微分方程、動力系統與混沌導論 第7章 非線性系統[書摘]

第7章 非線性系統

      在本章，咱們開始研究非線性微分方程。對於系統(常係數)系統，咱們總能夠找到任一初值問題的顯式解，對於非線性系統，這種狀況至關少見。事實上，一些基本性質，例如解的存在惟一性，在線性情形下是顯然的，而在非線性情形則再也不成立。咱們將看到，有些非線性系統甚至對任何初值問題都無解。另外一方面，有些系統卻有無窮多個不一樣解。並且即便找到這樣系統的一個解，它也不必定對全部時刻有定義。例如，解有可能在有限時間就趨於$\infty$。隨之而來，問題就產生了：例如，當系統的初始條件發生哪怕一點微小變化時，將會發生什麼？相應的解會連續變化嗎？全部的這些問題對線性系統都是清楚的，而對非線性系統則未必。這意味着非線性微分方程的基本理論要比線性的複雜得多。

      實際中產生的大部分非線性系統都是「好的」，也就是說，它們具備解的存在惟一性，當初始條件改變時，解也會隨之而連續變化，其它的「天然」性質也將發生變化。這樣，咱們就得面臨一個選擇：給定一個非線性系統，咱們要麼簡單地向前進行，寄但願(或者去驗證)在每一種特定情形，系統解的行爲都很好；在此刻停下來，花些時間來闡述一些必要的假設，以保證給定的非線性系統解的行爲很好。

 

7.1 動力系統

      大多數的非線性微分方程系統不可能解析地求解。緣由之一就是，咱們沒有足夠多具備特定名稱的函數來寫出這些系統的顯式解。一樣困難的是，咱們將看到，高維繫統可能產生混沌行爲，這種性質使得即便知道了顯式解，也不會對咱們理解系統的總體行爲有什麼實質性的幫助(爲何呢？)。因而，爲了理解這些系統，咱們被迫去尋找另外的辦法，這就是在動力系統領域出現的各類技巧。咱們將綜合應用分析的、幾何的以及拓撲的技巧來獲得有關這些方程解的行爲的嚴格結果。

      動力系統是一種描述一個給定空間$S$中全部點隨時間旅程的方法。空間$S$能夠當作是，好比，某個物理系統的狀態空間。數學上，$S$多是歐幾里得空間，也多是歐幾里得空間的一個開子集(爲何要強調是開呢？)，或一些其它空間，如$\mathbb R^3$中的曲面。當咱們考慮力學中產生的動力系統時，空間$S$將是系統全部可能的位置和速度。爲了簡單起見，咱們將始終假設空間$S$就是歐幾里得空間$\mathbb R^n$，但在某些情形，重要的動力行爲只侷限在$\mathbb R^n$的一個特定子集上。

      給定一個初始位置$\boldsymbol X \in \mathbb R^n$，$\mathbb R^n$上的一個動力系統會告訴咱們$\boldsymbol X$在1個單位時間後在哪裏，2個單位時間在哪裏，等等。咱們將$\boldsymbol X$的這些新位置記爲$\boldsymbol X_1,\boldsymbol X_2,$等等。在零時刻，$\boldsymbol X$的位置爲$\boldsymbol X_0$。在零時刻前一個單位時刻，$\boldsymbol X$的位置爲$\boldsymbol X_{-1}$，通常地，$\boldsymbol X$的「軌線」由$\boldsymbol X_t$給出。若是隻是在整數時間值測量位置$\boldsymbol X_t$，咱們就獲得一個離散動力系統的例子，咱們將在第15章研究離散動力系統。若是在連續時間$t \in \mathbb R$測量位置$\boldsymbol X_t$，咱們就獲得一個連續動力系統。若是系統以一種連續可微的方式依賴於時間，咱們就獲得一個光滑動力系統。這是在微分方程系統研究中產生的三種主要類型的動力系統。

