數學分析筆記7：定積分

定積分的定義與性質

定積分的定義

定積分的概念來源於求和運算的連續化，咱們目前已知的求和手段都是有限求和，爲了將求和運算擴充到無限個數求和，必須引入極限手段。擴充手段有兩種——可列情形對應的是級數理論，不可列情形對應的則是積分。但咱們都要首先清楚，本節所討論的本質，就是無窮情形下的「求和」運算。
定義7.1 $f(x)$是定義在閉區間 $[a,b]$的函數， $x_0,x_1,\cdots,x_n$知足： $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，集合 $\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$稱爲 $[a,b]$的一個分劃，記爲 $\Delta$
對每一個小區間： $[x_{i-1},x_i](i=1,\cdots,n)$，取 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i](i=1,\cdots,n)$，和式： $\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})}$稱爲 $f(x)$在分劃 $\Delta$下的一個Riemann和，記爲 $S(\Delta,f)$

Riemann和有鮮明的幾何意義，見下圖，爲了求得曲線 $y=f(x)$在 $[a,b]$區間上的曲線段下的面積，咱們一般用有限矩體進行逼近。Riemann和的每一項對應一個矩形的面積，能夠預見：當區間越分越細的時候，矩形面積和就逼近圖形的真實面積，就是定積分的基本思想。
定義7.2 $f(x)$是定義在閉區間 $[a,b]$的函數， $\Delta = \{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$是 $[a,b]$的任意分劃，令 $\lambda(\Delta)=\max_{ 1\le i\le n}(x_{i}-x_{i-1})$，若是存在實數 $I$，對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，當 $\lambda(\Delta)<\delta$時，不管小區間內點如何選取，都有 $|S(\Delta,f)-A|<\varepsilon$則稱 $f(x)$在閉區間 $[a,b]$上Riemann可積，簡稱可積， $I$稱爲 $f(x)$在閉區間 $[a,b]$上的積分，記爲 $\int_a^b{f(x)dx}=I$
定積分的幾何意義就是區間 $y=f(x)$與 $x$軸，連同 $x=a$， $x=b$圍成圖形的面積。

定積分的可積性理論——達布理論

下一個問題是：知足什麼條件下， $f(x)$在閉區間 $[a,b]$是可積的？咱們先從連續函數入手。
定理7.1 閉區間 $[a,b]$上的連續函數都是Riemann可積的

