數學分析筆記16：重積分

文章目錄

• 定義在矩體上的積分
• 積分的定義與性質
• 可積性理論
• Jordan可測集上的積分
• 通常集合上的積分
• Jordan可測集及Jordan測度
• 重積分的計算
• 重積分化爲累次積分
• 重積分的變量替換
• J可測集的變換
• 簡單圖形的逼近
• 完成證實
• 重積分的幾何應用
• 曲面的面積

定義在矩體上的積分

積分的定義與性質

爲了引入重積分，咱們能夠先從重積分的物理背景及幾何背景提及。咱們時常要求一個空間物體的質量或者一個曲頂柱體的體積。對一個曲頂柱體

對於底面是 $R^2$的一個區域 $D$，頂面是曲面 $z=f(x,y)$的曲頂柱體，如何求其體積呢？若是底面 $D$是一個矩形區域，咱們能夠把矩形經過「劃分」網格的方式劃分爲若干小曲頂柱體，分別求解其體積，高選定爲區域內某一點 $(\xi,\zeta)$的函數值 $f(\xi,\zeta)$，估計其體積爲 $f(\xi,\zeta)S(\Delta D)$，再把這些加總起來，當劃分的每個小矩形的最大直徑都趨於0時，若存在一個極限，那麼這個極限是曲頂柱體的體積。
可是，假如 $D$不是一個矩形區域，該如何求解呢？咱們固然的是將 $D$劃分爲若干小區域 $\Delta D_1,\cdots,\Delta D_n$，逐個擊破，每一個小曲頂柱體的體積就應當是 $f(\xi_k,\zeta_k)S(\Delta D_k)(k=1,\cdots,n)$，但是問題在於， $S(\Delta D_k)$該如何求解呢？爲了解決這個問題，咱們要引入Jordan測度。咱們知道，對於平面的矩形 $D=\{ (x,y) :a_1\le x \le b_1,a_2\le y\le b_2 \}$其面積應當是 $S(D)=(b_1-a_1)(b_2-a_2)$。空間矩體 $D=\{(x,y):a_i\le x \le b_i ,1\le i\le 3\}$其體積應當是 $V(D)=(b_1-a_1)(b_2-a_2)(b_3-a_3)$。咱們定義 $R^n$上的矩體爲 $\displaystyle\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]$，其體積應當爲 $\displaystyle V=\prod_{i=1}^n(b_i-a_i)$，若考慮兩個向量 $a=(a_1,\cdots,a_n)$和 $b=(b_1,\cdots,b_n)$，後者的每個份量都大於前者對應的份量，此時稱 $a\le b$，則矩體 $\displaystyle\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]$也能夠記爲 $[a,b]$，這就如同定積分的區間同樣。全部矩體的體積都是已經規定好的。容易證實，這樣規定的體積有有限可加性（具體證實的過程省略）：矩體 $\displaystyle I=\bigcup_{k=1}^n I_k$，其中 $I_i^\circ \cap I_j^\circ = \emptyset(i\neq j)$，則 $\displaystyle|I|=\sum_{k=1}^n|I_k|$。
咱們以此爲起點，先定義函數在矩體上的積分，對於任意的點集 $E$，咱們找一個矩體 $I$，知足 $E\subset I$，定義 $I$上的函數 $I_E(x)= \begin{cases} 1&x\in E\\ 0&x\notin E \end{cases}$則按照幾何意義， $\displaystyle \int_I I_E(x)dx$就應當是 $E$的體積。那麼這就涉及一個可積與否的問題，假如這個函數可積，咱們就稱 $E$是Jordan可測的，這個積分是 $E$的體積，不然 $E$是Jordan不可測的。爲了方便討論，咱們定義兩點 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n),y=(y_1,\cdots,y_n)$之間的距離是 $d(x,y)=\max_{1\le i\le n}|x_i-y_i|$這樣作的好處是，某點 $x$的鄰域 $B(x,r)$是一個以 $x$爲中心，邊長爲 $2r$的矩體。接下來，咱們該如何定義這種積分呢？天然地，咱們想將 $R^n$上的矩體區域 $I$，分紅若干個兩兩無公共內點的小矩體區域 $\Delta:I_1,\cdots,I_n$，同時 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^n I_k = I$。 $f(x)$是定義 $I$上的 $n$元函數，選擇 $\xi_k\in I_k(k=1,\cdots,n)$，做黎曼和 $S(\Delta,f,\xi)=\sum_{k=1}^n f(\xi_k)|I_k|$這個公式裏 $|I_k|$表示 $I_k$的體積，從此也是一樣的記號。當最大直徑 $\displaystyle\lambda(\Delta)= \max_{1\le k \le n}d(I_k)\to 0$時，不論 $\xi$如何選擇，都趨於同一實數 $I$，就稱爲 $f(x)$在 $I$上的積分。這和定積分的定義形式是相似的，只不過是從劃分區間改爲了劃分矩體罷了。下面給出矩體上的積分的正式定義：

