微分方程、動力系統與混沌導論 第8章 非線性系統的平衡點[書摘]

第8章 非線性系統的平衡點

      爲了爲避免出現上一章遇到的一些技術性困難，從如今起，除非特別申明，總假設咱們的微分方程爲$C^\infty$的。這意味着，對全部的$k$，微分方程的右端都是$k$次連續可向的。這至少能夠保證咱們定理中的假設條件是最少的。

      咱們已經看到，寫出非線性微分方程系統的顯式解每每是不可能的。當咱們有平衡解時則是一個例外。經常，對於一些特定的非線性系統，這些就是它們最重要的解。更重要的是，在已經有了有關線性系統的大量工做後，咱們一般能夠利用線性化的技巧，在肯定平衡點附近的解行爲。在本章咱們將詳細地描述這一過程。

8.1 一些用做說明的例子

      在本節，咱們考慮幾個微分方程的平面非線性系統，原點都是它們的平衡點。咱們的目的是看出非線性系統在原點附近的解與它們的線性化系統的解是類似的，至少在某些情形下是如此。

      做爲第一個例子，考慮系統

\[\begin{align} x' &= x+y^2 \\ y' &= -y. \end{align}\]

它令有一個位於原點的平衡解。爲了畫出附近的解，咱們注意到，若是$y$很小，則$y^2$就更小。因而至少在原點附近，微分方程$x'= x+y^2$與$x' = x$很是接近。在7.4節中，咱們已經證實了這個系統的流在原點附近與它的線性化系統$\boldsymbol X' =\boldsymbol D\boldsymbol F_0\boldsymbol X$的流很「接近」。由此想到，咱們能夠不考慮線性化系統，而是考慮簡單地扔掉高階菲後的系統

\[\begin{align} x' &= x \\ y' &= -y. \end{align}\]

顯然，咱們能夠馬上解出這個系統。因而咱們獲得在原點的一個鞍點，它的穩定線爲$y$軸，而不穩定線爲$x$軸。

      如今讓咱們回到原來的非線性系統。很幸運，咱們也能夠將這個系統顯式地解出來。從第二個方程$y'=-y$可得$y(t) = y_0e^{-t}$，將它代入第一個方程，可得

\[x' = x + y_0^2e^{-2t}.\]

這是一個一階非自治方程，像微積分中同樣，咱們「猜」它有一個形如$ce^{-2t}$的特解，這樣就能夠肯定它的解。事實上，將猜想的這個形式代入方程就能夠獲得一個特解：

\[x(t) = \frac{-1}{3}y_0^2e^{-2t}.\]

因而，很容易驗證，任何以下形式的函數

\[x(t) =ce^t - \frac{1}{3}y_0^2e^{-2t}\]

都是方程的一個解。從而原系統的通解爲

\[\begin{align} x(t) &= \Bigg(x_0 + \frac{1}{3}y_0^2 \Bigg)e^t - \frac{1}{3}y_0^2e^{-2t} \\ y(t) &= e_0e^{-t}{-t}.\end{align}\]

      若是$y_0 = 0$，咱們可找到一個直線解$x(t) = x_0e^t,y(t) = 0$，這與線性情形的解是相同的。然而，與線性情形不一樣的是，$y$軸再也不是趨於原點的一個解。事實上，沿$y$軸的向量場爲$(y^2,-y)$，它與$y$軸不相切，其實，全部的非零向量都是指向該座標軸的右側。

      另外一方面，有一條過原點的曲線，上面的解都趨向於(0,0)。考慮$\mathbb R^2$中的曲線$x+\frac{1}{3}y^2  = 0$。假設$(x_0,y_0$在這條曲線上，令$(x(t),y(t))$是知足這個初始條件的解。因爲$x_0+\frac{1}{3}y_0^2  = 0$，這個解就是

\[\begin{align} x(t) &= - \frac{1}{3}y_0^2e^{-2t} \\ y(t) &= e_0e^{-t}{-t}.\end{align}\]

注意，對於全部的$t$，咱們都有$x(t) + \frac{1}{3}(y(t))^2 = 0$，從而對全部的時間，這個解都停留在曲線上。並且，當$t \to \infty$時，這個解趨於平衡點。這樣，咱們就找到了過原點的一條穩定曲線，它上面的全部解都趨於(0,0)。注意，這條曲線在原點與$y$軸相切(見圖8.1)。