證：
爲了證實閉區間 $[a,b]$上的連續函數 $f(x)$都是Riemann可積的，咱們首先要找到一個實數 $I$，也就是 $f(x)$的積分值，其次，再證實 $f(x)$的積分就是 $I$。
第一步：找一個實數 $I$。
先取一個分劃列 $\Delta_n=\{x^{(n)}_0,x^{(n)}_1,\cdots,x^{(n)}_{2^n}\}$，其中 $x^{(n)}_k=a+\frac{k}{2^n}(b-a)$，令區間 $I^{(n)}_k = [x^{(n)}_{k-1},x^{(n)}_k]$， $k=1,\cdots,2^n$， $n=1,2,\cdots$。那麼 $\Delta_n$是 $\Delta_{n-1}$的加細（即 $\Delta_n\subset\Delta_{n-1}$)，再令 $M_k^{(n)} = \max_{x\in I_k^{(n)}}(f(x))$, $m_k^{(n)} = \min_{x\in I_k^{(n)}}(f(x))$，做和式 $\overline{S}(\Delta_{n}) = \sum_{k=0}^{2^n}{M_k^{(n)}\frac{b-a}{2^n}}$ $\underline{S}(\Delta_{n}) = \sum_{k=0}^{2^n}{m_k^{(n)}\frac{b-a}{2^n}}$則 $\overline{S}(\Delta_{n})$是單調降低的， $\underline{S}(\Delta_{n})$是單調上升。令 $\overline{I} = \lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta_{n})}$， $\underline{I} = \lim_{n\to\infty}{\underline{S}(\Delta_{n})}$ $\overline{S}(\Delta_{n})-\underline{S}(\Delta_{n}) =\frac{b-a}{2^n}\sum_{k=0}{(M_k^{(n)}-m_k^{(n)})}$由 $f(x)$在 $[a,b]$上連續， $f(x)$在 $[a,b]$上一致連續，對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，對任意的 $[a,b]$內兩點 $x_1,x_2$
，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{b-a}$再由連續性 $f(x)$在 $[a,b]$上可取得最大值和最小值。這樣，只要 $\frac{b-a}{2^n}<\delta$就有 $(M_k^{(n)}-m_k^{(n)})<\frac{\varepsilon}{b-a}$ $\overline{S}(\Delta_{n})-\underline{S}(\Delta_{n})<\varepsilon$記 $I=\overline{I}=\underline{I}$
第二步，證實： $\int_a^b{f(x)dx}=I$
對任意的分劃 $\Delta$，令 $\Delta^\prime_n = \Delta_n \cup \Delta$，再令 $\Delta^\prime_n = \{y_0^{(n)},y_1^{(n)},\cdots,y_{k_n}^{(n)}\}$，其中 $a=y_0^{(n)}<y_1^{(n)}<\cdots<y_{k_n}^{(n)}=b$，任取一個Riemann和 $S(\Delta,f)$，設 $\xi_k^{(n)}$是區間 $[y_{k-1}^{(n)},y_k^{(n)}]$在 $\Delta$中對應的分劃中， $f(x)$的取點。 $M_k^{'\prime(n)},m_k^{\prime(n)}$是 $f(x)$在區間 $[y_{k-1}^{(n)},y_k^{(n)}]$的最大值和最小值。
同時令 $\overline{S}(\Delta^\prime_n) = \sum_{i=0}^{k_n} {M_k^{\prime(n)}(y_k^{(n)}-y_{k-1}^{(n)})}$ $\underline{S}(\Delta^\prime_n) = \sum_{i=0}^{k_n} {m_k^{\prime(n)}(y_k^{(n)}-y_{k-1}^{(n)})}$因爲 $\Delta^\prime_n$是 $\Delta_n$的加細，就有 $\underline{S}(\Delta_n)\le\underline{S}(\Delta^\prime_n) \le\overline{S}(\Delta^\prime_n)\le\overline{S}(\Delta_n)$由夾逼準則，就有 $\lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta^\prime_n)} =\lim_{n\to\infty}{\underline{S}(\Delta^\prime_n)} =I$對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $N$， $n\ge N$時，有 $|\lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta^\prime_n)}-I|< \frac{\varepsilon}{2}$取定一個 $n$，又由一致連續性，存在 $\delta>0$，當 $|x_1-x_2|<\delta$時， $|f(x_1)-f(x_2)<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$，這樣，當 $\lambda(\Delta)<\delta$時， $|\xi_k^{(n)}-M_k^{\prime(n)}|< \frac{\varepsilon}{2(b-a)}$，因而 $|S(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_n)|<\frac{\varepsilon}{2}$ $|S(\Delta,f)-I|\le |S(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_n)| +|\xi_k^{(n)}-M_k^{\prime(n)}| < \varepsilon$

從正面過程能夠知道，一致連續性對可積性來講是十分重要的一個性質。
對通常的函數，在每一個小區間上不必定能取到最大值和最小值。然而，咱們依然能夠仿照以上證實過程，給出一個上和和下和的概念。
定義7.3 $f(x)$是閉區間 $[a,b]$的一個有界函數， $\Delta=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$是 $[a,b]$的一個分劃， $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$， $M_i = \sup_{x_{i-1}<x<x_i}{f(x)},m_i=\inf_{x_{i-1}<x<x_i}{f(x)}$，稱和式 $\overline{S}(\Delta,f) = \sum_{i=0}^n{M_i(x_i-x_{i-1})}$是 $f$在 $[a,b]$上的達布上和， $\underline{S}(\Delta,f) = \sum_{i=0}^n{m_i(x_i-x_{i-1})}$是 $f$在 $[a,b]$上的達佈下和

容易證實以下三條引理
引理7.1 $f(x)$是閉區間 $[a,b]$的一個有界函數， $\Delta=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$是 $[a,b]$的一個分劃， $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$， $\overline{S}(\Delta,f)$是一切 $f$在 $\Delta$上的Riemann和的上確界， $\underline{S}(\Delta,f)$是一切 $f$在 $\Delta$上的Riemann和的下确界

引理7.2 $f(x)$是閉區間 $[a,b]$的一個有界函數， $\Delta_1,\Delta_2$是 $[a,b]$的兩個分劃，而且， $\Delta_1\subset\Delta_2$，則 $\underline{S}(\Delta_1)\le\underline{S}(\Delta_2) \le\overline{S}(\Delta_2)\le\overline{S}(\Delta_1)$

