堆排序中建堆時間複雜度

若是僅從代碼上直觀觀察，會得出構造二叉堆的時間複雜度爲O(n㏒n)的結果，這個結果是錯的，雖然該算法外層套一個n次循環，而內層套一個分治策略下的㏒n複雜度的循環，該思考方法犯了一個原則性錯誤，那就是構建二叉堆是自下而上的構建，每一層的最大縱深老是小於等於樹的深度的，所以，該問題是疊加問題，而非遞歸問題。那麼換個方式，假如咱們自上而下創建二叉堆，那麼插入每一個節點都和樹的深度有關，而且都是不斷的把樹折半來實現插入，所以是典型的遞歸，而非疊加。

在作證實以前，咱們的前提是，創建堆的順序是bottom-top的。

正確的證實方法應當以下：

1. 具備n個元素的平衡二叉樹，樹高爲㏒n，咱們設這個變量爲h。

2. 最下層非葉節點的元素，只需作一次線性運算即可以肯定大根，而這一層具備2^(h-1)個元素，咱們假定O(1)=1，那麼這一層元素所需時間爲2^(h-1) × 1。

3. 因爲是bottom-top創建堆，所以在調整上層元素的時候，並不須要同下層全部元素作比較，只須要同其中之一分支做比較，而做比較次數則是樹的高度減去當前節點的高度。所以，第x層元素的計算量爲2^(x) × (h-x)。

4. 又以上通項公式可得知，構造樹高爲h的二叉堆的精確時間複雜度爲：

S = 2^(h-1) × 1 + 2^(h-2) × 2 + …… +1 × (h-1)  ①

經過觀察第四步得出的公式可知，該求和公式爲等差數列和等比數列的乘積，所以用錯位想減發求解，給公式左右兩側同時乘以2，可知：

2S = 2^h × 1 + 2^(h-1) × 2+ …… +2 × (h-1)      ②

用②減去①可知： S =2^h × 1 - h +1        ③

將h = ㏒n 帶入③，得出以下結論：

S = n - ㏒n +1 = O(n)

因此咱們能夠得出結論：構造二叉堆的時間複雜度爲線性得證。

另外在算法導論78頁也有證實，不過用到的方法不同。