轉：圖形學 位移，旋轉，縮放矩陣變換

原文地址：https://www.jianshu.com/p/ac1b34420be7

遇到可讓你開竅的文章，最好保存起來，好查找，要不看完了開竅了，過兩天忘了想再看看就找不到了

另外一個大神的文章：http://blog.csdn.net/popy007/article/details/1797121

 

1. 位移（translation）

對於一個三維座標（x, y, z），咱們想讓它往x軸正方向移動1個單位，往y軸正方向移動1個單位，往z軸正方向移動1個單位，則可讓它加上一個向量（1, 1, 1）

2. 旋轉（Rotation）

對於一個三維座標（x, y, z），讓其繞x, y, z軸旋轉θ角的方法是在其左邊乘上一個旋轉矩陣。繞x軸，繞y軸，繞z軸的旋轉矩陣分別是：

 

 

PS：若是咱們想更加通用一點，即點（x, y, z）繞軸（u, v, w）旋轉θ的矩陣是什麼？
若是u, v, w三者的平方和爲1，即該向量是個單位向量，那麼矩陣以下：

 

 

3. 縮放（scale）

對於一個三維座標（x, y, z），咱們想讓它擴大2倍，則可讓它變成（2x, 2y, 2z）。寫成矩陣乘法的話，V2 = M*V1，M以下圖：

 

 

 

 

4. 統一變換

有沒有什麼方法讓位移，旋轉，縮放都成爲統一的一種形式？
答：將三維座標轉換爲四維座標，而後使用線性變換。

線性變換（Linear Transformation / Xforms）是渲染和遊戲引擎等圖形學工具進行座標變換的方式，是可逆的。
線性變換的等式以下：
V2 = M*V1

• V是齊次（homogeneous）四維向量（x,y,z,w），豎着寫的
• M是齊次4×4矩陣
• 當w=1時，四維座標會變成三維座標

對於三維座標（x, y, z），將其轉換爲四維座標，能夠直接加個1，即變成（x, y, z, 1）
對於四維座標（x, y, z, w），都除以w便可轉換爲三維座標，即（x/w, y/w, z/w）

1. 四維位移

 

這個圖要從右向左看

從上圖中能夠看到，四維位移矩陣，是在一個四維單位矩陣（就是對角線都是1，其餘都是0的矩陣）的最後一列，放入你想要位移的向量（tx, ty, tz）

 

2. 四維旋轉

 

繞x軸轉θ

從上圖中能夠看到，四維旋轉矩陣，是在咱們上面剛說的三維繞軸旋轉矩陣的基礎上，在最後一行和最後一列補上一個（0，0，0，1）。

 

3. 四維縮放

 

從右向左看

和旋轉一個道理。

 

5. 四維變換的性質

1. 可關聯（associative）
   你可讓一個座標乘上一個旋轉矩陣，再乘上一個位移矩陣，再乘上一個縮放矩陣，再乘上一個旋轉矩陣………………

2. 旋轉和縮放矩陣可交換（communicative）
   先旋轉後縮放和先縮放後旋轉的結果是同樣的。RS = SR
   位移不知足交換律
   先位移再旋轉和先旋轉再位移結果是不同的！由於旋轉以後模型的正面朝向就變了，因此會向新的方向位移。
   TS!=ST, TR!=RT

3. 對於任何一個線性變換矩陣，咱們能夠把它拆解（decompose）爲TRS或TSR三個矩陣的乘積的形式。

   
   
    

   

    
   
   

   1）首先提取最後一列，獲得位移
   2）剩餘的矩陣是R和S相乘的矩陣
   咱們能夠先看一下S和R相乘的結果是什麼樣的

   
   
    

   

   SR相乘, 以Z軸旋轉爲例
   
   從圖中能夠看出，SR矩陣，第一行的平方和開根就是Sx，第二行的平方和開根就是Sy，第三行的平方和開根就是Sz。第一行除以Sx，第二行除以Sy，第三行除以Sz，便可獲得旋轉矩陣。

6. 四維變換的逆變換

因爲線性變換是可逆的，因此咱們能夠看一下位移旋轉縮放的逆矩陣。
1. 位移
T的逆矩陣是-T，即向反方向移動。
2. 旋轉
R的逆矩陣是R的轉置矩陣，即以對角線翻轉矩陣。
怎麼理解呢？好比R是繞X軸旋轉θ，那麼逆操做就是繞X軸旋轉-θ，帶入-θ就會發現它變成了轉置矩陣。
3. 縮放
S的逆矩陣是1/S，即把對角線上的三個元素都變成倒數，即反向縮放。
4. 線性變換Xforms
TSR的逆矩陣 = R的逆×S的逆×T的逆

 

做者：白癡毛 連接：https://www.jianshu.com/p/ac1b34420be7 來源：簡書 著做權歸做者全部。商業轉載請聯繫做者得到受權，非商業轉載請註明出處。