[BZOJ 2299][HAOI 2011]向量 題解（裴蜀定理）

[BZOJ 2299][HAOI 2011]向量

Description

給你一對數a,b，你能夠任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)這些向量，問你能不能拼出另外一個向量(x,y)。
說明：這裏的拼就是使得你選出的向量之和爲(x,y)

Input
第一行數組組數t，(t<=50000)
接下來t行每行四個整數a,b,x,y (-2109<=a,b,x,y<=2109)

Output
t行每行爲Y或者爲N，分別表示能夠拼出來，不能拼出來

Solution

1.考慮把八種狀況合在一塊兒，發現反向操做能夠合併，那麼操做也就是有四種（a,b）,（-a,b）,（b,a）,（-b,a）;

2.設四種操做進行的次數分別爲x1,x2,x3,x4,那麼:

對橫座標的操做爲x1a-x2a+x3b-x4b,即(x1-x2)a+(x3-x4) b=x;

對縱座標的操做爲x1b+x2b+x3a+x4a,即(x1+x2)b+(x3+x4)a=y;

因而咱們驗證兩方程是否有整數解便可。

3.裴蜀定理告訴咱們：當gcd(a,b)|ans時，方程有整數解。

考慮四個係數的奇偶性，由於四個係數是四個數的組合，因此gcd應該是原來的二倍。

好比當x1-x2是奇數時，假設可行解中係數x1+x2爲偶數，那就不成立了，因此咱們分狀況討論以後發現，知足要求時gcd應該爲原來的二倍。

Code

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
 
ll g;
 
inline ll rd(){
    ll x=0; 
    bool f=0;
    char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){
        if(c=='-')f=1;
        c=getchar();
    }
    while(isdigit(c)){
        x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
        c=getchar();
    }
    return f?-x:x;
} 
 
ll gcd(ll x,ll y){return y?gcd(y,x%y):x;} 
 
bool valid(ll x,ll y){return (!(x%g))&&(!(y%g));}
 
int main(){
    ll t=rd();
    while(t--){
        ll a=rd(),b=rd();
        ll x=rd(),y=rd();
        g=gcd(a,b)<<1;
        printf((valid(x,y)||valid(x+a,y+b)||valid(x+b,y+a)||valid(x+a+b,y+a+b))?"Y\n":"N\n");
    }
    return 0;
}