定義16.1（矩體上的積分） $I$是 $R^n$上的矩體區域， $f(x)$是定義在 $I$上的函數，若是存在實數 $V$，對任意的 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得對 $I$的任意分劃 $\Delta:I_1,\cdots,I_n$，其中 $I_1,\cdots,I_n$兩兩無公共內點，且 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^n I_k = I$，只要 $\displaystyle\lambda(\Delta)=\max_{1\le k \le n}d(I_k)<\delta$，不論選擇何種 $\xi_k\in I_k(k=1,\cdots,n)$，其黎曼和 $\displaystyle S(\Delta,f,\xi)=\sum_{k=1}^n f(\xi_k)|I_k|$都知足 $|S(\Delta,f,\xi)-V|<\varepsilon$則稱 $f(x)$在 $I$上可積， $V$爲 $f(x)$在 $I$上的積分，記爲 $\displaystyle I=\int_I f(x)dx$

下面咱們來證實矩體上的積分的一些性質：

定理16.1（有界性） $f(x)$在 $I$上可積，則 $f(x)$是 $I$上的有界函數

證：反證法，若 $f(x)$在 $I$上可積但無界，則設 $V=\int_I f(x)dx$，則對任何的分劃 $\Delta：I_1,\cdots,I_n$， $\displaystyle I=\bigcup_{k=1}^n I_k$，且 $I_1,\cdots,I_k$兩兩無公共內點，存在某個小矩體， $f(x)$在其上無界，不妨設 $f(x)$就在 $I_1$上無界，取定 $\xi_k\in I_k(k=2,\cdots,n)$，存在 $\xi_1 \in I_1$，使得 $|f(\xi_1)|>\frac{|V|}{|I|}+\frac{1}{|I_1|}(1+\left|\sum_{k=2}^n(f(\xi_2)-\frac{V}{|I|})|I_k|\right|)$則 $|f(\xi_1)-\frac{V}{|I|}||I_1|\ge |I_1|(|f(\xi_1)|-\frac{|V|}{|I|})>1+\left|\sum_{k=2}^n(f(\xi_2)-\frac{V}{|I|})|I_k|\right|$ $\left|\sum_{k=1}^nf(\xi_k)|I_k|-V\right| \ge |f(\xi_1)-\frac{V}{|I|}||I_1| - \left|\sum_{k=2}^n(f(\xi_2)-\frac{V}{|I|})|I_k|\right|>1$也就是說，不管何種分劃，都存在一種取法，使得 $|S-V|>1$，與 $V=\int_I f(x)dx$矛盾，矛盾產生的緣由是假設了 $f(x)$在 $I$上無界，所以， $f(x)$在 $I$上有界

定理16.2（線性性質） $f(x)$和 $g(x)$都是 $R^n$上的矩體 $I$上的可積函數，則對任意的實數 $\alpha,\beta$， $\alpha f(x)+\beta g(x)$在 $I$上可積，而且 $\int_{I}{[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx}=\alpha \int_{I}f(x)dx+\beta \int_I g(x)dx$

