微分方程、動力系統與混沌導論 第3章 平面系統的相圖[書摘]

第3章 平面系統的相圖

      有了上一章的線性疊加原理後，咱們如今來計算任一平面系統的通解。粗看，彷佛有無窮多不一樣的情形要討論，但咱們將看到，最簡形式的幾個例子就幾乎涵蓋了咱們在高維情形將要遇到的全部解的類型。

 

3.1 不一樣實特徵值

      考慮系統$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$，假設$\boldsymbol A$有兩個實特徵值$\lambda_1<\lambda_2$。先暫時假設$\lambda_i \ne 0$，此時有以下三種情形：

\[(1)\lambda_1<0<\lambda_2;\;\;\;(2)\lambda_1<\lambda_2<0;\;\;\;(3)0<\lambda_1<\lambda_2.\]

咱們先對每種情形給出一個典型例子，隨後咱們將看到任何屬於這三類的系統均可以相似地處理。

例 (鞍點)首先考慮簡單的系統$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$，其中

\[\boldsymbol A=\left( \begin{array}{l}
\lambda_1 & 0 \\
0 &\lambda_2
\end{array} \right),\]

而且$\lambda_1<0<\lambda_2$。該系統能夠分解成兩個不相關聯的一階方程

\[\begin{array}{l}x'= {\lambda _1}x\\y'= {\lambda _2}y.\end{array}\]

對應於$\lambda_1$的一個特徵向量是(1,0)，對應於$\lambda_2$的一個特徵向量是(0,1)。從而方程的通解爲

  \[\boldsymbol X(t) = \alpha {e^{{\lambda _1}t}}\left( \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right) + \beta {e^{{\lambda _2}t}}\left( \begin{array}{l}0\\1\end{array} \right).\]

因爲$\lambda_1<0$，位於$x$軸上形如$\alpha e^{\lambda_1t}(1,0)$的直線解在$t \to \infty$時趨於(0,0)。這個座標軸稱爲穩定線。因爲$\lambda_2>0$，位於$y$軸上解$\beta e^{\lambda_2t}(0,1)$在$t \to \infty$時，遠離(0,0)。這個座標軸稱爲不穩定線。因爲在$t$增長時，$\boldsymbol X(t)$與$(0,\beta e^{\lambda_2t})$愈來愈近，於是在$t \to \infty$時，其它的解$(\alpha,\beta \ne 0)$都將沿不穩定線趨於$\infty$。而在負向時，這些解都將沿穩定線趨於$\infty$。

      咱們在圖3.1中做出了該系統的相圖。所謂一個系統的相圖就是指一個系統的一些有表明意義的解曲線在相平面$\mathbb R^2$上的圖像。系統的這種平衡點(特徵值知足$\lambda_1<0<\lambda_2$)稱爲鞍點。

      咱們來看這種類型的一個稍微複雜一點的例子。考慮系統$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$，其中

\[ \boldsymbol A=\left(
\begin{array}{cc}
1&3\\
1&-1\\
\end{array}
\right). \]

在第2章咱們已經知道$\boldsymbol A$的特徵值爲$\pm 2$。對應於$\lambda = 2$的特徵向量是(3,1)，而對應於$\lambda = -2$的特徵向量是(1,-1)。因而應有由形如

\[\boldsymbol X_1(t)=\alpha e^{2t} \left( \begin{array}{cc}3\\1 \end{array} \right),\]

的直線解構成不穩定線，當$t \to \infty$時，這些解都將遠離原點。形如

\[\boldsymbol X_2(t)=\beta e^{-2t} \left( \begin{array}{cc}1\\-1 \end{array} \right),\]

的直線解則構成了穩定線，當$t \to \infty$時，這些解都將趨於原點。根據線性疊加原理，其它的解都具備形式

\[\boldsymbol X(t)=\alpha e^{2t} \left( \begin{array}{cc}3\\1 \end{array} \right) + \beta e^{-2t} \left( \begin{array}{cc}1\\-1 \end{array} \right)\]

