數論之歐拉定理

本文介紹[初等]數論、羣的基本概念，並引入幾條重要定理，最後籍着這些知識簡單明瞭地論證了歐拉函數和歐拉定理。

數論是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質。

算術基本定理（用反證法易得）：又稱惟一分解定理，表述爲 任何大於１的天然數，均可以惟一分解成有限個質數的乘積，公式：\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{a_i}\)，這裏\(p_i\)均爲質數，其指數\(a_i\)是正整數。算術基本定理是初等數論中一條很是基本和重要的定理，它把對天然數的研究轉化爲對其最基本的元素——素數的研究。

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羣

集合封閉性：集合中的任意個數元素通過運算所得結果還是該集合的元素，則稱該集合在此運算法則下是封閉的。

單位元：單位元\(e\)與任意元素\(a\)運算所得結果仍爲\(a\)。

逆元：若\(a*b=b*a=e\)（\(*\)表示該羣的二元運算符），則稱\(a\)與\(b\)互爲逆元。

羣：羣是指由一個集合\(G\)和一個二元運算符構成的代數系，對於該二元運算符是封閉的、可結合的，擁有單位元，而且每一個元素都有對應的逆元（逆元也是集合中的元素）。例如：整數集\(\mathbb{Z}\)就是一個具備加法運算(表示爲\(+\))的羣，其中0爲單位元，任意元素\(a\)都有逆元\(-a\)。

思考：整數集在乘法運算下是否爲羣？

有限羣是元素數目有限的羣。對於有限羣\(G\)的任意元素\(a\)，定義\(a^{i+1}=a * a^{i}\)，則可獲得一系列元素\(a,a^2,a^3,\cdots\)（可稱爲\(a\)的軌道），最後該系列元素必然會重複，由於有限羣的元素是有限的。\(a\)第一次重複出現前的元素必爲單位元\(e\)，\(a\)的軌道的元素個數稱爲元素\(a\)的階，設爲\(k\)，即有\(a^k=e\)。有限羣\(G\)中任意元素的軌道都是\(G\)的一個[循環]子羣。

拉格朗日 (Lagrange)定理：有限羣中任意元素的階一定整除該有限羣的階。（按某種方法將羣中全部元素構形成一個二維數組可得）

等價類：又稱同餘類，即除以\(n\)獲得相同餘數\(r\)的整數組成的子集，表示爲\(\langle r\rangle_{n}\)。\(r\)可取值爲0到\(n-1\)，都能獲得相應的等價類，咱們取每一個等價類中的最小非負整數獲得的集合表示爲\(Z_{n}\)。顯然\(Z_{n}=\{0, \cdots, n-1\}\)，這是\(n\)的全部等價類的規範化表示，又稱爲\(n\)的最小[徹底]餘數系。

顯然，\(Z_{n}\)在加法運算下爲一個有限羣，而在乘法運算下則不是（元素未必有逆元）。咱們將\(Z_{n}\)中在乘法運算下有逆元的元素的集合表示爲\(Z_{n}^{*}\)，這些元素的一個特性是和\(n\)沒有公因子，如\(Z_{10}^{*}=\{1,3,7,9\} \text { 和 } Z_{12}^{*}=\{1,5,7,11\}\)。\(Z_{n}^{*}\)是乘法運算下的一個羣。

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歐拉定理

理解歐拉定理老是要先介紹歐拉函數。歐拉函數用於計算小於等於\(n\)且與\(n\)互素的正整數的個數，用\(\varphi(n)\)表示。顯然，小於等於\(n\)且與\(n\)互素的正整數的集合即\(Z_{n}^{*}\)。可知\(\varphi(n)=\# Z_{n}^{*}\)，其中\(\# S\)表示集合\(S\)的基數（元素個數）。若\(n\)是素數，那麼\(Z_{n}=Z_{n}^{*}\)，\(\# Z_{n}^{*}=n-1\)。

定理1.1：對於素數\(p \text { 和 } q, \varphi(pq)=\varphi(p)\varphi(q)=(p-1)(q-1), \text { 且 } \varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1)\)。（其實前者只要\(p, q\)互素便可知足，可經過構造一個\(p\times q\)二維數組獲得，亦或根據中國剩餘定理可推得）

證實歐拉函數通用形式：\(\varphi(x)=x\prod\limits_{i=1}^r(1-\frac{1}{p_i})\)，其中\(x>1, p_1, \cdots, p_r\text { 爲 } x\)的全部質因數。

根據算術基本定理，可寫\(x=\prod\limits_{i=1}^{r}P_i^{k_i}\)，同時易證若干素數的冪方乘積與另外若干不一樣素數的冪方乘積互素，即 \((\prod\limits_{i=1}^ap_i^{j_i},\prod\limits_{i=1}^bq_i^{k_i})=1\)，因而：

依據定理1.1，\(\varphi(x)=\varphi\left(p_{1}^{k_{1}}\right) \varphi\left(p_{2}^{k_{2}}\right) \cdots \varphi\left(p_{r}^{k_{r}}\right)=p_1^{k_1-1}(p_1-1)p_2^{k_2-1}(p_2-1)\cdots p_r^{k_r-1}(p_r-1)\),

即證：\(\varphi(x)=\prod\limits_{i=1}^rp_i^{k_i-1}(p_i-1)=x\prod\limits_{i=1}^r(1-\frac{1}{p_i})\)

 注意：每種質因數只計數一個。 好比12=2*2*3那麼根據歐拉函數φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4。

歐拉定理（Euler's theorem）：若\(a\)是\(Z_{n}^{*}\)的一個元素，則有\(a^{\varphi(n)}=1(\bmod n)\)。

根據歐拉函數的定義，\(\#Z_n^*=\varphi(n)\)。設\(k\)爲元素\(a\)的階，根據拉格朗日定理，\(\varphi(n)\)可被\(k\)整除，即有整數\(r\)，使得\(\varphi(n)=rk\)。

又由本文前述可知，元素的階次冪等於單位元，即\(a^k=1(\bmod n)\)，因而：

\(a^{kr}=a^{\varphi(n)}=1(\bmod n)\)，得證。

歐拉定理更通常的表述：若正整數\(a,n\)互素，則\(a^{\varphi(n)}=1(\bmod n)\)。

從上述證實過程可知，若是 a 與 n 是互素的正整數，知足同餘方程\(a^x\equiv 1\pmod{n}\)的解都是元素\(a\)的階的正整數倍。此處階可記爲\(ord_na\)。

根據歐拉定理，\(a a^{\varphi(n)-1}=1(\bmod n)\)，可得\(a\)的逆元（此處又可稱模反元素）一定存在，且\(a^{-1}=a^{\varphi(n)-1}\)。

思考：費馬小定理是歐拉定理的一個特例，試推斷之。

定理：歐拉函數知足\(\sum_{d | n} \varphi(d)=n\)，其中\(\sum\)的下標表示\(n\)的全部因數（包括\(n \text { 和 } 1\)）。

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其它

生成元：羣中元素能夠由最小數目個羣元的乘積生成，這組羣元稱爲該羣的生成元，生成元的數目爲有限羣的秩。

秩：生成元的數目爲有限羣的秩。有限羣的生成元的選擇不惟一，但秩不變。

羣、環、域：

1. 羣是含一個二元運算，由單位元和逆元，而交換羣（加羣）是還要知足交換律，半羣是羣的擴展，只知足結合律
2. 環是兩個二元運算、對加法構成加羣，對乘法構成半羣，知足分配律
3. 域是兩個二元運算，對加法構成加羣，對乘法構成非零元的交換羣，知足分配律

 

 

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