複雜度分析：時間複雜度和空間複雜度

本文轉載自：數據結構和算法之美

當咱們設計了一個算法之後，每每會從時間和空間這兩個維度來評判這個算法的優劣。執行時間越短，佔用內存空間越小的算法，咱們認爲是更優的算法。

這篇文章的主題：複雜度分析就是用來分析算法時間和空間複雜度的。

爲何須要複雜度分析

你可能會有些疑惑，我把代碼跑一遍，經過統計、監控，就能獲得算法執行的時間和佔用的內存大小。爲何還要作時間、空間複雜度分析呢？這種分析方法能比我實實在在跑一遍獲得的數據更準確嗎？

首先，我能夠確定地說，你這種評估算法執行效率的方法是正確的。不少數據結構和算法書籍還給這種方法起了一個名字，叫過後統計法。可是，這種統計方法有很是大的侷限性。

1. 測試的結果依賴測試的環境

測試環境中硬件的不一樣會對測試結果有很大的影響。好比，咱們拿一樣一段代碼，分別用 Intel Core i9 處理器和 Intel Core i3 處理器來運行，不用說，i9 處理器要比 i3 處理器執行的速度快不少。還有，好比本來在這臺機器上 a 代碼執行的速度比 b 代碼要快，等咱們換到另外一臺機器上時，可能會有截然相反的結果。

2. 測試結果受數據規模的影響很大

若是測試數據規模過小，測試結果可能沒法真實地反映算法的性能。好比，對於小規模的數據排序，插入排序可能反倒會比快速排序要快！

因此，咱們須要一個不用具體的測試數據來測試，就能夠粗略地估計算法的執行效率的方法。這就是咱們今天要講的時間、空間複雜度分析方法。

大 O 複雜度表示法

算法的執行效率，粗略地講，就是算法代碼執行的時間。可是，如何在不運行代碼的狀況下，用「肉眼」獲得一段代碼的執行時間呢？

這裏有段很是簡單的代碼，求 1,2,3…n 的累加和。如今，我就帶你一塊來估算一下這段代碼的執行時間。

int cal(int n) 
{ 
    int sum = 0; 
    int i = 1; 
    for (; i <= n; ++i) 
    { 
        sum = sum + i; 
    } 
    return sum; 
}

從 CPU 的角度來看，這段代碼的每一行都執行着相似的操做：讀數據-運算-寫數據。儘管每行代碼對應的 CPU 執行的個數、執行的時間都不同，可是，咱們這裏只是粗略估計，因此能夠假設每行代碼執行的時間都同樣，爲 unit_time。在這個假設的基礎之上，這段代碼的總執行時間是多少呢？

第 二、3 行代碼分別須要 1 個 unit_time 的執行時間，第 四、5 行都運行了 n 遍，因此須要 2nunit_time 的執行時間，因此這段代碼總的執行時間就是 (2n+2)unit_time。能夠看出來，全部代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數成正比。

按照這個分析思路，咱們再來看這段代碼。

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }
 }

咱們依舊假設每一個語句的執行時間是 unit_time。那這段代碼的總執行時間 T(n) 是多少呢？

第 二、三、4 行代碼，每行都須要 1 個 unit_time 的執行時間，第 五、6 行代碼循環執行了 n 遍，須要 2n * unit_time 的執行時間，第 七、8 行代碼循環執行了 n2遍，因此須要 2n2 * unit_time 的執行時間。因此，整段代碼總的執行時間 T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time。

儘管咱們不知道 unit_time 的具體值，可是經過這兩段代碼執行時間的推導過程，咱們能夠獲得一個很是重要的規律，那就是，全部代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數 n 成比例。

咱們能夠把這個規律總結成一個公式。注意，大 O 就要登場了！

我來具體解釋一下這個公式。其中，T(n) 咱們已經講過了，它表示代碼執行的時間；n 表示數據規模的大小；f(n) 表示每行代碼執行的次數總和。由於這是一個公式，因此用 f(n) 來表示。公式中的 O，表示代碼的執行時間 T(n) 與 f(n) 表達式成正比。