      咱們可否真的「扔掉」系統的非線性項呢？下面咱們將看到，這個問題的回答是：得看狀況。然而，在如今的情形，這樣作是徹底合法的，這是由於咱們能找到一個變量替換(若是這各替換是連續的，可否當作是一種共軛呢？)將原來的系統真的轉化成它的線性系統。

      爲了說明這一點，咱們引入新的變量$u,v$以下

\[\begin{align} y &= x + \frac{1}{3}y^2 \\ v &= y. \end{align}.\]

則在新座標下，系統變成

\[\begin{align} u' &= x' + \frac{2}{3}yy' = x + \frac{1}{3}y^2 = u \\ v' &= y' = -y = -v. \end{align}\]

即，非線性變量替換$F(x,y) = \Bigg(x+\frac{1}{3}y^2,y \Bigg)$將原來的非線性系統轉化(這一轉化，可否當作是一種共軛呢？)成了一個線性系統，事實上，就是上面的線性化系統。

例  通常地，像上例那樣將一個非線性系統轉換成一個線性系統是不可能的，這是由於非線性項幾乎老是會對系統在遠離原點(系統的平衡點)的地方產生巨大的改變。例如，考慮非線性系統

\[\begin{align} x' &= \frac{1}{2}x-y - \frac{1}{2}(x^3 + y^2x) \\ y' &=x + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}(y^3 + x^2y). \end{align}\]

咱們在原點處仍然有一個平衡點。如今的線性化系統爲

\[\boldsymbol X' = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -1 \\ 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \boldsymbol X,\]

其特徵值爲$\frac{1}{2} \pm \text i$。容易驗證，這個線性系統的全部解都按反時針方向盤旋地遠離原點，且趨於$\infty$。

      求解上面的非線性系統看起來很困難。然而，若是換成極座標，方程會變得很是簡單。經過計算可得

\[\begin{align} r'\cos \theta - r(\sin \theta )\theta ' &= x' = \frac{1}{2}(r - {r^3})\cos \theta - r\sin \theta \\ r'\sin \theta + r(\cos \theta )\theta ' &= y' = \frac{1}{2}(r - {r^3})\sin \theta + r\cos \theta , \end{align}\]

在上面的式子中比較$\cos \theta$和$\sin \theta$的係數可得

\[\begin{align} r' &= r(1-r^2)/2 \\ \theta ' &= 1. \end{align} \]

      因爲去掉了方程的耦合，如今咱們可將系統顯式地解出。爲了作得更好些，咱們將以一種更幾何化的方式進行。從方程$\theta ' =1$可得，全部的非零解都繞着原點逆時針方程盤旋。從每個方程能夠看出，解並不會盤旋地趨於$\infty$。事實上，當$r = 1$時，咱們有$r' = 0$，因而全部從單位圓周上出發的解永遠逗留在那裏，並且沿圓周做週期運動。因爲當$0<r<1$時，$r'>0$，咱們能夠得出，單位圓內部的非零解都盤旋地離開原點，而且趨向單位圓周。因爲當$r>1$時，$r'<0$，單位圓周外部的解都盤旋地趨向單位圓周(見圖8.2)。

      在這個例子中，沒辦法找到一個總體的座標變換將系統化成線性形式，其理由是，線性系統都不會像這樣盤旋地趨向圓周(爲何？)。然而在原點附近仍然有可能。

      爲了看出這點，首先注意到，當$0<r_0<1$時，在半徑爲$r_0$的圓周上，非線性向量場指向這個圓周的外部，當時間向後時，非線性系統的全部解都趨於原點，事實上是盤旋地趨於原點。

      利用這個事實，咱們能夠在圓盤$r \le r_0$內定義線性和非線性系統之間的一個共軛，其方式相似於第4章。在極座標中，上面的線性化系統成爲

\[\begin{align} r' &= r/2 \\ \theta ' &= 1. \end{align}\]

能夠找到非線性系統和線性系統之間的一個共軛$h$(具體見書本)。

      因而，咱們發現，雖然並非總能將一個系統總體線性化，但時常可以實現局部線性化。很遺憾，這樣的局部線性化可能對解的行爲提供不了任何有用的信息。

例  如今，考慮系統

\[\begin{align} x' &= -y + \epsilon x(x^2 + y^2) \\ y' &= x+\epsilon y(x^2 + y^2). \end{align}\]