注意，若是$\alpha \ne 0$，則當$t \to \infty$時，咱們有

\[\boldsymbol X(t) \sim \alpha e^{2t} \left( \begin{array}{cc}3\\1 \end{array} \right) = \boldsymbol X_1(t),\]

而若是$\beta \ne 0$，則當$t \to -\infty$時，咱們有

\[\boldsymbol X(t) \sim \beta e^{-2t} \left( \begin{array}{cc}1\\-1 \end{array} \right) = \boldsymbol X_2(t).\]

因而當時間增長時，系統的典型解都將接近$\boldsymbol X_1(t)$，而當時間減小時，它們將趨於$\boldsymbol X_2(t)$。如圖3.2所示，這與上一例子類似。

      通常地，當$\boldsymbol A$具備一正一負的特徵值時，咱們均可以找到的穩定線和不穩定線，其上的解分別趨於或遠離原點，而其它解在$t \to \infty$時趨於不穩定線，在$t \to -\infty$時趨於穩定線。

例  (匯點)如今考慮$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$，其中

\[\boldsymbol A=\left( \begin{array}{l}
\lambda_1 & 0 \\
0 &\lambda_2
\end{array} \right),\]

可是$\lambda_1<\lambda_2<0$。和前面同樣，咱們能夠找到兩個直線解，從而獲得通解

\[\boldsymbol X(t) = \alpha {e^{{\lambda _1}t}}\left( \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right) + \beta {e^{{\lambda _2}t}}\left( \begin{array}{l}0\\1\end{array} \right).\]

與鞍點情形不一樣，此時全部解在$t \to \infty$時都趨於(0,0)。如今要問：它們以怎樣的方式趨於原點？咱們來計算一個解的斜率$\text dy/\text dx$(假設$\beta \ne 0$)。記

\[\begin{array}{cc} x(t)=\alpha e^{\lambda_1t}\\y(t)=\beta e^{\lambda_2t}. \end{array}\]

因而，

\[\frac{\text dy}{\text dx} = \frac{\text dy/\text dt}{\text dx/\text dt} = \frac{\lambda_2 \beta e^{\lambda_2t}}{\lambda_1 \alpha e^{\lambda_1t}} = \frac{\lambda_2 \beta}{\lambda_1 \alpha} e^{(\lambda_2-\lambda_1)t}.\]

由於$\lambda_2 - \lambda_1 > 0$，從而這些斜率趨於$\pm \infty$(假設$\beta \ne 0$)。因而，這些解將切於$y$軸趨於原點。

      因爲$\lambda_1<\lambda_2<0$，咱們稱$\lambda_1$爲強特徵值，$\lambda_2$爲弱特徵值(絕對值大的爲強特徵值，由於不管是增大或是減少，絕對值大的指數對應的解變化得更快)，之因此如此稱呼是解的$x$座標趨於0比其$y$座標趨於0要快得多(從圖上看，感受彷佛$y$座標趨於0比其$x$座標趨於0要快，事實上，在靠近原點處，任意一條解曲線，$x$座標的絕對值老是小於$y$座標的絕對值，所以能夠說明$x$座標趨於0比其$y$座標趨於0要快得多)。這就解釋了爲何當解趨於原點時(除了$\lambda_1$特徵向量所對應的直線上的解)，這些解會朝弱特徵值所對應的解直線彙集(就像流水同樣，總往低地勢(弱特徵值)彙集)。

      圖3.3a給出了該系統的相圖。此時平衡點稱爲匯點。

例  (源點)當矩陣

\[\boldsymbol A=\left( \begin{array}{l}
\lambda_1 & 0 \\
0 &\lambda_2
\end{array} \right),\]

知足$0<\lambda_1<\lambda_2$時，對應的向量場能夠當作是上一例子的負向量場。其通解相圖是同樣的，只是全部的解都沿着相同的路線遠離(0,0)(見圖3.3b)。