      將$t$帶到$\boldsymbol X_t$的函數要麼是獲得$\mathbb R^n$中的一列點，要麼是獲得$\mathbb R^n$中的一條曲線，不管哪一種情形，它都記錄了當時間從$-\infty$跑到$\infty$時，$\boldsymbol X$的生活歷史。動力系統的不一樣分支須要對$\boldsymbol X_t$怎樣依賴於$t$做不一樣的假設。例如，遍歷理論須要假設這樣的函數保持$\mathbb R^n$上的一個測度不變；拓撲動力系統則只需假設$\boldsymbol X_t$是連續變化的。在微分方程情形，咱們一般假設$\boldsymbol X_t$是連續可微的(這三種分支的特色和研究重點是什麼呢？)。對每一個時刻$t$，咱們均可以定義映射$\phi_t:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$，它將$\boldsymbol X$映到$\boldsymbol X_t$(就像Markov鏈同樣，從某一時刻，轉移到另外一時刻)。因爲咱們可將$\boldsymbol X_t$理解成隨時間變化的一個狀態，指望$\phi_t$是以$\phi_{-t}$爲逆就是很天然的事(至關於一條路，能從點$a$走到點$b$，天然，沿同一條路，能夠從$b$走到點$a$)。一樣地，$\phi_0$一定就是恆等函數$\phi_0(\boldsymbol X) = \boldsymbol X$，而$\phi_t(\phi_s(\boldsymbol X)) = \phi_{t+x}(\boldsymbol X)$也是一個天然的條件。咱們將全部的這些都正式地陳述在下面的定義中。

定義  $\mathbb R^n$上的一個光滑動力系統是指這樣的一個連續可微函數$\phi:\mathbb R \times \mathbb R^n \to \mathbb R^n$，其中$\phi(t,\boldsymbol X) = \phi_t(\boldsymbol X)$知足下面的兩條：

      (1)$\phi_0:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$爲恆等函數：$\phi_0(\boldsymbol X_0) = \boldsymbol X_0$；
      (2)對全部的$t,s\in \mathbb R$，複合函數$\phi_t \circ \phi_s = \phi_{t+s}$。

      回憶一下，一個函數是連續可微的，若是在整個定義域上，它的全部偏導數都存在而且連續。習慣上，一個連續可微函數是指一個$C^1$函數；若是函數是$k$次連續可微的，它就稱爲一個$C^k$函數。注意，上面的定義蘊涵着，對於每個$t,\phi_t:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$都是$C^1$的，並且有$C^1$的逆$\phi_{-t}$。

例  對於一階微分方程$x' = ax$，函數$\phi_t(x_0) = x_0 \exp (at)$給出了這個方程的全部解，並且也定義了$\mathbb R$上的一個光滑動力系統。

例  令$\boldsymbol A$爲一$n \times n$矩陣。則函數$\phi_t(\boldsymbol X_0) = \exp (t\boldsymbol A)\boldsymbol X_0$就定義了$\mathbb R^n$上的一個光滑動力系統。顯然，$\phi_0 = \exp (0) = \boldsymbol I$，並且在上一章中已經看到：

\[\phi_{t+s} = \exp ((t+s)\boldsymbol A) = (\exp (t \boldsymbol A))(\exp (s\boldsymbol A)) = \phi_t ○ \phi_s.\]

      能夠看出，上面兩個例子都是與微分方程系統$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$緊密相關的。通常地，從每一個光滑動力系統均可以以下獲得$\mathbb R^n$上的一個向量場(能夠經過以上兩例驗證)：給定$\phi_t$，令

\[\boldsymbol F(\boldsymbol X) = \frac{\text d}{\text d t}\Bigg|_{t=0} \phi_t(\boldsymbol X).\]

因而，$\phi_t$剛好就是與$\boldsymbol X' = \boldsymbol F(\boldsymbol X)$的流相應的時間$t$映射。

      反過來，若是微分方程$\boldsymbol X' = \boldsymbol F(\boldsymbol X)$的流對全部的時間，其時間$t$映射都有良好的定義，並且是連續可微的，則這個微分方程就生成了一個光滑動力系統。很遺憾，事情並不老是如此。(須要什麼條件呢？見前面光滑動力系統的定義!)