因此，第一個例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二個例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。這就是大 O 時間複雜度表示法。大 O 時間複雜度實際上並不具體表示代碼真正的執行時間，而是表示代碼執行時間隨數據規模增加的變化趨勢，因此，也叫做漸進時間複雜度（asymptotic time complexity），簡稱時間複雜度。

當 n 很大時，你能夠把它想象成 10000、100000。而公式中的低階、常量、係數三部分並不左右增加趨勢，因此均可以忽略。咱們只須要記錄一個最大量級就能夠了，若是用大 O 表示法表示剛講的那兩段代碼的時間複雜度，就能夠記爲：T(n) = O(n)； T(n) = O(n2)。

時間複雜度分析方法

1. 只關注循環執行次數最多的一段代碼

我剛纔說了，大 O 這種複雜度表示方法只是表示一種變化趨勢。咱們一般會忽略掉公式中的常量、低階、係數，只須要記錄一個最大階的量級就能夠了。因此，咱們在分析一個算法、一段代碼的時間複雜度的時候，也只關注循環執行次數最多的那一段代碼就能夠了。這段核心代碼執行次數的 n 的量級，就是整段要分析代碼的時間複雜度。

爲了便於你理解，我仍是拿前面的例子來講明。

int cal(int n) {
   int sum = 0;                //2
   int i = 1;                  //3
   for (; i <= n; ++i) {       //4
     sum = sum + i;            //5
   }
   return sum;
 }

其中第 二、3 行代碼都是常量級的執行時間，與 n 的大小無關，因此對於複雜度並無影響。循環執行次數最多的是第 四、5 行代碼，因此這塊代碼要重點分析。前面咱們也講過，這兩行代碼被執行了 n 次，因此總的時間複雜度就是 O(n)。

2. 加法法則：總複雜度等於量級最大的那段代碼的複雜度

我這裏還有一段代碼。你能夠先試着分析一下，而後再往下看跟個人分析思路是否同樣。

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;              //2
   int p = 1;                  //3
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }
 
   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }
 
   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

這個代碼分爲三部分，分別是求 sum_一、sum_二、sum_3。咱們能夠分別分析每一部分的時間複雜度，而後把它們放到一起，再取一個量級最大的做爲整段代碼的複雜度。

第一段的時間複雜度是多少呢？這段代碼循環執行了 100 次，因此是一個常量的執行時間，跟 n 的規模無關。

這裏我要再強調一下，即使這段代碼循環 10000 次、100000 次，只要是一個已知的數，跟 n 無關，照樣也是常量級的執行時間。當 n 無限大的時候，就能夠忽略。儘管對代碼的執行時間會有很大影響，可是回到時間複雜度的概念來講，它表示的是一個算法執行效率與數據規模增加的變化趨勢，因此無論常量的執行時間多大，咱們均可以忽略掉。由於它自己對增加趨勢並無影響。

那第二段代碼和第三段代碼的時間複雜度是多少呢？答案是 O(n) 和 O(n2)，你應該能容易就分析出來，我就不囉嗦了。

綜合這三段代碼的時間複雜度，咱們取其中最大的量級。因此，整段代碼的時間複雜度就爲 O(n2)。也就是說：總的時間複雜度就等於量級最大的那段代碼的時間複雜度。那咱們將這個規律抽象成公式就是：

若是 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那麼 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

3. 乘法法則：嵌套代碼的複雜度等於嵌套內外代碼複雜度的乘積

我剛講了一個複雜度分析中的加法法則，這兒還有一個乘法法則。類比一下，你應該能「猜到」公式是什麼樣子的吧？

若是 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那麼 T(n)=T1(n)T2(n)=O(f(n))O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

也就是說，假設 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，則 T1(n) * T2(n) = O(n3)。落實到具體的代碼上，咱們能夠把乘法法則當作是嵌套循環，我舉個例子給你解釋一下。