引理7.3 $f(x)$是閉區間 $[a,b]$的一個有界函數，則 $f(x)$的任意達佈下和不超過任意達布上和，即便他們對應不一樣的分劃

這樣，一切達布上和有下界，一切達布上和有上界，那麼達布上和有下确界，咱們記爲 $\overline{I}$，達佈下和有上確界，咱們記爲 $\underline{I}$，而且 $\underline{I}\le \overline{I}$。相似於連續函數可積性的證實過程，咱們猜測： $\underline{I}= \overline{I}=I$時， $I$就是 $f(x)$在 $[a,b]$上的積分。
定理7.2 有界函數 $f(x)$在 $[a,b]$上可積的充要條件是： $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0$

證：
必要性，若是 $f(x)$在 $[a,b]$上可積，設 $I=\int_a^b{f(x)dx}$。
對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$,對任意的分劃 $\Delta$，當 $\lambda(\Delta)<\delta$時，任意 $S(\Delta,f)$都有： $I-\varepsilon < S(\Delta,f) < I+\varepsilon$由引理7.2 $\overline{S}(\Delta,f)\le I+\varepsilon$ $\underline{S}(\Delta,f)\ge I-\varepsilon$就有 $I-\varepsilon \le \underline{S}(\Delta,f) \le \underline{I} \le \overline{I} \le \overline{S}(\Delta,f) \le I+\varepsilon$這樣， $\overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) \le 2\varepsilon$這就說明了， $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0$同時，由 $\varepsilon$的任意性，還能夠得出 $\overline{I}=\underline{I}$的結論
充分性，若是 $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0$由不等式： $\underline{S}(\Delta,f) \le \underline{I} \le \overline{I} \le \overline{S}(\Delta,f) \le$能夠得出結論： $\overline{I}=\underline{I}$
設 $\overline{I}=\underline{I}=I$，對任意的分劃 $\Delta$，就有 $\underline{S}(\Delta,f)\le I \le\overline{S}(\Delta,f)$對任意的Riemann和，都有 $\underline{S}(\Delta,f)\le S(\Delta,f) \le \overline{S}(\Delta,f)$這樣， $0<|S(\Delta,f)-I|\le \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f)$對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$， $\lambda(\Delta)<\delta$時，都有 $\overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f)<\varepsilon$這樣，任意的 $S(\Delta,f)$都有 $|S(\Delta,f)-I|<\varepsilon$這就證實了 $\int_a^b{f(x)dx}=I$

從證實的過程也能夠看出，若是可積時，必定有 $\overline{I}=\underline{I}=\int_a^b{f(x)dx}$但上下積分相等能不能直接獲得可積性呢？實際上，咱們由以下的達布定理。

定理7.3（達布定理） $f(x)$是閉區間 $[a,b]$上的有界函數，則有 $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \underline{S}(\Delta) = \underline{I} }$ $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \overline{S}(\Delta) = \overline{I} }$

由達布定理，就有以下推論：
推論7.1 $f(x)$是 $[a,b]$上的有界函數，則 $f(x)$在 $[a,b]$上Riemann可積的充要條件是 $\underline{I}=\overline{I}$