      如今，可能有人會說咱們所展現的例子過於簡單。如今看來的確如此，可是隨後咱們將看到，任何具備不一樣實特徵值的微分方程系統均可以經過座標變換化成這種特殊形式。

      最後，當有一個特徵值等於0時，狀況會有些特別。咱們已經知道，此時有一條直線上的點全都是平衡點。若是另外一個特徵值$\lambda$非零，則$\lambda$的符號決定了其它的解是趨於這些平衡點仍是遠離這些平衡點。

 

3.2 復特徵值

      有時，特徵多項式的根會是複數，與實情形相似，咱們稱這些根爲復特徵根。當矩陣$\boldsymbol A$有復特徵根時，咱們再也不有直線解，然而，經過利用一些複數及複函數的技巧，咱們仍然能夠像之前同樣獲得通解。在下面的例子中，咱們將看到通常的過程是怎樣的。

例  (中心)考慮系統$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$，其中

\[\boldsymbol A=\left( \begin{array}{cc}
0&\beta \\
-\beta & 0
\end{array} \right),\]

而且$\beta \ne 0$。其特徵方程爲$\lambda^2 + \beta ^2 = 0$，因而特徵值爲虛數$\pm i\beta$。若是不擔憂可能出現的復向量，咱們能夠像之前同樣去尋找與$\lambda = i\beta$相對應的特徵向量。這須要求解方程組

\[\left( \begin{array}{cc} - \text i\beta &\beta \\ - \beta & -\text i\beta \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc}x\\y\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}0\\0\end{array} \right).\]

因爲第二個方程是多餘的，上述方程組等價於$\text i\beta x = \beta y$。因而獲得一個復特徵向量(1,i)，從而函數

\[\boldsymbol X(t) = {e^{\text i\beta t}}\left( \begin{array}{cc}1\\ \text i\end{array} \right)\]

爲$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$相應的復解。

      一般，對一個實微分方程系統獲得一個復解不是太合適，但咱們能夠經過歐拉公式

\[e^{\text i \beta t} = \cos \beta t + \text i \sin \beta t\]

來克服這一點。利用歐拉公式，可將解寫成

\[\boldsymbol X(t) = \left( \begin{array}{cc}\cos\beta t + \text i \sin \beta t\\ \text i(\cos \beta t + \text i \sin \beta t) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc}\cos\beta t + \text i \sin \beta t\\ -\sin \beta t + \text i \cos \beta t \end{array} \right). \]

將$\boldsymbol X(t)$的實部和虛部分開，能夠寫得更好些

\[\boldsymbol X(t) = \boldsymbol R_{\text {Re}}(t) + \text i \boldsymbol X_{\text {Im}}(x),\]

其中

\[\boldsymbol R_{\text {Re}}(t) = \left( \begin{array}{cc} \cos \beta t \\ -\sin \beta t \end{array} \right),\boldsymbol R_{\text {Im}}(t) = \left( \begin{array}{cc} \sin \beta t \\ \cos \beta t \end{array} \right).\]

咱們發現$\boldsymbol R_{\text {Re}}(t)$和$\boldsymbol R_{\text {Im}}(t)$都是原系統的(實)解。進一步，因爲

\[\boldsymbol X_{\text {Re}}(0) = \left( \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right),\boldsymbol X_{\text {Im}}(0) = \left( \begin{array}{l}0\\1\end{array} \right),\]

它們的線性組合

\[\boldsymbol X(t) = c_1\boldsymbol R_{\text {Re}}(t) + c_2 \boldsymbol X_{\text {Im}}(x)\]

就給出了任一初值問題的一個解，其中$c_1$和$c_2$是任意常數。

      咱們斷言上式也是方程的通解。有些人會以爲，另外一個特徵根$\lambda = -\text i \beta$也會獲得兩個不相關的實解，能夠證實，它們與另外一個特徵根所求得的實解是同樣的。

      能夠看到，全部的這些解都是週期爲$2\pi /\beta$的周期函數，事實上，從系統的相圖能夠看出，全部的解都在以原點爲中心的圓周上。當$\beta >0$時，解沿圓周順時針旋轉，而當$\beta <0$時則逆時針旋轉(見圖3.4)。這種類型的系統稱爲一個中心。

