微分方程、動力系統與混沌導論 第4章 平面系統的分類

第4章 平面系統的分類

      在本章，咱們將用一種動力系統的觀點對迄今所獲得的結論進行總結。這意味着咱們將至少獲得$2 \times 2$自治線性系統全部可能行爲的一本完整字典。咱們先經過跡-行列式平面以幾何方式給出一種字典，另外一種字典則要更具備動力系統味道，此時須要用到共軛系統的概念。

4.1 跡-行列式平面

      對一個矩陣

\[\boldsymbol A = \left( \begin{array}{l}a&b\\c&d \end{array}\right),\]

咱們知道它的特徵值就是它的特徵方程

\[\lambda^2 -(a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\]

的根。特徵方程的常數項就是$\text {det} \boldsymbol A$，$\lambda$的係數也有一個名字——$a+d$稱爲$\boldsymbol A$的跡，記爲$\text {tr} \boldsymbol A$。

      因而特徵值知足方程

\[\lambda^2 -(\text {tr} \boldsymbol A)\lambda +\text {det} \boldsymbol A = 0,\]

由此可解得

\[\lambda_{\pm} = \frac{1}{2}\left( \text {tr} \boldsymbol A \pm \sqrt {(\text {tr} \boldsymbol A)^2 -4 \text {det} \boldsymbol A} \right).\]

記$T=\text {tr} \boldsymbol A$，$D = \text {det} \boldsymbol A$。知道了$T$和$D$也就知道了$\boldsymbol A$的兩個特徵值，從而也就知道了$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$解的幾乎全部幾何特徵。例如，從$T$和$D$的取值，咱們能夠知道解是盤旋地趨於仍是遠離原點，是否存在一箇中心，等等。

      咱們將經過在跡-行列式平面上畫一個圖來形象地給出這種分類。在這個圖中，跡爲$T$，行列式爲$D$的矩陣對應於一個座標爲$(T,D)$的點。該點在$TD$平面上的位置就肯定了相圖的幾何特徵。例如$T^2 - 4D$的符號能夠告訴咱們特徵值的虛、實、(實部)正、負的狀況。從而，從$TD$平面上$(T,D)$點相對於拋物線$T^2-4D <0$的位置就能夠獲得$\boldsymbol A$的特徵值的代數信息。所全部信息一點點在$TD$平面上描繪出來，咱們就獲得了全部不一樣線性系統的一個生動的概觀。上面的那些方程將$TD$平面分紅了一些不一樣的區域，每個區域對應於一類特定的系統，見圖4.1。這就獲得了$2 \times 2$線性系統的一個幾何分類。

      下面咱們要依次給些註記。首先，跡-行列式平面只是一個實際上的四維空間的二維表示：$2 \times 2$矩陣是由四個參數，即矩陣的四個元素所肯定的。於是$TD$平面上的每個點都對應無窮多個不一樣的矩陣。雖然每個矩陣都有相同的特徵值，但相圖卻可能會有些許不一樣，例如，對於中心、螺線匯點和螺線源點，旋轉的方向能夠不一樣，對於得特徵值情形，線性無關的特徵向量的個數能夠是1或2。

      咱們也能夠將跡-行列式平面當作平面線性系統的某種分岔圖。一個線性系統的單參數族對應於$TD$平面上的一條曲線，當這條曲線穿過$T$軸、$D$軸的正半軸或者拋物線$T^2-4D=0$時，線性系統的相圖就會產生分岔：相圖的幾何開關將有大的變化。

      最後須要說明的是，即便不算出系統的特徵值，咱們也能夠從$D，T$的取值上獲得系統至關多的信息，例如，只要$D<0$，咱們就知道原點爲一鞍點，相似地，若是$D$和$T$都是正的，則原點是一源點。

 

4.2 動力學分類

      在本節，咱們給出平面線性系統的另一種更動力學的分類。從動力系統的觀點看，咱們一般關係微分方程解的長期行爲。若是兩個系統的解在未來是同樣的，則它們就是等價的。爲了說得準確，咱們先回憶1.5節引入的一些概念。

      爲了強調解對時間和初值條件$\boldsymbol A_0$的同時依賴性，咱們用$\phi_t(X_0)$來表示知足初值條件$X-0$的解，即$\phi_0(X_0) = X_0$。函數$\phi(t,X_0) = \phi_和(X_0)$稱爲微分方程的流。(意思是，若是初始值給定，解就是時間$t$的函數，時間在流逝，所以稱爲流，也就再合適不過了。流是依賴於時間和初值的函數)，而$\phi_t$則稱爲流的時間$t$映射。

      咱們認爲兩個系統是動力等價的(意思是從長期來看，穩定解是同樣)，若是存在函數$h$，它將一個流變爲另外一個流，這裏的函數要求爲同胚，即，$h$是一對一的、滿的連續函數，而且它的逆也是連續的。

