Triangulation求解3D座標-直接線性轉換（Direct Linear Transformation-DLT）算法【轉】

Triangulation求解3D座標-直接線性轉換（Direct Linear Transformation-DLT）算法

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在作多視覺的3D重建的時候，當找到多幀的匹配點和對應相機姿態時，咱們須要求得的匹配點 x 和 x' 以及對應的 P 和 P’我

們獲得 x = PX, x' = P’X。

    獲得了上述的兩個等式，咱們如何求方程組求解呢？

    這裏咱們回到2D投影轉換來講一說，對於2D平面上的兩個對應點<x, x'>，咱們能夠找到一個單應矩陣H來創建兩者的關係x'  =

 Hx。H是一個 3x3 的矩陣，因此 x 和 x‘ 是齊次座標系下的2D座標，他們的數量級不同，那麼 x'  = Hx 不必定成立，但知足

叉積關係 x' x Hx = 0。很顯然，x 和 x'

    在同一個方向上，叉積爲0）。此時，設

 

 

 

 

 

 

    因而， x' x Hx = 0知足

    

 

      因爲 ，因此咱們能夠將上式寫成 AX = 0 的形式

   若是咱們用xi'乘以第一行，yi'乘以第二行並相加，就獲得了第三行，因此只有前兩行是線性獨立的。那麼最終的A爲2X9的矩陣：

 

      齊次座標系的第三維w能夠設爲1。那麼一組匹配點能夠獲得兩個等式。

      A的解有三種：

1. 給4個匹配點能夠獲得一個 8X9 公式，且 rank(A) = 8。那麼A的null-space即爲一個解。

2. 當多於4個點的時候，咱們須要求解超定解。咱們所要的解就是A的最小奇異值對應的奇異向量。

3. 因爲h的解取決於一個係數scale，咱們能夠經過改變係數來約束h。若是咱們令h3,3爲1，那麼咱們獲得

 

     對於n個點，咱們的到一個 2nx9 的矩陣 A, h的解就是最小奇異值對應的奇異向量。

 

     那麼回到咱們的Triangulation問題上，發現兩個公式 x' = PX 和 x‘ = Hx  是很是類似的。令 x x (PX) = 0，咱們能夠獲得 AX=0 ，其中A爲

     求解的方法就和上面同樣啦。

 

     因爲我也是初學者，因此對求解 AX = 0 比較有興趣。上面說 X 的最小二乘的解爲何是SVD最小奇異值對應的奇異向量？

     對於 AX = 0 咱們感興趣的是 X 的非 0 解。若是 X 爲解那麼 kX 也是解。爲了使解惟一化。咱們加入約束 。

 對A作SVD分解， 。咱們的目標是最小化，即。因爲U 和 V 裏面都是單位向量，因此

 且 ，咱們令，那麼，咱們最終優化。這裏面D是對角矩陣，對角線上存放了奇異值且從上到下依次遞減。那麼這個解就是y = (0,0,...,1)'；因此 x = Vy。也就是奇異向量矩陣的最有一個向量。