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

咱們單獨看 cal() 函數。假設 f() 只是一個普通的操做，那第 4～6 行的時間複雜度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函數自己不是一個簡單的操做，它的時間複雜度是 T2(n) = O(n)，因此，整個 cal() 函數的時間複雜度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。

我剛剛講了三種複雜度的分析技巧。不過，你並不用刻意去記憶。實際上，複雜度分析這個東西關鍵在於「熟練」。你只要多看案例，多分析，就能作到「無招勝有招」。

幾種常見時間複雜度實例分析

雖然代碼千差萬別，可是常見的複雜度量級並很少。我稍微總結了一下，這些複雜度量級幾乎涵蓋了你從此能夠接觸的全部代碼的複雜度量級。

對於剛羅列的複雜度量級，咱們能夠粗略地分爲兩類，多項式量級和非多項式量級。其中，非多項式量級只有兩個：O(2n) 和 O(n!)。

咱們把時間複雜度爲非多項式量級的算法問題叫做 NP（Non-Deterministic Polynomial，非肯定多項式）問題。

當數據規模 n 愈來愈大時，非多項式量級算法的執行時間會急劇增長，求解問題的執行時間會無限增加。因此，非多項式時間複雜度的算法實際上是很是低效的算法。所以，關於 NP 時間複雜度我就不展開講了。咱們主要來看幾種常見的多項式時間複雜度。

在計算機領域，通常能夠將問題分爲可解問題和不可解問題。不可解問題也能夠分爲兩類：一類如停機問題，的確無解；另外一類雖然有解，但時間複雜度很高。可解問題也分爲多項式問題(Polynomial Problem，P問題)和非肯定性多項式問題(NondeterministicPolynomial Problem，NP問題)。更詳細的內容可參照百科

下面是多項式量級複雜度的對比：

1. O(1)

首先你必須明確一個概念，O(1) 只是常量級時間複雜度的一種表示方法，並非指只執行了一行代碼。好比這段代碼，即使有 3 行，它的時間複雜度也是 O(1），而不是 O(3)。

int i = 8;
 int j = 6;
 int sum = i + j;

我稍微總結一下，只要代碼的執行時間不隨 n 的增大而增加，這樣代碼的時間複雜度咱們都記做 O(1)。或者說，通常狀況下，只要算法中不存在循環語句、遞歸語句，即便有成千上萬行的代碼，其時間複雜度也是Ο(1)。

2. O(n)**

這種時間複雜度的算法很常見。

int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

3. O(logn)、O(nlogn)

對數階時間複雜度很是常見，同時也是最難分析的一種時間複雜度。我經過一個例子來講明一下。

i=1;
while (i <= n)  {
	i = i * 2;
}

根據咱們前面講的複雜度分析方法，第三行代碼是循環執行次數最多的。因此，咱們只要能計算出這行代碼被執行了多少次，就能知道整段代碼的時間複雜度。

從代碼中能夠看出，變量 i 的值從 1 開始取，每循環一次就乘以 2。當大於 n 時，循環結束。還記得咱們高中學過的等比數列嗎？實際上，變量 i 的取值就是一個等比數列。若是我把它一個一個列出來，就應該是這個樣子的：

因此，咱們只要知道 x 值是多少，就知道這行代碼執行的次數了。經過 2x=n 求解 x 這個問題咱們想高中應該就學過了，我就很少說了。x=log2n，因此，這段代碼的時間複雜度就是 O(log2n)。

如今，我把代碼稍微改下，你再看看，這段代碼的時間複雜度是多少？

i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }

根據我剛剛講的思路，很簡單就能看出來，這段代碼的時間複雜度爲 O(log3n)。

實際上，無論是以 2 爲底、以 3 爲底，仍是以 10 爲底，咱們能夠把全部對數階的時間複雜度都記爲 O(logn)。爲何呢？

咱們知道，對數之間是能夠互相轉換的，log3n 就等於 log32 * log2n，因此 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一個常量。基於咱們前面的一個理論：在採用大 O 標記複雜度的時候，能夠忽略係數，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。因此，O(log2n) 就等於 O(log3n)。所以，在對數階時間複雜度的表示方法裏，咱們忽略對數的「底」，統一表示爲 O(logn)。

