小數在內存中是如何存儲的？

小數在內存中是如何存儲的？

文本關鍵字：小數、float、double、浮點數、精度

1、IEEE 754（二進制浮點數算術標準）

在學習進制轉換時，咱們瞭解到：咱們常用的十進制數是轉換爲二進制進行存儲的，只須要按照順序將轉換後的結果放在對應的位置上就好了。其實小數的存儲也是基於二進制的，不過因爲小數由整數部分和小數部分組成，爲了方便表示和比較，會使用另外的方式來存儲。
IEEE 754是最普遍使用的浮點數運算標準，在標準中規定了四種表示浮點數值的方式：

• 單精度：32位 - 4字節
• 雙精度：64位 - 8字節
• 延伸單精度：43+
• 延伸雙精度：79+
  對於進制轉換不清楚的同窗能夠進傳送門：進制之間如何轉換？

  1. 存儲結構

  小數在內存中的存儲由三部分組成，分別是符號、階碼（或稱指數）、尾數。符號位咱們很熟悉，只佔一位，而且出如今最高位，0爲正，1爲負。

• 單精度：符號1位，階碼8位，尾數23位
• 雙精度：符號1位，階碼11位，尾數52位
• 延伸精度不多使用，不作介紹

2. 存儲方式

一個十進制的小數在進行存儲時，首先要將整數部分與小數部分都轉換爲二進制，而後再整理成相似科學技術法的形式，即：移動小數點，使得小數點的左邊只有一位，而且只可能爲1（由於是二進制），小數點右側的部分即爲尾數部分，移動小數點的位數將會被記錄在指數部分中。爲了可以透徹的理解十進制小數轉化存儲在內容中的過程，咱們還須要瞭解一個概念：階碼。

2、階碼（指數）

1. 定義

對於一個二進制數，咱們總能夠把它整理成：尾數 ✖️ 2的P次方的形式，其中P就被定義爲階碼，咱們也能夠認爲2是底數，P爲指數，以整數形式表示。

2. 爲何小數被稱做浮點數？

• 定點小數

在早期計算機中，爲了節省硬件資源，階碼P的值是被固定的，那麼小數的表示形式也同時被固定了。規定第一位爲符號位，小數點固定在第一位後面，這種小數是純小數，被稱爲定點小數。

• 浮點小數

與定點小數相對的，若是階碼P可變，那這種小數表示法就被稱爲浮點表示，這樣的數也就被稱爲浮點數了。更爲重要的一點，P指明瞭小數點的位置。

3. 移碼

明白了階碼的概念，也瞭解了浮點數的前世此生，那麼咱們大費周章的說這個概念幹什麼呢？沒錯，重點來了，就是爲了這個移碼的碼制。在進行小數點移動時，須要先將十進制數轉換爲二進制，再去移動小數點，保證小數點左側只有一位，且數值爲1。

• 對於絕對值大於2的數，這個時候咱們向左移動小數點，對應的指數爲正數；
• 對於一個絕對值小於1的數，這個時候咱們向右移動小數點，對應的指數爲負數；
• 絕對值在1和2之間的數嘞？這個時候不用移動好叭。。。

那麼問題就來了，咱們的指數有的時候正，有的時候負。But！更爲嚴重的問題是，在指數部分對應的區間並無符號位這個東西，最前面的符號位表明的是小數自己的正負，這就使得存儲和比較都變得困難，因此咱們但願經過一種修正的方式避開正負號的問題。怎麼作呢？以float爲例，指數部分長度爲8。
原有帶符號位的8個bit的存儲範圍是-128 ~ 127（不明白的同窗能夠進傳送門爲何一個byte的存儲範圍是-128~127？），也就是說能夠記錄-128次方到+127方之間的全部指數值。若是忽略符號位，把它也當作一個數據的存儲位，那麼範圍就是0~255，咱們取這個數的一半做爲修正值，即：127，把每次移動小數點後得到的指數值都加上127。

• 小數點向左移動3位，對應的指數爲+3，存入指數部分的值即爲130的二進制表示
• 小數點向右移動2位，對應的指數爲-2，存入指數部分的值即爲125的二進制表示

這樣的好處就是避開了符號的問題，同時，原有的指數的值也獲得的了保存，取出的時候減掉127就行了。那麼直觀的講，原來的範圍是-128 ~ 127，加上127以後範圍應該變成-1 ~ 254，貌似對應關係有問題呀~這實際上是一個很簡單的二進制換算問題，對於有符號數，最高位爲符號位，用1表明負數，-128的補碼爲：1000 0000，可是這在無符號數眼裏的值爲128，-1的補碼爲：1111 1111，可是在無符號數眼裏值爲255。因此咱們不能直接經過加減法得出這個取值範圍，而應該結合二進制存儲的規則（不明白的同窗能夠二進傳送門查看補碼相關的知識：爲何一個byte的存儲範圍是-128~127？）。