定義  假設$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$和$\boldsymbol X' = \boldsymbol {BX}$的流分別爲$\phi^\boldsymbol A$和$\phi^\boldsymbol B$。這兩個系統稱爲(拓撲)共軛的，若是存在同胚$h:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$知足

\[\phi^\boldsymbol B(t,h(X_0)) = h(\phi^\boldsymbol A(t,X_0)).\]

同胚$h$稱爲一個共軛。於是共軛將$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$的解曲線帶到$\boldsymbol X' = \boldsymbol {BX}$的解曲線。

例  對於兩個一維繫統

\[x' = \lambda_1x \;\;\; \text 和 \;\;\; x'=\lambda_2x,\]

它們的流分別爲

\[\phi^j(t,x_0) = x_0e^{\lambda_jt},\]

$j = 1,2$。假設$\lambda_1$和$\lambda_2$都是非零的而且有相同的符號。令

\[h(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^{{\lambda _2}/{\lambda _1}}}&\text{if}\;\;\; x \ge 0{}\\ - {\left| x \right|^{{\lambda _2}/{\lambda _1}}}& \text {if}\;\;\; x<0 \end{array} \right.\]

其中

\[{x^{{\lambda _2}/{\lambda _1}}} = \exp \left( {\frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}}\ln (x)} \right).\]

可見$h$爲實直線的一個同胚。咱們斷言$h$是$x'=\lambda_1x$和$x'=\lambda_2x$之間的一個共軛。爲此，咱們驗證以下：當$x_0>0$時，

\[h(\phi^1(t,x_0)) = (x_0e^{\lambda_1t})^{\lambda_2/\lambda_1} = x_0^{\lambda_2/\lambda_1}e^{\lambda_2t} = \phi^2(t,h(x_0)),\]

如所要證。當$x_0<0$時，能夠以一樣的計算驗證。

      這裏須要注意幾點。首先，$\lambda_1$和$\lambda_2$必須有相同的版本號。

      這個例子給出了(自治)線性一階微分方程的一種分類，這種分類與咱們在第1章中的定性觀察吻合。這裏只有三個共軛類：匯點、源點和一個特殊的「中間情形」，$x'=0$，此時全部的解都是常數。

      如今轉到平面情形。首先咱們看到，此時只須肯定矩陣爲標準型所對應系統之間的共軛，由於在第3章已經看到，存在線性映射$\boldsymbol T:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$將$\boldsymbol A$化爲標準形，而此時$\boldsymbol T$將$\boldsymbol Y' = (\boldsymbol {T^{-1}AT})\boldsymbol Y$的流的時間$t$映射帶到$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$的時間$t$映射。

      咱們將要進行的平面線性系統分類與一維情形是相似的。咱們將不討論系統的特徵值實部爲0的情形。

定義  一個矩陣$\boldsymbol A$稱爲雙曲的，若是它的每個特徵值都具備非零實部。此時，咱們也稱系統$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$爲雙曲的。

定理  假設$2\times2$矩陣$\boldsymbol A_1$和$\boldsymbol A_2$都是雙曲的，則線性系統$\boldsymbol X' = \boldsymbol {A_iX}$爲共軛的當且僅當這兩個矩陣具備負實部的特徵值的數目相同。

      於是兩個雙曲矩陣所對應的線性系統是共軛的當且僅當它們的特徵值集合都在下面的同一類中：

      (1)一個特徵值爲正而另外一個爲負；
      (2)兩個特徵值都有負實部；
      (3)兩個特徵值都有正實部；
      (4)兩個特徵值都是正的或都是負的包含在(2)和(3)中。

      在證實定理以前，咱們要注意到這個定理蘊涵，具備螺線匯點的系統與具備(實)匯點的系統是實共軛的。這是固然的!由於它們的相同雖然看起來很不同，可是要看到這兩個系統的全部解在未來都是相同的：在$t \to \infty$時，它們都趨於原點。

證實  定理的必要性是顯然的。下面咱們證實定理的充分性。

      由剛纔的討論，咱們不妨假設全部的系統都是標準形。證實分爲如下三種情形。

情形1

      假設有兩個線性系統$\boldsymbol X' = \boldsymbol {A_iX},i=1,2$，每一個$\boldsymbol A_i$都有特徵值$\lambda_i < 0 < \mu_i$。因而對每一個系統，原點都是鞍點。這是容易的情形。前面已經看到，兩個實微分方程$x'=\lambda_ix$的流之間能夠用同胚

\[h_1(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^{{\lambda _2}/{\lambda _1}}}&\text{if}\;\;\; x \ge 0{}\\ - {\left| x \right|^{{\lambda _2}/{\lambda _1}}}& \text {if}\;\;\; x<0 \end{array} \right.\]

創建共軛。相似地，方程$y'=\mu_iy$的流之間能夠用一個相似的函數$h_2$創建共軛。如今，定義

\[H(x,y) = (h_1(x),h_2(y)).\]