證：設 $\displaystyle\int_If(x)dx=A$， $\displaystyle\int_Ig(x)dx=B$，對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0,\delta_2>0$，對 $I$的任意分劃 $\Delta$，只要 $\lambda(\Delta)<\delta_1$時，對任意的標誌點 $\xi$，黎曼和知足 $\left|S(f,\Delta,\xi)-A\right|<\frac{\varepsilon}{2}$只要 $\lambda(\Delta)<\delta_1$，對任意的標誌點 $\xi$，黎曼和知足 $\left|S(g,\Delta,\xi)-B\right|<\frac{\varepsilon}{2}$當 $\lambda(\Delta)<\min(\delta_1,\delta_2)$時，對任意的標誌點 $\xi$，則有 $\begin{aligned} &\left|S(f+g,\Delta,\xi)-(A+B)\right|\\ =&\left|S(f,\Delta,\xi)+S(g,\Delta,\xi)-(A+B)\right|\\ \le&|S(f,\Delta,\xi)-A|+|S(g,\Delta,\xi)-B|<\varepsilon \end{aligned}$另外一方面，對任意的實數 $\alpha\neq0$，對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，對任意的 $I$的分劃 $\Delta$，只要 $\lambda(\Delta)<\delta$，對任意的標誌點 $\xi$，都有 $\left|S(f,\Delta,\xi)-A\right|<\frac{\varepsilon}{|\alpha|}$則 $\left|S(\alpha f,\Delta,\xi)-\alpha A\right|=|\alpha|\left|S(f,\Delta,\xi)-A\right|<\varepsilon$綜上，可積函數空間是一個線性空間，積分是其上的線性變換，這就證實了這個定理

定理16.3（不等式性質） $f(x)$和 $g(x)$都是 $R^n$上的矩體 $I$上的可積函數，而且 $f(x)\le g(x),\forall x\in I$，有 $\displaystyle \int_I f(x)dx \le \int_I g(x)dx$

證：
對任意的黎曼和 $S(f,\Delta,\xi)$，都有 $S(f,\Delta,\xi)\le S(g,\Delta,\xi)$，兩邊令 $\lambda(\Delta)\to 0$，便可證得結論

定理16.4（絕對值性質） $f(x)$是 $R^n$上的矩體 $I$上的可積函數，則 $|f(x)|$是 $R^n$上的矩體 $I$上的可積函數，同時 $\left|\int_If(x)dx\right|\le \int_I|f(x)|dx$

證：可積性在下一節證實，下面證實以上的不等式，對任意的黎曼和 $\displaystyle S(f,\Delta,\xi)=\sum_{k=1}^n{f(\xi_k)|I_k|}$，有 $\left|\sum_{k=1}^n{f(\xi_k)|I_k|}\right|\le\sum_{k=1}^n|f(\xi_k)||I_k|$兩邊令 $\lambda(\Delta)\to0$便可證得結論

定理16.5（區間可加性） $f(x)$是 $R^n$上的矩體 $I$上的可積函數，矩體 $I_0\subset I$，則 $f(x)$是 $I_0$上的可積函數，而且，若 $\Delta:I_1,\cdots,I_n$是 $I$的一個分劃，則 $\int_{I}f(x)dx = \sum_{k=1}^n{\int_{I_k}f(x)dx}$

證：可積性後面證實，這裏僅證上面的不等式，令 $\displaystyle \int_{I_k}f(x)dx=A_k$，對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得對 $k=1,\cdots,n$，對任意的 $I_k$的分劃 $\Delta_k$，只要 $\lambda(\Delta_k)<\delta$，對任意的標誌點 $\xi^{(k)}$，都有 $\displaystyle\left|S(f,\Delta_k,\xi_k)-A_k\right|<\frac{\varepsilon}{n}$，將這些分劃合併爲 $I$的分劃 $\Delta$，此時 $\displaystyle|S(f,\Delta,\xi)-\sum_{k=1}^nA_k|\le \sum_{k=1}^n|S(f,\Delta_k,\xi_k)-A_k|<\varepsilon$，這就證實了 $\displaystyle\int_If(x)dx=\sum_{k=1}^n A_k$

可積性理論

爲了解決Jordan可測集和不可測集的定義問題，咱們要研究矩體上的函數什麼時候可積。一樣地，咱們的策略是平行於定積分可積性的理論將重積分可積性理論搭建起來。咱們模仿定積分的可積性理論，給出三個引理，首先對於矩體 $I$上的有界函數 $f(x)$，給定一個分劃 $\Delta：I_1,\cdots,I_n$， $\displaystyle I=\bigcup_{k=1}^n I_k$，且 $I_1,\cdots,I_k$兩兩無公共內點，定義對應的達布上和以及達佈下和爲 $\displaystyle \overline{S}(f,\Delta)=\sum_{k=1}^nM_k|I_k|,\underline{S}(f,\Delta)=\sum_{k=1}^nm_k|I_k|$，其中， $m_k,M_k$爲 $f(x)$在 $I_k$上的下确界和上確界 $(k=1,\cdots,n)$