3、小數的進制轉換

說了這麼久，咱們用幾個例子來給你們演示一下，會給你們列出小數在內存中存儲的完整表示，在這以前仍是須要先學習一下十進制小數應該怎麼轉換爲二進制（讀者心裏：我太難了。。。）。

1. 十進制轉二進制

小數分爲整數部分和小數部分，整數部分的轉換照常進行，不斷的除2獲得，小數部分恰好是不斷的乘2獲得，一直到小數部分爲0，或者已經達到了對應的精度，以69.3125爲例。

• 整數部分：69 = 64 + 4 + 1 = 2^6 + 2^2 + 2^0
  • 對應的二進制數爲：0100 0101
• 小數部分：轉換過程以下 -> 不斷乘2，取出結果中的整數部分
  • 對應的二進制數爲：0101

• 最終轉換結果：0100 0101.0101

  2. 二進制轉十進制

  由二進制轉換爲十進制比較簡單，就是運算規則作相反的運算，整數部分是作除法獲得的，那麼轉換回去的時候就是作乘法，小數部分是作乘法獲得的，那麼轉換回去的時候就作除法，以0100 0101.0101爲例。

• 整數部分：2^6 + 2^2 + 2^0 = 64 + 4 + 1 = 69
• 小數部分：0 x 2^-1 + 1 x 2^-2 + 0 x 2^-3 + 1 x 2^-4 = 0.3125

能夠看到規律實際上是統一的，就是從左至右根據二進制數乘以2的n次方，從左至右n的值不斷遞減，在個位處，n的值爲0，進入小數部分n的值爲負數，在運算上的體現爲除法。

3. 小數在內存中的存儲表示

• 99.9

9.9的二進制表示：1100011.111001100110011001100110011001100110011001101。如今咱們須要將小數點左移6位，對應的指數值爲+6。此時小數點右側的位數爲51位，這些將會被存放在尾數部分，若是使用double類型能夠將數據所有記錄，可是若是使用float類型，因爲尾數部分只有23位，全部只能記錄部分的數據，偏差也就產生了！
整理一下，符號位爲0，指數部分爲6+127=133，尾數部分直接丟進去，能裝多少裝多少，以float爲例。
最終表示爲：0 10000101 10001111100110011001100

• 0.226

0.226的二進制表示：0.0011100111011011001000101101000011100101011000000100001。此時小數點須要右移3位，對應的指數值爲-3，剩下的尾數部分一樣能塞多少塞多少。
整理一下，符號位爲0，指數部分爲-3+127=124，以float爲例。
最終表示爲：0 1111100 11001110110110010001011

4、float與double

1. 精度範圍

從上面的例子咱們能夠看到，當一個小數在存儲的過程當中，偏差就已經產生了，並且因爲是轉換爲二進制存儲，咱們很難對全部的小數進行判斷是否在存儲時丟失了精度。看下面幾個例子：

public static void main(String[] args) {
        Float f1 = 99.99999f;
        System.out.println(f1);// 輸出結果：99.99999
        // 貌似很正常啊，其實float的心裏慌的一批
        Float f2 = 99.999999f;
        System.out.println(f2);// 輸出結果：100.0
        // 此時終於暴露了吧？在存儲時就已經丟失了精度，在參與小數計算時更加暴露無遺
    }

• float精度：小數點後6~7位
• double精度：小數點後15~16位

丟失精度的緣由通過上面的分析和例子相信你們應該很清楚了，咱們按照常規流程進行二進制轉換後獲得的尾數部分可能很長，可是以單精度或雙精度進行存儲時只能存儲一部分，那麼必然致使精度的丟失。

2. 解決精度不足

float和double做爲基本數據類型使用起來固然是比較方便，可是精度的問題會形成不許確，雖然咱們能夠經過使用保留幾位小數的方式勉強應對，可是爲了保證高精度一般會使用BigDecimal，具體用法不在此贅述，將在後續文章中說明。

3. 與長整型的比較

咱們在接觸基本數據類型的時候曾經碰到過一個大哥大，曾覺得可以裝進去很大很大的整數，畢竟是8字節的身材，可是仔細那麼一比較，存儲範圍居然還比不過4字節的float，更不要說同等身材的double了。

• long的存儲範圍：-2^63 ~ 2^63 - 1
• float：-2^128 ~ 2^128
• double：-2^1024 ~ 2^1024

以上數據只是表示一個量級，不能表明浮點數的精確範圍，不過這也足夠碾壓long類型了，以致於long類型能夠隱式轉換爲float，這就解決了咱們的一個疑問，爲何4字節的float存儲範圍比8字節的long類型還要大？天然是存儲方式不一樣。