下面咱們證實定理7.3：

證： 咱們僅證 $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \overline{S}(\Delta) = \overline{I} }$， $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \underline{S}(\Delta) = \underline{I} }$的證實是相似的。
對任意 $\varepsilon>0$，取由上積分的定義，存在分劃列 $\{\Delta_0\}$，知足 $\overline{I}\le \overline{S}(\Delta_0,f) <\overline{I} +\frac{\varepsilon}{2}$對任意的分劃 $\Delta$，令 $\Delta^\prime_0=\Delta_0\cup\Delta$，就有
$\overline{I}\le \overline{S}(\Delta^\prime_0,f)\le \overline{S}(\Delta_0,f) < \overline{I} + \frac{\varepsilon}{2}$只要考察 $|\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_0,f)|$便可
實際上，對 $\Delta$的每個小區間，若是其中沒有 $\Delta_n$的分點， $\Delta$和 $\Delta^\prime_n$對應的項沒有差距，差異就體如今插入了 $\Delta_n$分點的小區間上。
不妨設 $|f(x)|\le M>0$，若是某個小區間插入了一個分點，那麼對應的上確界之差不超過 $2M$，設 $N$爲 $\Delta_n$的分點個數（ $N>2$)。那麼，若是 $\Delta$的某個區間徹底含在 $\Delta_0$的某個區間內，那麼， $\Delta_0^\prime$內的某個區間與 $\Delta$的這個區間是相同的，不會對達布上和有影響，對達布上和有影響的只有插入了 $\Delta_0$分點的區間，最多隻有 $N-2$個 $\Delta$的區間對達布上和影響，假設 $\Delta$的某個區間 $[x_{k-1},x_k]$中插入了一個分點 $c(c\in(x_{k-1},x_k))$，設 $f(x)$在 $[x_{k-1},c]$上的上確界爲 $M_1$，在 $[c,x_k]$上上確界爲 $M_2$，在 $[x_{k-1},x_k]$的上確界爲 $M_0$，從而 $\begin{aligned} &|M_1(c-x_{k-1})+M_2(x_k-c)-M_0(x_k-x_{k-1})|\le 2M(x_k-x_{k-1}) \\\le &2M\lambda(\Delta) \end{aligned}$從而 $\begin{aligned} |\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)|\le 2M(N-2)\lambda(\Delta) \end{aligned}$當 $\displaystyle \lambda(\Delta)<\frac{\varepsilon}{4M(N-2)}$時 $\begin{aligned} &|\overline{S}(\Delta,f)-\overline{I}|\\ \le & |\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)|+|\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)-\overline{I}|<\varepsilon \end{aligned}$所以 $\displaystyle \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\overline{S}(\Delta,f)=\overline{I}$

可積函數類

定積分的性質

下面，咱們來證實定積分的一些性質。
定理7.4（有界性） $f(x)$在 $[a,b]$上可積，那麼 $f(x)$就在 $[a,b]$上有界。

證：
設 $\int_a^b{f(x)dx}=I$，反證法證實，若是 $f(x)$無界，那麼任取分劃 $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，必然有一個小區間無界，設就是 $[x_0,x_1]$
能夠取得 $\xi_n\in[x_0,x_1]$，使得 $|f(\xi_n)|>n$，這樣，不管 $\lambda(\Delta)$有多小，均可以取得 $\xi_n\in[x_0,x_1]$，在其餘區間的取法給定的條件下，Riemann和能夠任意大，與可積矛盾

所以，對積分的討論都是創建在有界函數上的。下面咱們還要證實以下的定理。
定理7.5 $f(x)$在 $[a,b]$上可積，則 $|f(x)|$在 $[a,b]$上可積

證：
這是由於對任意的 $x_1,x_2\in[a,b]$，都有 $||f(x_1)|-|f(x_2)||\le|f(x_1)-f(x_2)|$對任意的分劃 $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=n$， $0\le\overline{S}(\Delta,|f|)-\underline{S}(\Delta,|f|) \le \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f)$令 $\lambda(\Delta)\to 0$，就有
$\lim_{\lambda(\Delta)\to 0} { \overline{S}(\Delta,|f|)-\underline{S}(\Delta,|f|) } =0$

相似地，能夠證實：
定理7.6 $f(x)$在 $[a,b]$上可積，則 $f(x)$在 $[a,b]$的任意子區間可積
證實比較簡單，這裏就不寫出具體的證實過程了。
下面，咱們就能夠給出Riemann積分的一些性質。
定理7.7
(1)(線性性質) $f(x)$和 $g(x)$在 $[a,b]$上Riemann可積，則對任意的實數 $c,d$， $cf(x)+dg(x)$在 $[a,b]$上Riemann可積，而且 $\int_a^b{cf(x)+dg(x)dx} =c\int_a^b{f(x)dx}+d\int_a^b{g(x)dx}$(2)(不等式性質) $f(x)$和 $g(x)$在 $[a,b]$上Riemann可積，而且 $f(x)\le g(x) ,\forall x \in [a,b]$，則 $\int_a^b{f(x)dx}\le \int_a^b{g(x)dx}$(3)(絕對值性質) $f(x)$在 $[a,b]$上Riemann可積，則 $|\int_a^b{f(x)dx}|\le\int_a^b{|f(x)|dx}$(4)(區間可加性)對任意的 $a<c<b$， $f(x)$在 $[a,b]$上可積的充要條件是 $f(x)$在 $[a,c]$和 $[c,b]$上均可積，而且 $\int_a^c{f(x)dx} + \int_c^b{f(x)dx} =\int_a^b{f(x)dx}$