對數的換底公式：https://www.cnblogs.com/ransn/p/5138643.html

若是你理解了我前面講的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。還記得咱們剛講的乘法法則嗎？若是一段代碼的時間複雜度是 O(logn)，咱們循環執行 n 遍，時間複雜度就是 O(nlogn) 了。並且，O(nlogn) 也是一種很是常見的算法時間複雜度。好比，歸併排序、快速排序的時間複雜度都是 O(nlogn)。

4. O(m+n)、O(m*n)

咱們再來說一種跟前面都不同的時間複雜度，代碼的複雜度由兩個數據的規模來決定。老規矩，先看代碼！

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }
  return sum_1 + sum_2;
}

從代碼中能夠看出，m 和 n 是表示兩個數據規模。咱們沒法事先評估 m 和 n 誰的量級大，因此咱們在表示複雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則，省略掉其中一個。因此，上面代碼的時間複雜度就是 O(m+n)。

針對這種狀況，原來的加法法則就不正確了，咱們須要將加法規則改成：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。可是乘法法則繼續有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

空間複雜度分析

前面，我們花了很長時間講大 O 表示法和時間複雜度分析，理解了前面講的內容，空間複雜度分析方法學起來就很是簡單了。

前面我講過，時間複雜度的全稱是漸進時間複雜度，表示算法的執行時間與數據規模之間的增加關係。類比一下，空間複雜度全稱就是漸進空間複雜度（asymptotic space complexity），表示算法的存儲空間與數據規模之間的增加關係。

我仍是拿具體的例子來給你說明。（這段代碼有點「傻」，通常沒人會這麼寫，我這麼寫只是爲了方便給你解釋。）

void print(int n) {
  int i = 0;              //2
  int[] a = new int[n];   //3
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

跟時間複雜度分析同樣，咱們能夠看到，第 2 行代碼中，咱們申請了一個空間存儲變量 i，可是它是常量階的，跟數據規模 n 沒有關係，因此咱們能夠忽略。第 3 行申請了一個大小爲 n 的 int 類型數組，除此以外，剩下的代碼都沒有佔用更多的空間，因此整段代碼的空間複雜度就是 O(n)。

咱們常見的空間複雜度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 這樣的對數階複雜度平時都用不到。並且，空間複雜度分析比時間複雜度分析要簡單不少。因此，對於空間複雜度，掌握剛我說的這些內容已經足夠了。

最好、最壞、平均、均攤時間複雜度

本節重點：

• 最好狀況時間複雜度（best case time complexity）；
• 最壞狀況時間複雜度（worst case time complexity）；
• 平均狀況時間複雜度（average case time complexity）；
• 均攤時間複雜度（amortized time complexity）

先來看一段代碼：

// n表示數組array的長度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

這段代碼的功能很是簡單，就是查找整數x在數組中的位置，找到就直接返回。由於，要查找的變量 x 可能出如今數組的任意位置。若是數組中第一個元素正好是要查找的變量 x，那就不須要繼續遍歷剩下的 n-1 個數據了，那時間複雜度就是 O(1)。但若是數組中不存在變量 x，那咱們就須要把整個數組都遍歷一遍，時間複雜度就成了 O(n)。因此，不一樣的狀況下，這段代碼的時間複雜度是不同的。

爲了表示代碼在不一樣狀況下的不一樣時間複雜度，咱們須要引入三個概念：最好狀況時間複雜度、最壞狀況時間複雜度和平均狀況時間複雜度。

1.最好狀況時間複雜度

最好狀況時間複雜度就是，在最理想的狀況下，執行這段代碼的時間複雜度。在最理想的狀況下，要查找的變量 x 正好是數組的第一個元素，這個時候對應的時間複雜度就是最好狀況時間複雜度。