 

7.2 存在惟一性定理

      咱們如今轉到微分方程的基本定理——存在惟一性定理。考慮微分方程系統

\[\boldsymbol X' = \boldsymbol F(\boldsymbol X).\]

其中$\boldsymbol F:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$。此係統的一個解是指定義在某一區間$J \subset R$上的函數$\boldsymbol X:J \to \mathbb R^n$，使得對全部的$t \in J$，都有

\[\boldsymbol X'(t) = \boldsymbol F(\boldsymbol X(t)).\]

幾何上，$\boldsymbol X(t)$是$\mathbb R^n$中的一條曲線，對於全部的$t \in J$，切向量$\boldsymbol X'(t)$都存在而且等於$\boldsymbol F(\boldsymbol X(t))$。像前面幾章同樣，咱們認爲這個向量的基點位於$\boldsymbol X(t)$，因而映射$\boldsymbol F:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$就定義了$\mathbb R^n$上的一個向量場。解$\boldsymbol X:J \to \mathbb R^n$的一個初始條件或一個初值是指形如$\boldsymbol X(t_0) = \boldsymbol X_0$的一個規定，其中$t_0 \in J,\boldsymbol X_0 \in \mathbb R^n$。爲了簡單，咱們一般取$t_0 = 0$。微分方程的一個主要問題就是尋找任一初值問題的解，即對每一個$\boldsymbol X_0 \in \mathbb R^n$，肯定系統的解使得它知足初始條件$\boldsymbol X(0) = \boldsymbol X_0$。

      很遺憾，非線性微分方程對某些初始條件可能會沒有解(會不會有無窮多個解呢？可能會!)。

例  考慮下面簡單的一階微分方程

\begin{equation}
x’=\left\{ \begin{array}{cl}
1 & \textrm{if }x<0\\
-1 & \textrm{if }x\ge0.\end{array}\right.
\end{equation}

$\mathbb R$上的這個向量場在$x \ge 0$時指向左邊，而在$x <0$時指向右邊。所以，沒有解知足初始條件$x(0) = 0$。事實上，若是有這樣的一個解，因爲$x'(0) = -1$，它在初始時必定是遞減的，可是，對全部取負的$x$，解又必須是遞增的，這不可能發生。進一步，還可注意到，任何一個解都不可能對全部時間都有定義(對全部時間都有定義有什麼特別意義呢？)。例如，當$x_0 > 0$時，過點$x_0$的解爲$x(t) = x_0 -t$，但根據剛纔一樣的理由，這個解只在$-\infty < t < x_0$時有意義(由於若$t \ge x_0$，其導數應該爲1，而不是-1)。

      這個例子中的問題在於向量場在0處並不連續；只要向量場在某點出現間斷，咱們就可能面對相鄰的向量卻指向「相反」的方向，這樣就使得解在這些壞點處中斷。

      對於非線性微分方程，除了解的存在性問題以外，咱們還會碰到，某些方程對於同一個初值問題可能會有許多不一樣的解。

例(本例沒看懂!!)  考慮微分方程

\[x' = 3x^{\frac{2}{3}}.\]

恆等於零的函數$u:\mathbb R \to \mathbb R,u(t) \equiv 0$顯然是知足初始條件$u(0) = 0$的一個解，而$u_0(t) = t^3$也是知足這個初始條件的一個解(是解嗎？)。進一步，對任意的$\tau > 0$，由下式給出的函數

\[u_\tau (t) = \left\{\begin{align} &0 &\text {if}&t \le \tau \\& t-\tau)^3 &\text{if}&t>\tau,\end{align}\right.\]

也是知足初始條件$u_\tau(0) = 0$的解。然而，這個例子中的微分方程在$x_0=0$處是連續的，如今的問題在於$3x^{2/3}$在這點處不可微。

      從這兩個例子中能夠清楚地看到，爲了保證解的存在惟一性，必需要對函數$\boldsymbol F$加上某些條件。在第一個例子中，$\boldsymbol F$在問題點0處不連續，而在第二個例子中，$\boldsymbol F$在0處不可微。這代表$\boldsymbol F$連續可微的假設可能就足以保證解的存在且惟一，這點咱們隨後就會看到。幸運的是，應用中產生的不連續可微的微分方程仍是不多的，於是，對於給定的初始條件，不存在解或解不惟一的理解是至關例外的。

      下面就是常微分方程的基本局部定理。

存在惟一性定理  考慮初值問題

\[\boldsymbol X' = \boldsymbol F(\boldsymbol X),\boldsymbol X(t_0) = \boldsymbol X_0,\]

其中$\boldsymbol X_0 \in \mathbb R^n$。假設$\boldsymbol F:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$是$C^1$的，則，首先該初值問題有一個解，其次，只有一個這樣的解。更準確地說，存在$a>0$，以及該微分方程知足初始條件$\boldsymbol X(t_0) = \boldsymbol X_0$的惟一解

\[\boldsymbol X:(t_0-a,t_0+a) \to \mathbb R^n.\]