例  (螺線匯點和螺線源點)通常地，考慮系統$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$，其中

\[\boldsymbol A=\left( \begin{array}{cc}
\alpha &\beta \\
-\beta & \alpha
\end{array} \right),\]

而且$\alpha,\beta \ne 0$。其特徵多項式爲$\lambda^2 -2\alpha \lambda + \alpha^2 + \beta^2$，特徵值爲$\lambda  = \alpha \pm \text i\beta$。與$\alpha + \text i\beta $相對應的一個特徵向量由方程

\[(\alpha -( \alpha + \text i\beta))x + \beta y = 0\]

所肯定。從而(1,i)仍然是一個特徵向量，由此可得以下復解

\[\boldsymbol X(t) = {e^{(\alpha + \text i\beta )t}}\left( \begin{array}{l}1\\\text i\end{array} \right) = {e^{\alpha t}}\left( \begin{array}{l}\cos \beta t\\ - \sin \beta t\end{array} \right) + \text i{e^{\alpha t}}\left( \begin{array}{l}\sin \beta t\\\cos \beta t\end{array} \right) = {\boldsymbol X_{{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}(t) + \text i{\boldsymbol X_{{\mathop{\rm Im}\nolimits} }}(t).\]

與剛纔同樣，$\boldsymbol X_{\text {Re}}(t) + \text i \boldsymbol X_{\text {Im}}(t)$ 都是系統的實解，而且它們的初值條件是線性無關的。這樣咱們就獲得了通解

\[\boldsymbol X(t)  =c_1 e^{\alpha t} \left( \begin{array}{l} \cos \beta t \\ -\sin \beta t \end{array}\right) +c_2 e^{\alpha t} \left( \begin{array}{l} \sin \beta t \\ \cos \beta t \end{array}\right).\]

若是沒有$e^{\alpha t}$這一項，這些解將週期地纏繞在以原點爲中心的圓周上，而多了$e^{\alpha t}$這一項將使得解要麼盤旋地進入原點(當$\alpha<0$時)，要麼盤旋地離開原點(當$\alpha>0$時)。此時平衡點分別稱爲螺線匯點或螺線源點(見圖3.5)。

 

3.3 重特徵值

      如今剩下要討論的情形就是$\boldsymbol A$有重的實特徵值情形。它的一個簡單形式就是$\boldsymbol A$爲對角矩陣

\[\boldsymbol A = \left( \begin{array}{cc} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{array}\right).\]

$\boldsymbol A$的兩個特徵值都是$\lambda$。此時，對任給的$\boldsymbol V \in \mathbb R^2$，

\[\boldsymbol {AV} = \lambda \boldsymbol V,\]

於是任何非零向量都是特徵向量。因而任何解均可以寫成

\[\boldsymbol X(t) = \alpha e^{\lambda t}\boldsymbol V.\]

每個解都在經過原點的直線上，要麼趨於原點(當$\lambda<0$時)，要麼遠離原點(當$\lambda>0$時)。於是，這是一種容易的情形。

      更有趣的情形是

\[\boldsymbol A = \left( \begin{array}{cc} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{array}\right).\]

的情形。此時兩個特徵值仍然都等於$\lambda$。但此時只有一個線性無關的特徵向量(1,0)。從而其對應的直線解爲

\[\boldsymbol X_1(t) = \alpha e^{\lambda t} \left( \begin{array}{l} 1\\ 0 \end{array} \right).\]

爲了找到其它的解，咱們將系統寫成

\[\begin{array} x'(t) = \lambda x + y \\ y' = \lambda y. \end{array}\]

當$y \ne 0$時，則有

\[y(t) = \beta e^{\lambda t}.\]

這是關於$x(t)$的一個非自治一階微分方程。可能會有人猜想解的形式爲$e^{\lambda t}$，可是其非自治項也是這種形式的。可能大家在微積分課程上已經知道，最好假設解的可能形式爲

\[x(t) = \alpha e^{\lambda t} + \mu te^{\lambda t},\]