2.最壞狀況時間複雜度
最壞狀況時間複雜度就是，在最糟糕的狀況下，執行這段代碼的時間複雜度。若是數組中沒有要查找的變量 x，咱們須要把整個數組都遍歷一遍才行，因此這種最糟糕狀況下對應的時間複雜度就是最壞狀況時間複雜度。

3. 平均狀況時間複雜度
咱們都知道，最好狀況時間複雜度和最壞狀況時間複雜度對應的都是極端狀況下的代碼複雜度，發生的機率其實並不大。爲了更好地表示平均狀況下的複雜度，咱們須要引入另外一個概念：平均狀況時間複雜度，後面我簡稱爲平均時間複雜度。

要查找的變量 x 在數組中的位置，有 n+1 種狀況：在數組的 0～n-1 位置中和不在數組中。咱們把每種狀況下，查找須要遍歷的元素個數累加起來，而後再除以 n+1，就能夠獲得須要遍歷的元素個數的平均值，即：

咱們知道，時間複雜度的大 O 標記法中，能夠省略掉係數、低階、常量，因此，我們把剛剛這個公式簡化以後，獲得的平均時間複雜度就是 O(n)。

這個結論雖然是正確的，可是計算過程稍微有點兒問題。到底是什麼問題呢？咱們剛講的這 n+1 種狀況，出現的機率並非同樣的。

咱們知道，要查找的變量 x，要麼在數組裏，要麼就不在數組裏。這兩種狀況對應的機率統計起來很麻煩，爲了方便你理解，咱們假設在數組中與不在數組中的機率都爲 1/2。另外，要查找的數據出如今 0～n-1 這 n 個位置的機率也是同樣的，爲 1/n。因此，根據機率乘法法則，要查找的數據出如今 0～n-1 中任意位置的機率就是 1/(2n)。

所以，前面的推導過程當中存在的最大問題就是，沒有將各類狀況發生的機率考慮進去。若是咱們把每種狀況發生的機率也考慮進去，那平均時間複雜度的計算過程就變成了這樣：

這個值就是機率論中的加權平均值，也叫做指望值，因此平均時間複雜度的全稱應該叫加權平均時間複雜度或者指望時間複雜度。

引入機率以後，前面那段代碼的加權平均值爲 (3n+1)/4。用大 O 表示法來表示，去掉係數和常量，這段代碼的加權平均時間複雜度仍然是 O(n)。

實際上，在大多數狀況下，咱們並不須要區分最好、最壞、平均狀況時間複雜度三種狀況。像咱們上一節課舉的那些例子那樣，不少時候，咱們使用一個複雜度就能夠知足需求了。只有同一塊代碼在不一樣的狀況下，時間複雜度有量級的差距，咱們纔會使用這三種複雜度表示法來區分。

4. 均攤時間複雜度
均攤時間複雜度，聽起來跟平均時間複雜度有點兒像。對於初學者來講，這兩個概念確實很是容易弄混。我前面說了，大部分狀況下，咱們並不須要區分最好、最壞、平均三種複雜度。平均複雜度只在某些特殊狀況下才會用到，而均攤時間複雜度應用的場景比它更加特殊、更加有限。

// array表示一個長度爲n的數組
 // 代碼中的array.length就等於n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;
 
 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }

    array[count] = val;
    ++count;
 }

我先來解釋一下這段代碼。這段代碼實現了一個往數組中插入數據的功能。當數組滿了以後，也就是代碼中的 count == array.length 時，咱們用 for 循環遍歷數組求和，並清空數組，將求和以後的 sum 值放到數組的第一個位置，而後再將新的數據插入。但若是數組一開始就有空閒空間，則直接將數據插入數組。