      該定理的重要證實見第17章。但在這裏，咱們能夠從直觀上來理解這個結論，若是向量場$\boldsymbol F$是$C^1$的，則意味着它比較光滑，而不會有急拐彎的點，這說明按照它的指示，咱們在短期內能夠較好地預測將來的線路，並且因爲$C^1$的限制，使得在極短的時間內，發展趨勢是惟一的。

      於是咱們總能夠假設惟一解定義在一個最大的時間區間上。然而這並不能保證$\boldsymbol X(t)$對全部時刻都有定義，無論$\boldsymbol F(\boldsymbol X)$是多麼「好」。

例  考慮$\mathbb R$上的微分方程

\[x'=1+x^2.\]

這個方程以函數$x(t)=\tan (t+c)$做爲它的解，其中$c$爲一常數。因爲當$t \to -c \pm \pi/2$時，$x(t) \to \pm \infty$，這個函數不能延拓到區間

\[-c-\frac{\pi}{2}<t<-c+\frac{\pi}{2}\]

以外。

      這個例子頗有表明性，由於咱們有

定理  假設$U \subset \mathbb R^n$爲一開集(看做狀態空間的範圍)，並假設$\boldsymbol F:U \to \mathbb R^n$(看做一種映射關係，或狀態轉移函數)是$C^1$的。令$\boldsymbol X' = \boldsymbol F(\boldsymbol X)$的一個定義在最大開區間$J = (\alpha,\beta) \subset \mathbb R$上的解，其中$\beta < \infty$。則對任意的有界閉集$K \subset U$(能夠這麼理解：只有閉集，纔有「固定」的邊界，才能肯定能夠超越)，總存在某個$t \in (\alpha,\beta)$使得$\boldsymbol X(t) \notin K$。

      這個定理斷言，若是解$\boldsymbol X(t)$不能延拓到一個更大的時間區間，則這個解就會離開$U$中的任何有界閉集。這意味着，當$t \to \beta$時，$\boldsymbol X(t)$能夠任意接近$U$的邊界。一樣的結果在$t \to \alpha$時也成立。(理解爲：解沒法橫向發展，只能豎着增加!)

 

7.3 解的連續依賴性

      爲了使得解的存在惟一性定理在各類物理(甚至是數學)意義下都有意義，還須要加上解$\boldsymbol X(t)$對初始條件$\boldsymbol X(0($的連續依賴性質。下面的定理給出了這個性質的準確陳述。

定理  考慮微分方程$\boldsymbol X' = \boldsymbol F(\boldsymbol X)$，其中$\boldsymbol F:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$是$C^1$的。假設$\boldsymbol X(t)$是該方程的一個解，其在閉區間$[t_0,t_1]$上有定義，並且$\boldsymbol X(t_0) = \boldsymbol X_0$。則存在$\boldsymbol X_0$的領域$U \subset \mathbb R^n$以及常數$K$使得，若是$\boldsymbol Y_0 \in U$，則存在定義在$[t_0,t_1]$上惟一的解$\boldsymbol Y(t)$知足$\boldsymbol Y(t_0) = \boldsymbol Y_0$。並且，對全部的$t \in [t_0,t_1],\boldsymbol Y(t)$知足

\[|\boldsymbol Y(t) - \boldsymbol X(t)| \le K|\boldsymbol Y_0 - \boldsymbol X_0|\exp (K(t - t_0)).\]

      這個結果代表，若是兩個解$\boldsymbol X(t)$和$\boldsymbol Y(t)$出發時很接近，則在$t$靠近$t_0$時，它們一直很接近。雖然這兩個解可能分開，但它們分開(但絕對不會交叉!)的速度不會超過指數增加速度。特別地，因爲上面不等式的右端依賴於$\boldsymbol Y_0 - \boldsymbol X_0$，當假設它很小時，我人就獲得：

推論  (對初始條件的連續依賴性) 記$\phi(t,\boldsymbol X)$爲系統$\boldsymbol X' = \boldsymbol F(\boldsymbol X)$的流，其中$\boldsymbol F$爲$C^1$的。則$\phi$爲$\boldsymbol X$的連續函數。