證：
(1)對任意的分劃 $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots,x_n=b$，對任意的 $\xi_k\in[x_{k-1},x_k](k=1,\cdots,n)$，有 $|\sum_{k=1}^{n}[cf(\xi_n)+dg(\xi_n)(x_{k}-x_{k-1})]-c\int_a^b{f(x)dx}-d\int_a^b{g(x)dx}|\le\\ |c||\sum_{k=1}^n{f(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{f(x)dx}| +|d||\sum_{k=1}^n{g(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{g(x)dx}|$對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$， $\lambda(\Delta)<\delta_1$時，有 $|\sum_{k=1}^n{f(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{f(x)dx}|<\frac{\varepsilon}{2|c|}$又存在 $\delta_2>0$， $\lambda(\Delta)<\delta_2$時，有 $|\sum_{k=1}^n{g(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{g(x)dx}|<\frac{\varepsilon}{2|d|}$所以，當 $\lambda(\Delta)<\min(\delta_1,\delta_2)$時，就有 $|\sum_{k=1}^{n}[cf(\xi_n)+dg(\xi_n)(x_{k}-x_{k-1})]-c\int_a^b{f(x)dx}-d\int_a^b{g(x)dx}|<\varepsilon$(2)(3)的證實比較簡單，省略
下面證實(4)：只證實前一個命題，後一個命題比較容易，而前一命題只須要證實充分性
實際上，由達布定理，咱們只須要取得一個分劃列 $\{\Delta_n\}$， $\lambda(\Delta_n)\to 0$，有 $\overline{S}(\Delta_n)-\underline{S}(\Delta_n)\to 0$就能夠證得可積性，而這能夠經過分別取 $[a,c]$和 $[c,b]$的分劃列 $\{\Delta^{1}_n\}$和 $\{\Delta^2_n\}$，再合併成 $\{\Delta_n\}$便可證得結論。

微積分基本定理

微積分基本定理

上一章，咱們把微分的逆運算稱爲「不定積分」，但從定積分的定義來看，「不定積分」離真正的「積分」的定義還相去甚遠。本節要證實的微積分基本定理，正是搭起微分和積分的一座橋樑。
定理7.8(微積分基本定理) $f(x)$在 $[a,b]$上可積且原函數存在，原函數爲 $F(x)$，則 $\int_a^b{f(x)dx} = F(b)-F(a)$

證：對 $[a,b]$的任意分劃 $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，有 $\tag{1} F(b)-F(a)=\sum_{k=1}^n{F(x_k)-F(x_{k-1})}$由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_k \in (x_{k-1},x_k)$，知足 $F(x_k)-F(x_{k-1})=f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})$ $k=1,\cdots,n$,代入(1)中，有 $F(b)-F(a)=\sum_{k=1}^n{f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})}$再令 $\lambda(\Delta)\to 0$，按照定積分的定義，有
$\int_a^b{f(x)dx} = F(b)-F(a)$

微積分基本定理將原函數和積分聯繫在一塊兒，而原函數是微分的逆運算，所以，在原函數存在的狀況下，就爲定積分的計算提供了一種手段。

變上限積分的性質

微積分基本定理要求 $f(x)$可積，可積性問題由達布理論能夠解決。還要求 $f(x)$原函數存在，原函數存在性問題，咱們至今沒有介紹，如今，咱們利用定積分，能夠回答這個問題。
定理7.9
(1) $f(x)$在 $[a,b]$上可積，那麼變上限積分 $\int_a^x{f(x)dx}$是 $[a,b]$上的連續函數
(2)若是 $f(x)$在 $[a,b]$上連續，那麼變上限積分 $\int_a^x{f(x)dx}$在 $[a,b]$上可導，而且導函數爲 $f(x)$

利用定理7.9的結論(2)，就有以下推論：
定理7.10(原函數存在定理) 閉區間上的連續函數都存在原函數

在證實定理7.9以前，咱們先證實積分第一中值定理：
定理7.11(積分第一中值定理) $f(x)$在 $[a,b]$上連續，可積函數 $g(x)$在 $[a,b]$非負，則存在 $\xi\in[a,b]$，使得 $\int_a^b{f(x)g(x)dx}=f(\xi)\int_{a}^b{g(x)dx}$