那這段代碼的時間複雜度是多少呢？你能夠先用咱們剛講到的三種時間複雜度的分析方法來分析一下。

最理想的狀況下，數組中有空閒空間，咱們只須要將數據插入到數組下標爲 count 的位置就能夠了，因此最好狀況時間複雜度爲 O(1)。最壞的狀況下，數組中沒有空閒空間了，咱們須要先作一次數組的遍歷求和，而後再將數據插入，因此最壞狀況時間複雜度爲 O(n)。

那平均時間複雜度是多少呢？答案是 O(1)。咱們仍是能夠經過前面講的機率論的方法來分析。

假設數組的長度是 n，根據數據插入的位置的不一樣，咱們能夠分爲 n 種狀況，每種狀況的時間複雜度是 O(1)。除此以外，還有一種「額外」的狀況，就是在數組沒有空閒空間時插入一個數據，這個時候的時間複雜度是 O(n)。並且，這 n+1 種狀況發生的機率同樣，都是 1/(n+1)。因此，根據加權平均的計算方法，咱們求得的平均時間複雜度就是：

至此爲止，前面的最好、最壞、平均時間複雜度的計算，理解起來應該都沒有問題。可是這個例子裏的平均複雜度分析其實並不須要這麼複雜，不須要引入機率論的知識。這是爲何呢？咱們先來對比一下這個 insert() 的例子和前面那個 find() 的例子，你就會發現這二者有很大差異。

首先，find() 函數在極端狀況下，複雜度才爲 O(1)。但 insert() 在大部分狀況下，時間複雜度都爲 O(1)。只有個別狀況下，複雜度才比較高，爲 O(n)。這是 insert()第一個區別於 find() 的地方。

咱們再來看第二個不一樣的地方。對於 insert() 函數來講，O(1) 時間複雜度的插入和 O(n) 時間複雜度的插入，出現的頻率是很是有規律的，並且有必定的先後時序關係，通常都是一個 O(n) 插入以後，緊跟着 n-1 個 O(1) 的插入操做，循環往復。

因此，針對這樣一種特殊場景的複雜度分析，咱們並不須要像以前講平均複雜度分析方法那樣，找出全部的輸入狀況及相應的發生機率，而後再計算加權平均值。

針對這種特殊的場景，咱們引入了一種更加簡單的分析方法：攤還分析法，經過攤還分析獲得的時間複雜度咱們起了一個名字，叫均攤時間複雜度。

那究竟如何使用攤還分析法來分析算法的均攤時間複雜度呢？

咱們仍是繼續看在數組中插入數據的這個例子。每一次 O(n) 的插入操做，都會跟着 n-1 次 O(1) 的插入操做，因此把耗時多的那次操做均攤到接下來的 n-1 次耗時少的操做上，均攤下來，這一組連續的操做的均攤時間複雜度就是 O(1)。這就是均攤分析的大體思路。你都理解了嗎？

均攤時間複雜度和攤還分析應用場景比較特殊，因此咱們並不會常常用到。爲了方便你理解、記憶，我這裏簡單總結一下它們的應用場景。若是你遇到了，知道是怎麼回事兒就好了。

對一個數據結構進行一組連續操做中，大部分狀況下時間複雜度都很低，只有個別狀況下時間複雜度比較高，並且這些操做之間存在先後連貫的時序關係，這個時候，咱們就能夠將這一組操做放在一起分析，看是否能將較高時間複雜度那次操做的耗時，平攤到其餘那些時間複雜度比較低的操做上。並且，在可以應用均攤時間複雜度分析的場合，通常均攤時間複雜度就等於最好狀況時間複雜度。

儘管不少數據結構和算法書籍都花了很大力氣來區分平均時間複雜度和均攤時間複雜度，但其實我我的認爲，均攤時間複雜度就是一種特殊的平均時間複雜度，咱們不必花太多精力去區分它們。你最應該掌握的是它的分析方法，攤還分析。至於分析出來的結果是叫平均仍是叫均攤，這只是個說法，並不重要。