例  令$k > 0$，咱們知道系統

\[\boldsymbol X' = \begin{pmatrix} -1 & 0\\0&k\end{pmatrix}\boldsymbol X\]

知足$\boldsymbol X(0) = (-1,0)$的解爲

\[\boldsymbol X(t) = (-e^{-t},0).\]

對任一$\eta \ne 0$，記$\boldsymbol Y_\eta(t)$爲知足$\boldsymbol Y_\eta(0) = (-1,\eta)$的解。則

\[\boldsymbol Y_\eta(t) = (-e^{-t},\eta e^{kt}).\]

根據上面的定理，咱們有

\[\left| {{\boldsymbol Y_\eta }(t) - \boldsymbol X(t)} \right| = \left| {\eta {e^{kt}} - 0} \right| = \left| {\eta - 0} \right|{e^{kt}} = \left| {{\boldsymbol Y_\eta }(0) - \boldsymbol X(0)} \right|{e^{\kappa t}}.\]

這些解$\boldsymbol Y_\eta$的確會與$\boldsymbol X(t)$分開(見圖7.1)，但它們至多以指數速度分開。並且，對於任何固定的時間$t$，當$\eta \to 0$時，$\boldsymbol Y_\eta (t) \to \boldsymbol X(t).$

      微分方程經常依賴於參數。例如，調和振子方程依賴於參數$b$(阻尼係數)和$k$(彈性係數)。那麼，一個天然的問題就是：這些方程的解如何依賴於這些參數呢？在前面的情形，只要系統是以連續可微的方式依賴於這些參數，則解就連續地依賴於這些參數。

定理  (參數的連續依賴性)令$\boldsymbol X'=\boldsymbol F_a(\boldsymbol X)$爲一個微分方程系統，其中$\boldsymbol F_a$對$\boldsymbol X$和$a$都連續可微。則這個系統的流也連續依賴於$a$。

 

7.4 變分方程

      考慮自治系統$\boldsymbol X'=\boldsymbol F_a(\boldsymbol X)$，其中$\boldsymbol F$像一般同樣假設爲$C^1$的。該系統的流$\phi(t,\boldsymbol X)$同時爲$t$和$\boldsymbol F$的函數。由上節的結果可知，$\phi$對變量$\boldsymbol X$連續(即對初值連續依賴)。因爲$t \to \phi(t,\boldsymbol X)$就是過$\boldsymbol X$的解曲線，咱們還知道$\phi$對變量$t$可微。事實上，$\phi$對變量$\boldsymbol X$也是可微的(咱們將在第17章給出其證實)：

定理  (流的可微性)  考慮系統$\boldsymbol X'=\boldsymbol F(\boldsymbol X)$，其中$\boldsymbol F$爲$C^1$的。則系統的流$\phi(t,\boldsymbol X)$爲一$C^1$函數，即$\partial \phi / \partial t$和$\partial \phi / \partial \boldsymbol X$都存在，且對$t$和$\boldsymbol X$連續(即偏導數是連續的)。

      注意，一旦知道了過$\boldsymbol X_0$的解，則對任何$t$，咱們總可以算出$\partial \phi / \partial t$，事實上，咱們有

\[\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(t,{\boldsymbol X_0}) =\boldsymbol F(\phi (t,{\boldsymbol X_0})).\]

另外，咱們還有

\[\frac{{\partial \phi }}{{\partial \boldsymbol X}}(t,{\boldsymbol X_0}) =\boldsymbol D_{\phi_t}(\boldsymbol X_0),\]

其中$\boldsymbol D_{\phi_t}$爲函數$\boldsymbol X \to \phi_t(\boldsymbol X)$的雅可比。然而，爲了計算$\partial \phi / \partial \boldsymbol X$，除了要知道過$\boldsymbol X_0$的解，由於須要計算$\phi_t$的各個份量的偏導數，咱們彷佛還要知道全部通過附近初始位置的解(導數的定義是基於因變量與自變量變化之比，所以要求在所求點的領域內保證函數有肯定的值，對應到這裏，應該就是要求知道通過附近初始位置的解)。可是，經過引入沿過$\boldsymbol X_0$的解的變分方程，咱們能夠克服這個困難。

      爲了實現這一點，須要先對非自治微分方程做簡短討論。令$\boldsymbol A(t)$爲一族連續依賴於$t$的$n \times n$矩陣。系統

\[\boldsymbol X' = \boldsymbol A(t) \boldsymbol X\]