這裏$\epsilon$爲一個參數，便可取正也可取負。

      它的線性化系統爲

\[\begin{align} x' &= -y \\ y' &= x, \end{align}\]

因而可知，原點爲一箇中心，並且全部的解都在以原點爲中心的圓周上，以單位角速度逆時針旋轉。

      非線性系統卻幾乎徹底不同。在極座標下，非線性系統變成爲

\[\begin{align} r' &= \epsilon r^3 \\ \theta ' &=1. \end{align} \]

因而，當$\epsilon > 0$時，全部的解都盤旋地離開原點，而當$\epsilon < 0$時，全部的解都盤旋地趨於原點。增長的非線性項，無論它在原點是多麼的小，都明顯地改變了線性化系統的相圖；從而，咱們不能用線性化方法肯定系統在平衡點附近的行爲。

例  如今考慮最後一個例子：

\[\begin{align} x' &=x^2 \\ y' &=-y. \end{align}\]

該系統惟一的平衡解爲原點。全部其餘的解(除了$y$軸上的解)都向右運行，而且趨向$x$軸。在$y$軸上，解都沿該直線趨於原點。一直是，其相圖如圖8.3所示。

      該系統的線性化系統爲

\[\begin{align} x' &=0 \\ y' &=-y, \end{align}\]

$x$軸上的全部的點都是這個系統的平衡點，而全部其它的解都位於$x = c$($c$爲常數)豎線上。可見，它與圖8.3的圖形十分的不一樣。

      這裏，以及上例中的問題在於，線性化系統在原點的平衡點不是雙曲的。當一個平面線性系統有一個零特徵值或中心時，增長的非線性項經常會將相圖徹底改變。

8.2 非線性化的匯點和源點

      在上節的例子中咱們看到，只有當線性化系統爲雙曲(也就是沒有一個特徵值的實部爲零)，平面非線性系統的平衡點附近的解行爲纔會與其線性化系統類似。

      令$\boldsymbol X' =\boldsymbol F(\boldsymbol X)$，並假設$\boldsymbol F(\boldsymbol X_0) = 0$。記$\boldsymbol D\boldsymbol F_{\boldsymbol X_0}$爲$\boldsymbol F$在$\boldsymbol X_0$處的雅可比矩陣。則，像第7章同樣，線性微分方程系統

\[\boldsymbol Y' = \boldsymbol D \boldsymbol F_{\boldsymbol X_0} \boldsymbol Y\]

稱爲$\boldsymbol X_0$處的線性第系統。

      爲了與咱們在線性系統的工做進行類比，咱們稱一個非線性系統的一個平衡點$\boldsymbol X_0$爲雙曲的，若是$\boldsymbol D \boldsymbol F_{\boldsymbol X_0}$的全部特徵值都有非零實部。

線性化定理  假設$n$維繫統$\boldsymbol X' =\boldsymbol F(\boldsymbol X)$在$\boldsymbol X_0$處有一個雙曲平衡點。則在$\boldsymbol X_0$的一個鄰域內，非線性系統的流共軛於其線性化系統的流。

8.3 鞍點

      如今咱們來看線性化系統在$\mathbb R^2$的原點處爲一鞍點平衡點情形。像上一節同樣，咱們不妨假設系統有以下的形式：

\[\begin{align} x' &= \lambda x + f_1(x,y) \\ y' &= - \mu y + f_2(x,y), \end{align}\]

其中$-\mu < 0 < \lambda$，且當$r \to 0$時，$f_j(x,y)/r$趨於0。像線性系統情形同樣，咱們稱這種類型的平衡點爲一個鞍點。

      對於線性系統，$y$軸爲穩定線，$x$爲不穩定線。正如在8.1節中所看到，咱們不能期望這些穩定和不穩定直線在非線性情形還保持。儘管如此，確實還存在一對過原點的曲線具備相似的性質。

      記$W^s(0)$爲一些初始條件構成的集合，從這些初始條件出發的解當$t \to \infty$時趨於原點。記$W^u(0)$爲另外一些初始條件構成的集合，從這些初始條件出發的解當$t \to -\infty$時趨於原點。$W^s(0)$和$W^u(0)$分別稱爲穩定曲線和不穩定曲線。

      下面的定理代表非線性鞍點和附近解的行爲與線性情形很是類似。

穩定曲線定理  假設系統

\[\begin{align} x' &= \lambda x + f_1(x,y) \\ y' &= - \mu y + f_2(x,y), \end{align}\]

