數論四大定理

威爾遜定理

概念

p可整除(p-1)!+1是p爲質數的充要條件

 

 

歐拉定理

概念

歐拉定理，也稱費馬-歐拉定理。

若n,a爲正整數，且n,a互素，即  gcd(a,n) = 1，則  a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

 

擴展歐拉定理

概念

 

費馬小定理

概念

若 n 是質數，a%n !=0，則   a^(n-1) ≡1（mod n）;

　　　　　　a%n ==0，則   a^(n-1) ≡0（mod n)

若 n 是質數，gcd(a,n) =1，a^φ(n) =n-1，則 a^(n-1)≡0（mod n)

 

 孫子定理

概念

求知足 n%A=a && n%B=b 的數

則 n = ( k1*B*a + k2*A*b )% lcm( A,B ) + m * lcm( A,B );　　// k1*B%A = k2*A%B = 1;

此時，顯然可得，n%A=a && n%B=b ;

 

推廣一下：

設 Gi=∏(A...) /Ai;

n = ∑(ki*Gi*gi) %lcm(A...) +m*lcm(A...);　　//Gi*gi%Ai = 1;

 

 

 

附：三大定理的證實（定理的引用參考《初等數論及其應用》）

做者：synapse7
來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/synapse7/article/details/19610361

 

1、威爾遜定理

(PS:在利用定理4.10時，僅需用到a^-1的存在性；證實中的「只有」二字要用定理4.11中的「惟一性」)

 

2、歐拉定理

證實前，咱們先定義一個概念：

 

3、費馬小定理

重申一遍，gcd(a,p)=1