數論概論學習筆記（二）——費馬大定理簡述

費馬大定理

　　定理內容：當正整數 n>2 時，關於 x,y,z 的不定方程

xn+yn=zn

　　沒有正整數解。又叫Fermat’s Last Theorem. 　　

　　 　　該定理由17世紀法國數學家[Pierre de Fermat](http://baike.baidu.com/view/6303430.htm)提出，故以費馬之名命名。 　　德國佛爾夫斯克曾宣佈以10萬馬克做爲獎金獎給在他逝世後一百年內，第一個證實該定理的人，吸引了很多人嘗試並遞交他們的「證實」。被提出後，經歷多人猜測辯證，歷經三百多年的歷史，最終在1995年被英國數學家[Andrew Wiles](http://baike.baidu.com/view/483440.htm)完全證實。 　　

定理的提出

　　大約1637年左右，法國學者費馬在閱讀丟番圖（Diophatus）《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：「將一個立方數分紅兩個立方數之和，或一個四次冪分紅兩個四次冪之和，或者通常地將一個高於二次的冪分紅兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現了一種美妙的證法 ，惋惜這裏空白的地方過小，寫不下。」（拉丁文原文: 「Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.」）
　　畢竟費馬沒有寫下證實，而他的其它猜測對數學貢獻良多，由此激發了許多數學家對這一猜測的興趣。數學家們的有關工做豐富了數論的內容，推進了數論的發展。

定理的證實

　　許多著名的數學家，例如瑞士著名數學家歐拉、法國自學成才的女數學家熱爾曼、德國數學家狄利克雷和法國數學家勒讓德、法國數學家拉梅等等，都嘗試證實費馬大定理均以失敗了結，他們只證實了定理某種狀況下成立，但沒法給出完全的證實。可是他們的證實材料爲後人證實大定理提供了寶貴的資料。
　　
　　1993年6月在劍橋牛頓學院要舉行一個名爲「L函數和算術」的學術會議，組織者之一正是懷爾斯的博士導師科茨，因而在1993年6月21日到23日懷爾斯被特許在該學術會上以「模形式、橢圓曲線與伽羅瓦表示」爲題，分三次做了演講。聽完演講人們意識到谷山—志村猜測巳經證實。由此把法爾廷斯證實的莫德爾猜測、肯.裏貝特證實的弗雷命題和懷爾斯證實的谷山—志村猜測聯合起來就可說明費馬大定理成立。其實這三個猜測每個都很是困難，問題是懷爾斯最後證實，他變爲完成費馬大定理證實的最後一棒。
　　1993年6月23日從劍橋牛頓學院傳出費馬大定理被證實以後，世界媒體普天蓋地般報道了該喜訊。
　　但此刻數學界反倒十分冷靜，明確指論證還需仔細審覈，由於歷史上曾多少次宣佈證實但後來被查證錯誤。懷爾斯的證實被分爲6個部分分別由6人審查，其中第三部分由凱茲負責的查出關於歐拉系的構造有嚴重缺陷，使科利瓦金—弗萊切方法不能對它適用，懷爾斯對無能爲力，1993年12月懷爾斯公開認可證實有問題，但表示很快會補正。一時間懷爾斯的證實被認爲認爲是歷史上拉梅、柯西、勒貝格、裏貝特（裏貝特也曾稱證實了谷山–志村猜測）錯誤證實的又一例子。1994年1月懷爾斯邀請劍橋大學講師理查德.泰勒到普林斯頓幫他完善科利瓦金–弗萊切方法解決問題，但整整8個月過去，問題沒有解決。泰勒準備再一個月回劍橋，而後懷爾斯正式公佈手稿，認可證實失敗，1994年9月19日懷爾斯想本身證實失敗緣由該怎麼寫，回顧本身是先用巖澤理論未能突破然後用科利瓦金—弗萊切方法，又該法對一類特殊歐拉系出了問題，這樣一想，忽然又想到何再也不用巖澤理論結合科利瓦金—弗萊切方法試試？問題解法就是這樣，懷爾斯絕地縫生，修補了漏洞。1994年10月25日11點4分11秒，懷爾斯經過他之前的學生、美國俄亥俄州立大學教授卡爾.魯賓向世界數學界發了費馬大定理的完整證實郵件，包括一篇長文「模橢圓曲線和費馬大定理」，做者安德魯.懷爾斯。另外一篇短文「某些赫克代數的環論性質」做者理查德.泰勒和安德魯.懷爾斯。至此費馬大定理得證。
　　懷爾斯和他之前的博士研究生理查德·泰勒用了近一年的時間，用以前一個懷爾斯曾經拋棄過的方法修補了這個漏洞，這部份的證實與巖澤理論有關。這就證實了谷山-志村猜測，從而最終證實了費馬大定理。
1995年，他們把證實發表在《數學年刊》（Annals of Mathematics）第142卷，實際佔滿了全卷，共五章，130頁，題目爲《模形橢圓曲線和費馬大定理 (Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem)》。

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參考文獻

【1】百度百科 費馬大定理 【詞條/OL】 http://baike.baidu.com/subview/18295/11075322.htm 2016.12.17