證：
設 $f(x)$在 $[a,b]$上的最大值和最小值分別爲 $M$和 $m$，由積分的不等式性質，有 $m\int_{a}^b{g(x)dx}\le\int_a^b{f(x)g(x)dx}\le M\int_{a}^b{g(x)dx}$不妨設 $\int_{a}^b{g(x)dx}>0$，從而 $m\le\frac{\int_a^b{f(x)g(x)dx}}{\int_{a}^b{g(x)dx}}\le M$再由連續函數的介值定理，存在 $\xi\in[a,b]$，知足： $f(\xi)=\frac{\int_a^b{f(x)g(x)dx}}{\int_{a}^b{g(x)dx}}$

下面咱們證實定理7.9：

證：(1) $|\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}|\le \\|\int_x^{x+\Delta x}{f(x)dx}|\le \int_x^{x+\Delta x}{|f(x)|dx}$由 $f(x)$可積， $f(x)$有界，設 $|f(x)|\le M>0$，則 $|\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}|\le M|\Delta x|$對任意的 $\varepsilon>0$，當 $|\Delta x|<\frac{\varepsilon}{M}$時，就有 $|\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}| <\varepsilon$(2) $\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\int_x^{x+\Delta x}{f(x)dx}}{\Delta x}}\\ =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\xi)\Delta x}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}{f(\xi)} =f(x)$以上等式中的 $\xi$介於 $x$和 $x+\Delta x$之間

定積分的換元積分法和分部積分法

由微積分基本定理，咱們就能夠把求原函數的換元積分法和分部積分法，推廣到定積分的計算當中。
定理7.12 $\phi(t)$在 $[a,b]$上可導， $f(\phi(t))\phi^\prime(t)$在 $[a,b]$上可積， $f(x)$在 $[\phi(a),\phi(b)]$上可積且原函數存在，則 $\int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx}$

證：
因爲 $f(x)$在 $[\phi(a),\phi(b)]$上的原函數存在，設爲 $F(x)$
$F(\phi(t))$是 $f(\phi(t))\phi^\prime(t)$在 $[a,b]$的原函數。
由微積分基本定理，有 $\int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =F(\phi(b))-F(\phi(a))$ $\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx} =F(\phi(b))-F(\phi(a))$所以， $\int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx}$

定理7.13 若是 $x=\phi(t)$的導數恆爲正， $f(x)$在 $[a,b]$上可積， $f(\phi(t))\phi^\prime(t)$在 $[\phi^{-1}(a),\phi^{-1}(b)]$上存在原函數且可積，則
$\int_a^b{f(x)dx}=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}{ f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt }$
定理7.14 $f(x),g(x)$可導， $g(x)$原函數爲 $G(x)$， $f^\prime(x)G(x)$在 $[a,b]$上的原函數存在且可積，則 $\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(b)G(b)-f(a)G(a)-\int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}$
證實是相似的，這裏不證。

積分第二中值定理

積分第二中值定理在反常積分的證實中十分關鍵，咱們先給出積分第二中值定理的內容。
定理7.15(積分第二中值定理) $g(x)$在 $[a,b]$上可積
(1) $f(x)$在 $[a,b]$上單調上升, $f(x)\ge0$，則存在 $\xi \in [a,b]$ $\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(b)\int_\xi^b{g(x)dx}$(2) $f(x)$在 $[a,b]$上單調降低， $f(x)\ge 0$，則存在 $\xi \in [a,b]$
$\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(a)\int_a^\xi{g(x)dx}$(3) $f(x)$在 $[a,b]$上單調，則存在 $\xi \in [a,b]$ $\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(a)\int_a^\xi{g(x)dx}+f(b)\int_\xi^b{g(x)dx}$

因爲定理的條件十分寬鬆，所以，咱們不妨把條件增強給出一個簡單的證實，再從這個證實中尋找證實的思路。
假設 $f(x)$在 $[a,b]$上單調上升且有連續導數， $g(x)$在 $[a,b]$連續，令 $G(x)=\int_x^b{g(t)dt}$， $G^\prime(x) = -g(x)$，由分部積分法： $\tag{3} \int_a^b{f(x)g(x)dx}=-\int_a^b{f(x)dG(x)} =-f(x)G(x)|_a^b + \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}\\ =f(a)\int_a^b{g(t)dt} + \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}$設 $M,m$是 $G(x)$在 $[a,b]$上的最大值和最小值，那麼就有 $m\int_a^b{f^\prime(x)dx}\le \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx} M \int_a^b{f^\prime(x)dx}$即 $m\le \frac{\int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}}{f(b)-f(a)} \le M$