知足$-\mu < 0 < \lambda$，且當$r \to 0$時，$f_j(x,y)/r$趨於0。則存在$\epsilon > 0$以及定義在$|y|<\epsilon $上的一條曲線$x=h^s(y)$知足$h^s(0) = 0$。進一步，

      (1)初始條件在這條曲線上的全部的解對全部的$t \ge 0$仍然在這條曲線上，並且在$t \to \infty$時趨於原點；
      (2)曲線$x=h^s(y)$通過原點時切於$y$軸；
      (3)初始條件位於以原點爲中心、$\epsilon$爲半徑的圓盤內的全部其它的解在時間增長時都將離開該圓盤。

      咱們依次給出幾點註記。曲線$x=h^s(y)$稱爲0處的局部穩定曲線。當位於穩定曲線上的解在時間向後時就獲得完整的穩定曲線$W^s(0)$(反方向找，就能找到全體了!)。事實上，函數$x=h^s(y)$在全部點處都是$C^\infty$。

      相似的不穩定曲線定理將爲咱們提供形如$y = h^u(x)$的$x=h^s(y)$。這條曲線在原點與$x$軸相切。曲線上的全部解當$t \to -\infty$時都趨於原點。

      咱們簡單地討論一下高維的鞍點來結束本節。假設$\boldsymbol X' =\boldsymbol F(\boldsymbol X),\boldsymbol X \in \mathbb R^n$。假設$\boldsymbol X_0$爲一個平衡解，其相應的線性化系統具備$k$個實部爲負的特徵值和$n-k$個實部爲正的特徵值。則局部穩定集和局部不穩定集通常再也不是曲線，而分別是$k$維和$n-k$維的「子流形」。咱們不打算在此討論流形理論，而只是簡單地指出，這意味着，在通過一個線性座標變換後(仍是線性化後？同樣嗎？)，原點附近的局部穩定集由一個$C^\infty$函數$G:B_r \to \mathbb R^{n-k}$的圖像所給出，其中$g(0)=0$，且$g$的全部的偏導數在原點都是零。這裏，$B_r$是$\mathbb R^k$中中心爲原點半徑爲$r$的圓盤。局部不穩定集是一個$n-k$維圓盤上的相似的圖像。這兩個圖像在平衡點$\boldsymbol X_0$處分別切於它的穩定子空間和不穩定子空間。因而它們只在$\boldsymbol X_0$處相交。

例  考慮系統

\[\begin{align}x' &= -x \\ y' &=-y \\ z' &=z + x^2 + y^2. \end{align}\]

其在原點的線性化系統的特徵值爲1和-1(二重)。座標變換

\[\begin{align} u &=x \\ v &=y \\ w &= z + \frac{1}{3}(x^2 + y^2) \end{align}\]

將這個非線性系統化成下面的線性系統：

\[ \begin{align} u' &= -u \\ v' &= -v \\ w' &= w. \end{align}\]

平面$w = 0$爲這個線性系統的穩定平面。上面的座標變換將這個平面變換成曲面：

\[z = -\frac{1}{3}(x^2 + y^2),\]

這是$\mathbb R^3$中過原點的一個拋物面，並且開口向下。這個曲面上的全部解都趨於原點；咱們稱它爲這個非線性系統的穩定曲面(見圖8.5)。

8.4 穩定性

      在常微分方程及其應用中，平衡點的研究扮演着重要的角色。然而，爲了保證一個平衡點有物理意義，它必須知足必定的穩定性假設。

      一個平衡點稱爲穩定的，若是附近的解在未來都仍然逗留在附近。在動力系統的應用中，人們經常不能給出位置的準確值，而只是一個近似值，於是爲了平衡點具備物理意義，它必須是穩定的。

      更準確地說，假設$\boldsymbol X^* \in \mathbb R^n$爲微分方程

\[ \boldsymbol X' =\boldsymbol F(\boldsymbol X)\]

的一個平衡點。則$\boldsymbol X^*$爲一個穩定的平衡點，若是對$\boldsymbol X^*$在$\mathbb R^n$中的任一鄰域$\mathcal O$，都存在$\boldsymbol X^*$在$\mathcal O$中的鄰域$\mathcal O_1$，使得任何知足初始條件$\boldsymbol X(0) = \boldsymbol X_0 \in \mathcal O_1$的解$\boldsymbol X(t)$對全部的$t > 0$，都始終逗留在$\mathcal O$中。(爲何不是$\boldsymbol X(0) = \boldsymbol X_0 \in \mathcal O$，的解$\boldsymbol X(t)$對全部的$t > 0$，都始終逗留在$\mathcal O$中呢？而是要求初始條件在一個更小的鄰域內，而解能夠在更大的一個鄰域內就算穩定。)

