線性代數就是描述線性變化的學科，主要手段就是矩陣相乘。因此他們聯繫天然緊密。

矩陣相乘就是一個線性系統。全部的線性系統均可以表達爲矩陣相乘。

這個結論很是imba，想一想工科研究，都是對各類模型系統進行的，而這些系統基本上都是線性系統！！！  因此，都是矩陣相乘。

 

使用圖像的形式對線性系統進行表達，仍是蠻有趣的一件事。而圖像的表達也是不少線性系統研究的方式之一。

線性系統能夠當作矩陣H的列向量的線性組合，x是權值向量，y是輸出。 

線性系統也能夠看作是一系列的內積。每一個y[n]都是H矩陣中的第n行與x的內積。

除了以上兩種理解：

從線性代數的角度看，矩陣相乘就是向量的線性變換（從空間的一個點變換到另外一個點），或者說該點不變，而是空間自己的變換。相關連接：矩陣的理解這篇文章。

 總結：

線性系統的性質。

線性系統h能夠表達爲一個矩陣（H），因此能夠從兩個角度理解：

系統輸出y能夠看作是矩陣H的加權平均，權值是x。

系統輸出y也能夠當作是H的行向量和x的內積的序列。

16.時不變系統(也叫移不變系統)

一個系統昨天輸入x，今天輸入x，明天輸入x，任什麼時候間輸入x都只獲得一樣的輸出y。輸出只與x[n]的值有關，與時間n無關，爲何強調這個？ 由於信號是x[n]是時間的函數呀。因此時不變系統與n的變化無關！！！！ 

一樣時間位移產生一樣的時間位移的輸出。一樣時間位移產生一樣的時間位移的輸出。一樣時間位移產生一樣的時間位移的輸出。

有限信號的時不變系統與無限信號的區別之處爲：有限信號的移位經過模操做（圓環）來完成，還記得麼？ （第一章中有）。因此在表達式上使用模操做。

總結：

時不變系統的性質不變，不論什麼時間進行輸入。

無限信號：任何整數的時間位移，系統皆保持不變。

有限信號：任何環狀時間位移，系統皆保持不變。

 

17.線性是不變系統

同時含有線性和時不變兩個性質的系統。

 

 

有趣的地方出現了！！！有趣的地方出現了！！！有趣的地方出現了！！！

線性時不變系統的矩陣H是很是特殊的。輸出y[n]是H的第n行，與x信號的內積，即每一個h_n,m與x[m]相乘再累加。(由於系統的輸出只與輸入x有關係，而H不變，即h也不變)

當該系統是時不變系統時，則將n-q帶入系統，至關於信號向右移動了q位，因此在計算時，x的表示爲x[m-q]。

由h構成的矩陣H叫作託普利茲矩陣，託普利茲矩陣，託普利茲矩陣。該矩陣的特色是： 對角線方向上的元素所有相同。

而這個性質使得經過個一個向量就能夠存儲整個矩陣的信息.

第0行和第0列(H中兩個很是特殊向量): 第0列就含有所有信息（注意0的位置，在矩陣的中心），H矩陣的其餘元素都是沿着對角線方向複製第0列;另外，第0行的時間反序=第0列.

根據上面性質，獲得新的矩陣表示形式，每一個元素的值h_n,m=h[n-m]

注意：[n-m]的值在對角線位置處永遠相同，因此h[n-m]中不管n-m的結果是多少，在h上必定有個元素與之對應，因此該表達能夠表示任何元素。

 

線行時不變系統的矩陣結構（有限長度信號）-Matrix Structure of LTI Systems (Finite-Length Signals)

長度爲N的輸入信號，通過線性系統，獲得長度爲N的輸出信號。其矩陣表示爲：第n個輸出信號y[n]等於H矩陣的第n行，該行的每一個對應第m個元素與輸入信號x的第m個元素相乘，最後再相加。

對系統加入時不變性質，即輸入x[n-q]對應輸出y[n-q]。因此係統H矩陣不變，而原來的m元素變爲m-q（注意m和n的轉換，由於H用n表示行，因此用m表示元素個數），經過模運算表示爲：(m-q)_N

進一步將n'=n-q合m'=m-q進行代替，這一步就是將系統的表達換爲x[n]和y[n]的形式，注意H座標的變化。

因此，咱們獲得了輸入爲x[n],對應輸出爲y[n]，因此說明H矩陣具備特殊形式以下：

將矩陣所有表示出來，就是對角線方向的值徹底相同：

一樣,第0行和第0列是兩個特殊的向量:

矩陣是個循環矩陣:

H能夠經過第0列進行不斷的循環位移獲得,第2列就是第1列向下(正方向)必定1位.

H也能夠經過第0行進行不斷的循環位移獲得,例如第2行就是第1行向右(正方向)移動1位.

注意：後面的矩陣只需用一個序號n就能夠了，這個在卷積的計算中太有用了！！！這個在卷積的計算中太有用了！！這個在卷積的計算中太有用了！！

第0行的循環時序反轉是如何運行的？

 

h0,0是不變的。而m=1時表示在長度爲N的圓環中向反方向旋轉1位，即獲得最後一個元素（第N-1個），即棕色的像素。同理依次獲得h[m]的全部元素（與第0列徹底相同）。

因此，這個循環時序反轉是根據環狀模運算獲得改向量中的全部份量，結果是h[o]元素就是取環中的0號元素，而從h[1]開始則從該環中的最後一個開始時間倒序取值。這點與無限信號十分不一樣，無限信號中直接將第0行的向量進行關於m=0點對稱翻轉便可。

總結：

線性時不變系統=線性+時不變。是信號處理系統的基礎。

無限信號系統=託普利茲矩陣（Toeplitz matrix H），該矩陣具備特殊形式：

 與之對應，有限信號的系統爲循環矩陣（circulant matrix ）

 

這兩個矩陣再也不使用下標表示矩陣，很重要。