易見，$H$就是兩個系統之間的一個共軛。

情形2

      考慮系統$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$，其中$\boldsymbol A$爲標準形，而且它的特徵值的實部都是負的。進一步，咱們假設矩陣$\boldsymbol A$不是下面的形式

\[\left( \begin{array}{l} \lambda&1\\0&\lambda\end{array}\right),\]

其中$\lambda<0$。從而$\boldsymbol A$爲下面兩個標準形之一：

\[(a)\left(\begin{array}{l}\alpha&\beta\\-\beta&\alpha\end{array}\right)\;\;\;\;(b)\left( \begin{array}{l}\lambda&0\\0&\mu\end{array}\right),\]

其中$\alpha,\lambda,\mu<0$。咱們證實，在每一種情形，系統都與$\boldsymbol X' = \boldsymbol {BX}$共軛，其中

\[\boldsymbol B = \left( \begin{array}{l}-1&0\\0&-1\end{array}\right).\]

由此可得，任何這種形式的兩個系統都是共軛的。

      考慮平面上的單位圓，將它當作一條參數由曲線$X(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta),0\le \theta \le 2\pi$，記此圓周爲$S^1$。咱們首先斷言：上面形式的矩陣所肯定的向量場必定是指向$S^1$的內部。在情形(a)，向量場在$S^1$上的表達式爲

\[\boldsymbol {AX}(\theta) = \left( \begin{array}{l} \alpha \cos\theta + \beta\sin\theta\\-\beta\cos\theta + \alpha\sin\theta \end{array}\right).\]

而$S^1$在$X(\theta)$處指向外面的法向量爲

\[\boldsymbol N(\theta) = \left( \begin{array}{l} \cos\theta\\\sin\theta \end{array}\right).\]

因爲$\alpha<0$，這兩個向量的點乘知足

\[\boldsymbol {AX}(\theta)\centerdot \boldsymbol N(\theta) = \alpha(\cos^2\theta + \sin^2\theta) <0.\]

這就說明了$\boldsymbol {AX}(\theta)$的確指向$S^1$的內部。情形(b)的驗證更容易。

       做爲推論，咱們有$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$的每一個非零解正好穿過$S^1$一次。用$\phi_t^\boldsymbol A$記這個系統的時間$t$映射，而用$\tau = \tau(x,y)$記$\phi_t^\boldsymbol A(x,y)$到達$S^1$的時刻。因而有

\[\left| {\phi _{\tau (x,y)}^\boldsymbol A(x,y)} \right| = 1\]

記$\phi_t^\boldsymbol B)$爲系統$\boldsymbol X' = \boldsymbol {BX}$的時間$t$映射，顯然

\[{\phi _{\tau (x,y)}^\boldsymbol B(x,y)} = (e^{-t}x,e^{-t}y).\]

      如今來定義兩個系統之間的共軛$H$。若是$(x,y)\ne (0,0)$，令

\[H(x,y) = \phi _{ - \tau (x,y)}^\boldsymbol B\phi _{\tau (x,y)}^\boldsymbol A(x,y),\]

現令$H(0,0) = (0,0)$。幾何上，$H(x,y)$的取值按正以下方式肯定：先沿$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$的解曲線(向前或向後)走$\tau(x,y)$時間單位，直到解到達$S^1$上的某點，而後從該點出發，沿着$\boldsymbol X' = \boldsymbol {BX}$的解曲線反向走$\tau$時間單位到達的點就是$H(x,y)$，見圖4.2。

       能夠看出，這個證實在特徵值都是正實部時同樣可行。

情形3

      最後，假設

\[\boldsymbol A = \left( \begin{array}{l} \lambda&1\\0&\lambda \end{array}\right),\]

$\lambda<0$($\lambda>0$是什麼狀況呢？)。此時，對應的向量場不必定指向單位圓的內部。然而，若是令

\[\boldsymbol T = \left( \begin{array}{l} 1&0\\0&\epsilon \end{array}\right),\]

則只要$\epsilon$足夠小，變換後的向量場

\[\boldsymbol Y' = (\boldsymbol {T^{-1}AT})\boldsymbol Y\]

的確是指向單位圓內部的。事實上，

\[\boldsymbol {T^{-1}AT} = \left( \begin{array}{l} \lambda&\epsilon\\0&\lambda \end{array} \right),\]

從而

\[\left( \boldsymbol {T^{-1}AT} \left( \begin{array}{l} \cos\theta \\ \sin\theta \end{array} \right) \right) \centerdot \left( \begin{array}{l}\cos\theta\\\sin\theta \end{array} \right) = \lambda + \epsilon\sin\theta\cos\theta,\]

於是若是選取$\epsilon<-\lambda$，則上面的點乘爲負。這樣，通過變量替換$T$以後，情形2的證實就能夠適用了。定理由此得證。