      另外一種形式不一樣的穩定性是漸近穩定性。若是上面選取的$\mathcal O_1$除了能保證穩定性以外，還知足

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty }\boldsymbol X(t) = {\boldsymbol X^*},\]

則咱們稱$\boldsymbol X^*$是漸近穩定的。

      若是平衡點$\boldsymbol X^*$不是穩定的，則稱爲不穩定的。這意味着存在$\boldsymbol X^*$的一個鄰域$\mathcal O$使得對於$\boldsymbol X^*$在$\mathcal O$中的每個鄰域$\mathcal O_1$，都至少存在一個從$\boldsymbol X(0)  \in \mathcal O_1$出發的解$\boldsymbol X(t)$並非對於全部的$t > 0$都整個地位於$\mathcal O$中。(意思是不管如何限定一個鄰域，至少能夠找到一點，由它出發的解不會所有地位於$\mathcal O$中)

      匯點是漸近穩定的，於是也是穩定的。源點和鞍點都是不穩定平衡點的例子。對於$\mathbb R^2$中的線性方程$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$，若是$\boldsymbol A$具備純虛的特徵值，則原點就是一個穩定但非漸近穩定的平衡點(真是個好例子!)。這個例子在應用中的重要性是頗有限的(著名的調和振子除下)，這麼說的理由是，在8.1節中，咱們已經看到，任何微小的非線性擾動均可能破壞它的這一性質；甚至是一個小的線性擾動都可以將一箇中心變成一個匯點或源點。

      因而，若是系統在一個平衡點處的線性化系統是雙曲的，則咱們能夠馬上肯定該平衡點的穩定性。遺憾的是，應用中出現的許多重要的平衡點都是非雙曲的。若是有一個技巧可以肯定全部情形的平衡點的穩定性，那就太好了。再次使人遺憾的是，肯定穩定性，沒有這樣萬能的方法，而只能經過找出系統的全部解，而這即便可能，也每每是很困難的。在下一章，咱們將給出幾種技巧使得在一些特殊情形，咱們能夠肯定穩定性。

8.5 分岔

      在這一節，咱們將描述非線性系統中出現的一些簡單的分岔例子。咱們考慮一族系統

\[X'=F_a(X),\]

其中$a$爲實參數。咱們假設$F_a$以$C^\infty$的方式依賴於$a$。當$a$變化時，若是系統的解的結構發生了「顯著」的改變，就稱出現了一個分岔。最簡單的分岔就是當$a$變化時，平衡解的數目發生了變化。

例  考慮一階方程

\[x'=f_a(x)=x^2+a.\]

當$a=0$時，$x=0$是它的惟一的平衡點。注意，$f'_0(0)=0$，而$f''_0(0)\ne 0$。當$a>0$時，對全部的$x$，都有$f_a(x)>0$，於是方程沒有平衡點；但當$a<0$時，該方程有一對平衡點。因而，當參數通過$a=0$時，出現了分岔。

      這類分岔稱爲鞍結分岔。在鞍結分岔中，存在包含分岔值$a_0$的一個區間以及另外一個在$x$軸上的區間$I$，使得該微分方程
      (1)當$a<a_0$時在$I$中有兩個平衡點；
      (2)當$a=a_0$時在$I$中有一個平衡點；
      (3)當$a>a_0$時在$I$中沒有平衡點。

      固然，分岔也能夠「按相反的方向」出現，所謂相反的方向是指當$a<a_0$時沒有平衡點。實際上，上面的例子就是一階方程的典型分岔。

定理  (鞍結分岔)假設一階微分方程$x'=f_a(x)$知足

\[f_{a_0}(x_0)=0;(2)f'_{a_0}(x_0)=0;(3)f''_{a_0}(x_0)\ne 0;(4)\frac{\partial f_{a_0}}{\partial a}(x_0) \ne 0.\]