其中$\alpha, \mu$爲常數。這種技巧一般稱爲「待定係數法」。將上式代入微分方程可得$\mu = \beta$，而$\alpha$則是任意的。從而系統的解能夠寫成

\[\alpha e^{\lambda t}\left( \begin{array}{l}1\\0 \end{array} \right) + \beta e^{\lambda t} \left( \begin{array}{l}t\\1 \end{array} \right).\]

這事實上就是系統的通解。若是$\lambda <0$，在$t \to \infty$時，全部的解都趨於(0,0)。而當$\lambda >0$時，全部的解都遠離(0,0)，見圖3.6。事實上，解都是沿特徵向量(1,0)的方向趨於或遠離原點的。

 

3.4 座標變換

      在前三節，除去相圖的不一樣外，咱們實際上只處理了如下三種類型的矩陣

\[\left( \begin{array}{cc} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{array}\right), \left( \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{array}\right),\left( \begin{array}{cc} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{array}\right),\]

其中在第一種情形$\lambda$可能等於$\mu$(以上三種情形對應：(1)兩個不等實根；(2)一對共軛復根；(3)兩個相等實根)。

      任何這種形式的$2 \times 2$矩陣稱爲標準型。這種形式的系統彷佛至關特別，但事實並不是如此。任給線性系統$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$，咱們總能夠經過「座標變換」，使得新系統的係數矩陣成爲標準型，從而變得容易求解。下面咱們就來作這件事。

      $\mathbb R^2$上的一個線性映射(或線性變換)是指一個以下形式的函數$T:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$：

\[\boldsymbol T \left( \begin{array}{l}x\\y \end{array} \right)  = \left( \begin{array}{l}ax+by\\cx+dy \end{array} \right). \]

也就是說，$\boldsymbol T$的做用就是用$2 \times 2$矩陣

\[\left( \begin{array}{cc} a&b\\c&d \end{array}\right)\]

去乘以任一貫量。於是咱們認爲線性映射和它對應的矩陣是能夠互換使用的，從而也寫成

\[\boldsymbol T = \left( \begin{array}{cc} a&b\\c&d \end{array}\right)\]

      如今假設$\boldsymbol T$是可逆的，咱們來考慮系統

\[\boldsymbol Y' = (\boldsymbol {T^{-1}AT}) \boldsymbol Y,\]

(而不是線性系統$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$)。可見，若是$\boldsymbol Y(t)$是新系統的一個解，則$\boldsymbol X(t) = \boldsymbol {TY}(t)$就是$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$的一個解(代入驗證便可)。

也就是說，線性映射$\boldsymbol T$將$\boldsymbol Y' = (\boldsymbol {T^{-1}AT}) \boldsymbol Y$的解變換成了$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$的解。反過來，$\boldsymbol T^{-1}$則將$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$的解變成了$\boldsymbol Y' = (\boldsymbol {T^{-1}AT}) \boldsymbol Y$的解。

      從而$T$能夠當作是一個座標變換，它將一個給定的線性系統變成另一個係數矩陣不一樣的線性系統。咱們但願的是，對一給定系統，找到一個線性映射$\boldsymbol T$，使得通過變換獲得的系統$\boldsymbol Y' = (\boldsymbol {T^{-1}AT}) \boldsymbol Y$的容易求解。大家也許能夠猜到，咱們總能夠找到一個線性映射(以特徵向量爲列向量組成$\boldsymbol T$)將一個給定的線性系統變成標準型中的一個。

總結：座標變換也能夠看做變量代換，若是對於非標準型的$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$系統，能夠先求出兩個線性無關的特徵向量(若是存在的話)，以這兩個線性無關的特徵向量組成座標變換矩陣$\boldsymbol T$，$\boldsymbol {T^{-1}AT}$即變換爲標準型矩陣。從非標準矩陣自己求解獲得座標變換矩陣，而後將自身標準化，目的就是這麼簡單。