爲一個線性非自治系統。對這種類型的方程，有以下的存在惟一性定理：

定理  令$\boldsymbol A(t)$爲定義在$t \in [\alpha,\beta]$上的$n \times n$矩陣的一個連續族。則初值問題

\[\boldsymbol X' = \boldsymbol A(t) \boldsymbol X, \;\; \boldsymbol X(t_0) = \boldsymbol X_0\]

具備惟一解，並且解在整個區間$[\alpha,\beta]$上都有定義。

      注意，這個定理有一些新的東西：並不須要假設右端是$t$的$C^1$函數。$\boldsymbol A(t)$的連續性就足以保證解的存在惟一性。另外，線性非自治微分方程的解知足線性疊加原理，即若是$\boldsymbol Y(t),\boldsymbol Z(t)$是這樣一個系統的兩個解，則對任意的常數$\alpha,\beta,\alpha\boldsymbol Y(t) + \beta \boldsymbol Z(t)$也是它的解。

      如今，咱們再回到自治非線性系統$\boldsymbol X'=\boldsymbol F(\boldsymbol X)$。令$\boldsymbol X(t)$爲該系統的一個特解，假設在某個區間$J = [\alpha,\beta]$上對$t$有定義。固定$t_0 \in J$，記$\boldsymbol X(t_0) = \boldsymbol X_0$。對每一個$t \in J$，令

\[\boldsymbol A(t) = \boldsymbol {DF}_{\boldsymbol X(t)},\]

其中$\boldsymbol {DF}_{\boldsymbol X(t)}$表明$\boldsymbol F$在點$\boldsymbol X(t) \in \mathbb R^n$處的雅可比矩陣(這一思路其實就是非線性系統線性化的過程)。因爲$\boldsymbol F$爲$C^1$的，$\boldsymbol A(t) = \boldsymbol {DF}_{\boldsymbol X(t)}$是一族連續的$n \times n$矩陣。考慮非自治線性方程

\[\boldsymbol U' = \boldsymbol A(t)\boldsymbol U.\]

該方程稱爲沿解$\boldsymbol X(t)$的變分方程。由上一個定理可知，對全部的初始條件$\boldsymbol U(t_0) = \boldsymbol U_0$，該變分方程都有一個定義在整個$J$上的解。

      這個方程的意義在於：若是$\boldsymbol U(t)$爲變分方程知足$\boldsymbol U(t_0) = \boldsymbol U_0$的解，則只要$\boldsymbol U_0$充分小，函數

\[t \to \boldsymbol X(t) + \boldsymbol U(t)\]

就是原來自治方程知足初始條件$\boldsymbol Y(t_0)  = \boldsymbol X_0 + \boldsymbol U_0$的解$\boldsymbol Y(t)$的一個好的逼近。這就是下面結果的內容。

命題  考慮系統$\boldsymbol X'=\boldsymbol F(\boldsymbol X)$，其中$\boldsymbol F$爲$C^1$的。假設

      (1)$\boldsymbol X(t)$爲$\boldsymbol X'=\boldsymbol F(\boldsymbol X)$的一個解，對全部的$t \in [\alpha,\beta]$都有定義，且$\boldsymbol X(t_0) = \boldsymbol X_0$；
      (2)$\boldsymbol U(t)$爲沿$\boldsymbol X(t)$的變分方程的解，且$\boldsymbol U(t_0) = \boldsymbol U_0$；
      (3)$\boldsymbol Y(t)$爲$\boldsymbol X'=\boldsymbol F(\boldsymbol X)$的解，且$\boldsymbol Y(t_0)  = \boldsymbol X_0 + \boldsymbol U_0$。

則

\[\mathop {\lim }\limits_{{\boldsymbol U_0} \to 0} \frac{{\left| {\boldsymbol Y(t) - (\boldsymbol x(t) +\boldsymbol U(t))} \right|}}{{\left| {{\boldsymbol U_0}} \right|}}\]

對於$t \in [\alpha,\beta]$一致收斂到0。

      嚴格來講就是，對任意的$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$使得當$|\boldsymbol U_0| \le \delta$時，對據有的$t \in [\alpha,\beta]$都有

\[|\boldsymbol Y(t) - (\boldsymbol X(t) + \boldsymbol U(t)))| \le \epsilon |U_0.|\]