則該微分方程在$a=a_0$處出現一個鞍結分岔。

      回憶一下，所謂$x' = f_a(x)$的分岔圖就是將不一樣參數$a$所對應的方程的相直線畫在一塊兒造成的圖。圖8.6所示的是一個典型的鞍結分岔圖。

例  (叉分岔)考慮

\[x'=x^3-ax.\]

當$a>0$時，該方程有3個平衡點，分別是$x=0$以及$x=\pm \sqrt a$。當$a \le 0$時，$x=0$是惟一的平衡點。共分岔圖見圖8.7，從中能夠看出爲何這樣稱呼這種分岔。

       如今咱們來看幾個高維的分岔。平面中的鞍結分岔相似於它相應的一維情形，只不過如今能夠看出「鞍點」在哪裏。

例  考慮系統

\[\begin{align} x' &=x^2+a \\ y' &=-y. \end{align}\]

當$a=0$時，這是8.1節中曾經考慮過的一個系統。此時，方程在原點處有惟一的平衡點，並且相應的線性化系統有一個零特徵值。

      當$a$緩過$a=0$時，鞍結分岔就出現了。當$a>0$時，咱們有$x'>0$，於是全部的解都向右邊運動；此時，平衡點不見了。當$a<0$時，咱們有一對平衡點，它們是$(\pm \sqrt{-a},0)$。相應的線性化系統是

\[\boldsymbol X' = \begin{pmatrix} 2x & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \boldsymbol X.\]

從而$(- \sqrt{-a},0)$是一個匯點，$(\sqrt{-a},0)$是一個鞍點。注意，在直線$x=\pm \sqrt{-a}$上，$x'=0$，於是這兩條線上的全部的解都始終逗留在這兩條線上。又因爲$y'=-y$，這些解都筆直地趨於相應的平衡點。該分岔的略圖見圖8.8。

      下面的例子代表，鞍結分岔可能對解的大範圍行爲產生影響。

例  考慮由極座標給出的系統

\[\begin{align} r' &=r-r^3 \\ \theta' &=\sin^2\theta + a, \end{align}\]

這裏$a$也是一個參數。因爲當$r=0$時，$r'=0$，因此原點老是一個平衡點。因爲當$a>0$時，$\theta' >0$，從而此時方程沒有其它的平衡點。當$a=0$時，將多出2個平衡點，它們分別是位於$(r,\theta) = (1,0)$和$(r,\theta) = (1,\pi)$。當$-1 < a <0$時，在圓周$r=1$上有4個平衡點，它們分別對應於方程

\[\sin^2\theta = -a\]

的4個根。將這4個根記爲$\theta_\pm,\theta_\pm + \pi$，這裏咱們假設$0 < \theta_+ < \pi /2, -\pi /2 < \theta_- <0$。相圖如圖8.9。

       前面的例子都是描述當線性系統具備零特徵值時所出現的分岔的特色。

例  (霍普夫分岔)考慮系統

\[\begin{align} x' &= ax - y -x(x^2+y^2) \\ y' &=x+ay -y(x^2+y^2). \end{align}\]

該系統在原點有一個平衡點，其線性化系統爲

\[\boldsymbol X' = \begin{pmatrix} a & -1 \\ 1 & a \end{pmatrix} \boldsymbol X,\]

其特徵值爲$a\pm \text i$，於是咱們指望在$a=0$時出現分岔。

      爲了看出當$a$通過0時發生的現象，咱們變換到極座標下考慮。此時系統變成

\[\begin{align} r' &= ar-r^3 \\ \theta' &= 1. \end{align}\]

因爲$\theta' \ne 0$，可見原點爲該系統的惟一平衡點。當$a<0$時，因爲對全部的$r>0，ar-r^3<0$，故原點是一匯點。從而，此時全部的解都趨於原點。當$a>0$時，平衡點變成爲一個源點。可是，還發生了些什麼？當$a>0$時，若是$r=\sqrt a$，則$r'=0$，從而半徑爲$\sqrt a$的圓周是一個週期爲$2\pi$的週期解。此時，咱們還有，若是$0<r<\sqrt a$，則$r'>0$，而若是$r>\sqrt a$則$r'<0$，從而全部的非零解當$t \to \infty$時都盤旋地趨向這個週期解。

      這種類型的分岔稱爲霍普夫分岔。因而，在一個霍普夫分岔中，不出現新的平衡點，而是當$a$通過分岔值時在平衡點產生了一個週期解(見圖8.10)。

 

注：有必要對Hopf分岔作更深刻的瞭解!