建堆複雜度O(n)證實

堆排序中首先須要作的就是建堆，廣爲人知的是建堆複雜度才O(n)，它的證實過程涉及到高等數學中的級數或者機率論，不過證實總體來說是比較易懂的。

堆排過程

代碼以下

void print(vector<int> &arr)
{
    for(auto n: arr) printf("%d\t", n);
    cout<<endl;
}

// 以arr[n]爲根的子樹，將arr[n]向下調整至合適位置
void Heapify(vector<int> &arr, int size, int n)
{
    int L = n*2+1, R = L+1;
    if(L>=size) return ;//無孩

    int big = arr[L];         // 取兩孩之大者
    if(R<size) big = max(big, arr[R]);

    if(arr[n]>=big) return ;  //無需調整

    int c = L;      // 欲與父交換位置的孩子
    if(big!=arr[L]) c = R;
    swap(arr[n], arr[c]);
    Heapify(arr, size, c);
}

// 小根堆
void BuildHeap(vector<int> &arr)
{
    int last = (arr.size()-1)/2;
    for(int i=last; i>=0; i--) {
        Heapify(arr, arr.size(), i);
    }
}
// 順便排序
void Sort(vector<int> &arr)
{
    int size = arr.size();
    for(int i=size-1; i>0; i--) {
        swap(arr[0], arr[i]);
        Heapify(arr, i, 0); //調整一下arr[0]
    }
}

int main()
{
    vector<int> vect{9, 10, 6, 3, 1, 6, 2, 8, 4};
    print(vect); //排序前
    BuildHeap(vect); //建堆
    Sort(vect);  //排序
    print(vect); //排序後
    return 0;
}

建堆的過程就是從最後一個分支結點開始逐層向上遍歷，將結點向下調整至合適的位置，以不至於破壞原來的堆。好比上圖，遍歷的結點編號依次爲3 2 1，首先調整以3爲根的子樹成堆，其次是以2爲根的子樹成堆，最後是以1爲根的子樹成堆。至此建堆完成，複雜度O(n)。

注意：建堆不能寫成以下這樣，這樣的建堆算法複雜度是O(nlogn)，雖然不會影響堆排序的複雜度O(nlogn)，可是實現其餘算法時就很不利了。

// 將arr[n]向上調整至合適位置
void AdjustHeap(vector<int> &arr, int n)
{
    if(n<=0) return ;
    if(arr[(n-1)/2] > arr[n]) {  //與父結點比較
        swap(arr[(n-1)/2], arr[n]);
        AdjustHeap(arr, (n-1)/2);   //遞歸調整
    }
}
// 小根堆
void BuildHeap(vector<int> &arr)
{
    for(int i=1; i<arr.size(); i++) {
        AdjustHeap(arr, i);
    }
}

複雜度計算

從直觀上看，Heapify()的遞歸深度最多爲${log_n}$，故它的複雜度上限爲O(logn)。而BuildHeap()中的循環爲${ \frac{n}{2} }$次，故它的複雜度爲O(nlogn)，但這不是它的實際複雜度，而是一個估算的上界，它極可能永遠達不到這個上界。爲了方便計算，考慮結點數量爲n，高度爲h的滿二叉樹，所以${2^h-1 = n}$，即${h = log_2{(n+1)}}$。

第幾層	最多調整次數	層調整次數累計
${h}$	$0$	${2^{h-1}*0}$
${h-1}$	$1$	${2^{h-2}*1}$
${h-2}$	$2$	${2^{h-3}*2}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$3$	${ h-3 }$	${2^{2}*(h-3)}$
$2$	${ h-2 }$	${2^{1}*(h-2)}$
$1$	${ h-1 }$	${2^{0}*(h-1)}$

將最右邊一列累加起來就是建堆的調整次數，則建堆的調整次數${S(n)}$爲

$${S(n) = 12^{h-2}+22^{h-3}+}\cdots {+(h-2)*2^1 +(h-1)*2^0}$$ $${=2^{h-1} * ( \frac{1}{2^{1}} +\frac{2}{2^{2}} +\frac{3}{2^{3}} +}\cdots {+\frac{h-2}{2^{h-2}} +\frac{h-1}{2^{h-1}} )} \tag{1}$$

則 $${\frac{1}{2} S(n) = 2^{h-1} *(\frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \frac{3}{2^4} + }\cdots{+\frac{h-2}{2^{h-1}} +\frac{h-1}{2^h})} \tag{2}$$

將(1)式減去(2)式得 $${S(n)-\frac{1}{2}S(n) = 2^{h-1} * (\frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + }\cdots{+\frac{1}{2^{h-2}} + \frac{1}{2^{h-1}} -\frac{h-1}{2^h} )} $$ $${ = 2^{h-1} * (\frac{1}{1-\frac{1}{2}}-1-\frac{h-1}{2^h} ) } \tag{3}$$ $${ =2^{h-1} * ( 1 - \frac{h-1}{2^h})}$$ $${ =2^{h-1}} $$

又因 ${ n = 2^h-1 }$，故有 $${S(n) = 2^h = \frac{n+1}{2}}$$

注意：上面列式均是當n趨於無窮大時的計算，且(3)式是由級數的直接變換所得。其餘的證實思路還有用機率的，就不寫了。

寫公式寫到頭皮發麻，寫錯n次了，若是錯漏請不吝指正，感謝！