引理16.1 $\overline{S}(f,\Delta),\underline{S}(f,\Delta)$爲 $f(x)$在 $\Delta$上一切黎曼和的上確界和下确界

對於矩體 $I$，給定兩個分劃 $\Delta,\Delta^\prime$，若是對任意的 $I_k\in \Delta^\prime$，存在 $I^\prime_j\in \Delta$，知足 $I_k\subset I^\prime_j$，則稱 $\Delta^\prime$是 $\Delta$的加細，記爲 $\Delta^\prime \le \Delta$

引理16.2 對於矩體 $I$，給定兩個分劃 $\Delta,\Delta^\prime$， $f$是 $I$上的一個有界函數，而且 $\Delta^\prime \le \Delta$，則 $\underline{S}(f,\Delta) \le \underline{S}(f,\Delta^\prime) \le \overline{S}(f,\Delta^\prime)\le\overline{S}(f,\Delta)$

引理16.3 對於矩體 $I$，給定兩個分劃 $\Delta,\Delta^\prime$， $f$是 $I$上的一個有界函數，都有 $\underline{S}(f,\Delta) \le \overline{S}(f,\Delta^\prime)$

這三個引理的證實和定積分徹底相似，這裏省略具體的證實過程，利用上面三個引理，咱們能夠得出兩個結論，給定矩體 $I$及其上的有界函數 $f(x)$，全部黎曼上和有下确界，咱們記爲 $\displaystyle\overline{\int}_If(x)dx$，稱爲 $f(x)$在 $I$上的上積分，全部的黎曼下和有上確界，記爲 $\displaystyle\underline{\int}_If(x)dx$，稱爲 $f(x)$在 $I$上的下積分。接下來，咱們給出可積的第一個充要條件：

定理16.6（可積的充要條件1） 給定矩體 $I$及其上的有界函數 $f(x)$，可積的充要條件是 $\lim_{\lambda(\Delta)\to0}[\overline{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)]=0$

證：充分性，若是 $\displaystyle\lim_{\lambda(\Delta)\to0}[\overline{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)]=0$，因爲 $\overline{S}(f,\Delta)\ge \overline{\int}_If(x)dx\ge\underline{\int}_If(x)dx\ge \underline{S}(f,\Delta)$對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，當 $\lambda(\Delta)<\delta$時， $[\overline{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)]<\varepsilon$，則 $\displaystyle\overline{\int}_If(x)dx-\underline{\int}_If(x)dx \le [\overline{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)]<\varepsilon$，由 $\varepsilon$的任意性，就有 $\displaystyle\overline{\int}_If(x)dx=\underline{\int}_If(x)dx$，令 $\displaystyle\overline{\int}_If(x)dx=\underline{\int}_If(x)dx=A$，則 $\overline{S}(f,\Delta)\ge A\ge \underline{S}(f,\Delta)$任意的黎曼和也知足 $\overline{S}(f,\Delta)\ge S(f,\Delta,\xi)\ge \underline{S}(f,\Delta)$則當 $\lambda(\Delta)<\delta$時 $|S(f,\Delta,\xi)-A|\le \overline{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta) <\varepsilon$按積分的定義，就有 $\displaystyle \int_If(x)dx = A$
必要性，若是 $f(x)$在 $I$上可積，設 $\displaystyle \int_If(x)dx = A$，對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，對任意的 $I$的分劃 $\Delta$，對任意的標誌點 $\xi$，都有 $A-\varepsilon<S(f,\Delta,\xi)< A+\varepsilon$由引理16.1，就有 $A-\varepsilon\le \underline{S}(f,\Delta) \le \overline{S}(f,\Delta)\le A+\varepsilon$此時 $\overline{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)<2\varepsilon$即 $\displaystyle \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}[\overline{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)]=0$

