互質數的性質及裴蜀定理

 

兩個互質數的線性組合=1一定有解。

 

即ax + by = 1 （a、b互質， a > b）。

當x=1,y 的值等於某個數時，ax+by的值爲 a%b， 設這個數爲z

·若a%b = 1， 原表達式成立；

 

·若a%b ！= 1， 則 a + bz = a%b，因而 x *（a + bz） = x * （a%b）(ax+by能夠表示成a%b的線性組合)

 

既然ax + by 能夠表示成（a%b）的線性組合 ， 則 ax + by 能夠表示成 a 和 （a%b） 的線性組合 或 b 和 （a%b）的線性組合 或 a、b 和 （a%b）的線性組合。

（經驗告訴咱們，選第二個啦）

此時問題轉化爲了b和（a%b）的線性組合 = 1是否有解， 即 bx + （a%b）* y = 1 是否有解，

不停轉換下去，由於gcd（a，b） == 1， 最終b 必定 爲 1， a%b 必定等於0， 因而此表達式必定有解。

而後裴蜀定理（ax + by = gcd（a，b）必定有解）也就這樣被證實了（？！）。

 

推論：{

（1）：

互質數的最小公倍數是這兩個數之積，即 lcm（a，b） = a*b。

 

解釋， 因爲 a、b互質， 則 ax + by = 1 一定有解， 設兩個數的一個公倍數是N，

則 a|N 且 b|N， 因而 （a*b）| （N*b）且（a*b）|（N*a）， 因而（a*b）|（x*（N*b）+y*（N*a）），

即（a*b）|（N*（ax + by））， 而ax + by 的最小值(非零)爲1， 因而（a*b）|N，這意味着

a、b的公倍數是（a*b）的倍數， （a*b）的最小倍數（非零）是 1， 則a、b的最小公倍數是 a*b。

}