從而，當$\boldsymbol U_0 \to 0$時，曲線$t \to \boldsymbol X(t) + \boldsymbol U(t)$將愈來愈逼近$\boldsymbol Y(t)$。在許多應用中，人們直接用從變分方程獲得的解$\boldsymbol X(t) + \boldsymbol U(t)$來代替原來的解$\boldsymbol Y(t)$；由線性疊加原理，$\boldsymbol U(t)$線性地依賴於$\boldsymbol U_0$，這將會帶來很大的方便。

      任給非線性微分方程系統$\boldsymbol X'=\boldsymbol F(\boldsymbol X)$，若是$\boldsymbol X_0$爲它的一個平衡點，則咱們就能夠考慮沿這個解的變分方程。但此時，$\boldsymbol {DF_X}_0$是一個常值矩陣$\boldsymbol A$，從而變分變分方程$\boldsymbol U' = \boldsymbol {AU}$爲一個自治的線性系統。這個系統稱爲在$\boldsymbol X_0$處的線性化系統。咱們知道線性化系統的流爲$\exp (t\boldsymbol A)\boldsymbol U_0$，因而，上面的命題就代表，在平衡點附近，一個非線性系統的相圖與它的線性化系統的相圖是類似的。在下一章，咱們要將「類似」這一說法更準確化。

       利用上一命題，假設知道了解$\boldsymbol X(t)$，如今就能夠以下來計算$\partial \phi /\partial \boldsymbol X$：

定理  設$\boldsymbol X'=\boldsymbol F(\boldsymbol X)$爲一個微分方程系統，其中$\boldsymbol F$爲$C^1$的。令$\boldsymbol X(t)$爲該系統知足初始條件$\boldsymbol X(0) = \boldsymbol X_0$的解，它在$t \in [\alpha,\beta]$上有定義；再令$\boldsymbol (t,\boldsymbol U_0)$爲沿$\boldsymbol X(t)$的變分方程知足$\boldsymbol U(0,\boldsymbol U_0$的解。則

\[\boldsymbol D_{\phi_t}(\boldsymbol X_0)\boldsymbol U_0 = \boldsymbol U(t,\boldsymbol U_0),\]

即$\partial \phi /\partial \boldsymbol X$在$\boldsymbol U_0$上的做用可由從$\boldsymbol U_0$出發求解相應的變分方程給出(爲何要求解上式呢？)。

證實  根據上一命題，對全部的$t \in [\alpha,\beta]$，咱們有

\[{\boldsymbol D_{{\phi _t}}}({\boldsymbol X_0}){\boldsymbol U_0} = \mathop {\lim }\limits_{h \to \infty } \frac{{{\phi _t}({\boldsymbol X_0} + h{\boldsymbol U_0}) - {\phi _t}({\boldsymbol X_0})}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to \infty } \frac{{\boldsymbol U(t,h{\boldsymbol U_0})}}{h} =\boldsymbol U(t,{\boldsymbol U_0}).\]

[此證實還不是很理解!]

例  做爲這些想法的一個說明，咱們來考慮微分方程$\boldsymbol x' = x^2$。簡單的積分代表，知足初始條件$x(0) = x_0$的解爲

\[x(t) = \frac{-x_0}{x_0t -1}.\]

因而，咱們有

\[\frac {\partial \phi}{\partial x}(t,x_0) = \frac{1}{(x_0t-1)^2}.\]

[上式對應於$\boldsymbol D_{\phi_t}(\boldsymbol X_0)$]另外一方面，沿$x(t)$的變分方程爲

\[u' = 2x(t)u = \frac{{ - 2{x_0}}}{{{x_0}t - 1}}u.\]

該方程知足初始條件$u(0) = u_0$的解爲

\[u(t) = {u_0}{\left( {\frac{1}{{{x_0}t - 1}}} \right)^2},\]

[上式對應於$\boldsymbol U(t,\boldsymbol U_0)$]這正與咱們指望的同樣。

本定理的做用是顯然的：直接求解$\frac {\partial \phi}{\partial x}(t,x_0)$有困難，能夠經過求解變分方程的解$\boldsymbol U(t,\boldsymbol U_0)$，而前者做用於$\boldsymbol U_0$的結果就是後者。