也就是振幅和極限爲0是可積的充要條件，在重積分的情形下一樣能夠證實達布定理

定理16.7（達布定理） 給定矩體 $I$及其上的有界函數 $f(x)$，則有 $\lim_{\lambda(\Delta)\to0}{\overline{S}(f,\Delta)} = \overline{\int}_If(x)dx\\ \lim_{\lambda(\Delta)\to0}{\underline{S}(f,\Delta)} = \underline{\int}_If(x)dx$

證：僅證實 $\displaystyle\lim_{\lambda(\Delta)\to0}{\overline{S}(f,\Delta)} = \overline{\int}_If(x)dx$， $\displaystyle \lim_{\lambda(\Delta)\to0}{\underline{S}(f,\Delta)} = \underline{\int}_If(x)dx$的證實是相似的。
首先，咱們要說明的是，對於 $R^n$的一個矩體 $\displaystyle I=\prod_{k=1}^n[a_k,b_k]$，做小開矩體 $\displaystyle I^\prime=\prod_{k=1}^n{(a_k+\delta,b_k-\delta)}$，二者的體積差爲 $V(I^\prime)-V(I)$在 $\delta\to 0$時趨於0，實際上 $\begin{aligned} V(I^\prime)-V(I)=&\prod_{k=1}^n(b_k-a_k)-\prod_{k=1}^n(b_k-a_k-2\delta)\\=&c_1\delta+c_2\delta^2+\cdots+c_n\delta^n \end{aligned}$是關於 $\delta$的多項式且常數項爲0，對於某個特定的分劃 $\Delta:I_1,\cdots,I_m$，對任意的 $\varepsilon>0$，設 $I_k=\prod_{i=1}^n{[a_i^{(k)},b_i^{(k)}]}$，做開矩體 $I_k^\prime(\delta)=\prod_{i=1}^n(a_i^{(k)}+\delta,b_i^{(k)}-\delta)$，存在 $\delta_0>0$，當 $\delta<\delta_0$時， $\displaystyle \sum_{k=1}^m V(I_k)-\sum_{k=1}^m V(I_k^\prime(\delta))<\varepsilon$。對於另外一個分劃 $\Delta^\prime$，只要 $\lambda(\Delta^\prime)<\delta_0$，則其和 $\Delta$某個小矩體邊界相交的小矩體之並所有包含在 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^nI_k/\bigcup_{k=1}^nI_k^\prime(\delta_0)$內，從而這些小矩體的體積之和小於 $\varepsilon$。下面咱們來證實達布定理。
由上積分的定義，對任意的 $\varepsilon>0$，存在分劃 $\Delta_0$，使得 $\overline{\int}_If(x)dx-\frac{\varepsilon}{2}<\overline{S}(f,\Delta_0)\le \overline{\int}_If(x)dx$設 $|f(x)|\le M>0,\forall x\in I$，對 $\Delta_0$，存在 $\delta_0>0$，對任意分劃 $\Delta$，只要 $\lambda(\Delta)<\delta_0$，則 $\Delta$與 $\Delta_0$小矩形邊界相交的小矩體的體積和小於 $\frac{\varepsilon}{4M}$，此時，令 $\Delta_0^\prime$是 $\Delta$和 $\Delta_0$的合併，則 $\overline{S}(f,\Delta)$和 $\overline{S}(f,\Delta_0^\prime)$有差別的項是那些與 $\Delta_0$小矩形邊界相交的小矩體，而哪些含在 $\Delta_0$某個小矩形內部的小矩體對應的項是沒有差別的，此時 $|\overline{S}(f,\Delta)-\overline{S}(f,\Delta_0^\prime)|<2M\frac{\varepsilon}{4M}=\frac{\varepsilon}{2}$則 $\begin{aligned} &|\overline{S}(f,\Delta)-\overline{\int}_{I}f(x)dx|\\\le& |\overline{S}(f,\Delta)-\overline{S}(f,\Delta_0^\prime)|+|\overline{S}(f,\Delta_0^\prime)-\overline{\int}_{I}f(x)dx|\\<&\varepsilon \end{aligned}$這就證實了 $\displaystyle\lim_{\lambda(\Delta)\to0}\overline{S}(f,\Delta)=\overline{\int}_If(x)dx$

這樣，就能夠獲得可積的第二個充要條件

定理16.8（可積的充要條件2） 給定矩體 $I$及其上的有界函數 $f(x)$，可積的充要條件是 $\overline{\int}_If(x)dx=\underline{\int}_If(x)dx$

定理16.9（可積的充要條件3） 給定矩體 $I$及其上的有界函數 $f(x)$，可積的充要條件是對任意的 $\varepsilon>0$，存在分劃 $\Delta$，知足 $\displaystyle \overline{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)<\varepsilon$

證：
充分性，若對任意的 $\varepsilon>0$，存在分劃 $\Delta$，知足 $\displaystyle \overline{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)<\varepsilon$，因爲 $\underline{S}(f,\Delta)\le \underline{\int}f(x)dx\le\overline{\int}f(x)dx\le\overline{S}(f,\Delta)$則 $\overline{\int}f(x)dx-\underline{\int}f(x)dx\le \overline{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)<\varepsilon$由 $\varepsilon$的任意性，上下積分相等，所以 $f(x)$在 $I$上可積
必要性，若 $f(x)$在 $I$上可積，則上下積分相等，由上下積分的定義，對任意的 $\varepsilon>0$，存在分劃 $\Delta_1$，知足 $\left|\overline{S}(f,\Delta_1)-\int_If(x)dx\right|<\frac{\varepsilon}{2}$存在分劃 $\Delta_2$，知足 $\left|\underline{S}(f,\Delta_1)-\int_If(x)dx\right|<\frac{\varepsilon}{2}$做 $\Delta_1,\Delta_2$的合併分劃 $\Delta_0$， $\Delta_0$即知足條件。

定理16.11（可積的充要條件4） 有界函數 $f(x)$在矩體 $I$上可積的充要條件是 $\forall \varepsilon>0$， $\forall \delta>0$，存在分劃 $\Delta$， $\Delta$中振幅大於 $\delta$的小矩體體積和小於 $\varepsilon$

證：
充分性，若是 $\forall \varepsilon>0$， $\forall \delta>0$，存在分劃 $\Delta$， $\Delta$中振幅大於 $\delta$的小矩體體積和小於 $\varepsilon$。則設 $|f(x)|\le M(\forall x\in I)$， $\forall \varepsilon>0$，令 $\delta_0=\frac{\varepsilon}{2|I|}$，令 $\varepsilon_0=\frac{\varepsilon}{4M}$，則存在分劃 $\Delta_\varepsilon$，知足 $\Delta_\epsilon$中振幅大於 $\delta_0$的小矩體的體積和小於 $\varepsilon_0$。將 $\Delta_\varepsilon$中的小矩體分爲兩類，一類是振幅大於 $\delta_0$的小矩體，全體記爲 $\Delta_1$，另外一類是振幅不超過 $\delta_0$的小矩體，全體記爲 $\Delta_2$，則 $\begin{aligned} &\overline{S}(f,\Delta_\varepsilon)-\underline{S}(f,\Delta_\varepsilon)=\sum_{I_k\in \Delta_1}\omega(I_k)|I_k|+\sum_{I_k\in\Delta_2}\omega(I_k)|I_k|\\ \le&2M\sum_{I_k\in \Delta_1}|I_k|+\delta_0\sum_{I_k\in\Delta_2}|I_k|<2M\varepsilon_0+\delta_0|I|=\varepsilon \end{aligned}$所以 $f(x)$在 $I$上可積。
必要性，若是 $f(x)$在 $I$上可積，若是 $\exists \varepsilon_0>0$， $\exists \delta_0>0$，對任意分劃 $\Delta$，其振幅大於 $\delta_0$的小矩體的體積和大於 $\varepsilon_0$，則對任意的分劃 $\Delta$，將 $\Delta_\varepsilon$中的小矩體分爲兩類，一類是振幅大於 $\delta_0$的小矩體，全體記爲 $\Delta_1$，另外一類是振幅不超過 $\delta_0$的小矩體，全體記爲 $\Delta_2$，因而 $\begin{aligned} &\overline{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)=\sum_{I_k\in \Delta_1}\omega(I_k)|I_k|+\sum_{I_k\in\Delta_2}\omega(I_k)|I_k|\\\ge&\sum_{I_k\in \Delta_1}\omega(I_k)|I_k|>\delta_0\sum_{I_k\in\Delta_1}|I_k|\ge \delta_0\varepsilon_0>0 \end{aligned}$與 $f(x)$可積矛盾，所以， $\forall \varepsilon>0$， $\forall \delta>0$，存在分劃 $\Delta$， $\Delta$中振幅大於 $\delta$的小矩體體積和小於 $\varepsilon$

例16.1 $f(x)$在 $I$上可積，則 $|f(x)|$在 $I$上可積

證：對任意的點集 $D$，對任意的 $x_1,x_2\in D$，則 $|f(x_1)-f(x_2)|\ge ||f(x_1)|-|f(x_2)||$則 $\begin{aligned} \omega(f,D)=&\sup_{x_1,x_2\in D}|f(x_1)-f(x_2)|\\\ge&\omega(|f|,D)=\sup_{x_1,x_2\in D}||f(x_1)|-|f(x_2)|| \end{aligned}$所以，對任意的 $I$的分劃 $\Delta:I_1,\cdots,I_n$，則 $\sum_{k=1}^n\omega(f,I_k)|I_k|\ge\sum_{k=1}^n\omega(|f|,I_k)|I_k|$因爲 $f(x)$在 $I$上可積，對任意的 $\varepsilon>0$，存在分劃 $\Delta$，有 $\sum_{k=1}^n\omega(f,I_k)|I_k|<\varepsilon$所以 $\sum_{k=1}^n\omega(|f|,I_k)|I_k|<\varepsilon$所以 $|f(x)|$可積

例16.2 $f(x)$在 $I$上可積，矩體 $I^\prime\subset I$，則 $f(x)$在 $I^\prime$上可積

證：因爲 $f(x)$在 $I$上可積，對任意的 $\varepsilon>0$，存在分劃 $\Delta:I_1,\cdots,I_n$，使得 $\overline{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)<\varepsilon$取分劃 $\Delta^\prime$，是 $\Delta$的加細，而且包含 $I^\prime\cap I_1,I^\prime\cap I_2,\cdots,I^\prime\cap I_n$，這也是 $I^\prime$的一個分劃，記爲 $\Delta_0$，因爲 $\Delta^\prime$是 $\Delta$的加細，則 $\overline{S}(f,\Delta^\prime)-\underline{S}(f,\Delta^\prime)\le\overline{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)<\varepsilon$，而 $\overline{S}(f,\Delta_0)-\underline{S}(f,\Delta_0)$只是 $\overline{S}(f,\Delta^\prime)-\underline{S}(f,\Delta^\prime)$的部分項，所以 $\overline{S}(f,\Delta_0)-\underline{S}(f,\Delta_0)<\varepsilon$，所以 $f(x)$在 $I^\prime$上可積。

例16.3 $f(x)$在 $I$上可積， $I\subset I_0$， $I_0$也是矩體，則令 $\overline{f}(x)=\begin{cases} f(x)&x\in I\\ 0&x\notin I \end{cases}$則 $\overline{f}$在 $I_0$上可積，而且 $\int_If(x)dx=\int_{I_0}f(x)dx$

證：因爲 $f(x)$在 $I$上可積，對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $I$的分劃 $\Delta$， $\overline{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)<\frac{\varepsilon}{2}$，設 $|f(x)|\le M(\forall x\in I)$，將 $I$的分劃 $\Delta$擴充爲 $I_0$的分劃 $\Delta_0$，使得 $\Delta_0$中與 $I$的邊界相交的小矩體的體積和小於 $\frac{\varepsilon}{4M}$，將 $\Delta_0$的小矩體分爲三類，第一類爲原來 $\Delta$的小矩體，即 $\Delta$，第二類爲不在 $\Delta$內，但與 $I$的邊界交非空的小矩體，全體記爲 $\Delta_1$，其他的小矩體記爲 $\Delta_2$，所以 $\begin{aligned} &\overline{S}(f,\Delta_0)-\underline{S}(f,\Delta_0)\\=&\sum_{I_k\in \Delta}\omega(I_k)|I_k|+\sum_{I_k\in\Delta_1}\omega(I_k)|I_k|\\<&\frac{\varepsilon}{2}+2M\sum_{I_k\in\Delta_1}|I_k|<\varepsilon \end{aligned}$