數學分析筆記17：曲線積分與曲面積分

文章目錄

• 第一型曲線積分與曲面積分
• 第一型曲線積分
• 曲線的弧長
• 第一型曲線積分的物理背景及定義
• 第一型曲線積分的計算公式
• 第一型曲面積分
• 第一型曲面積分的物理背景及定義
• 第一型曲面積分的計算公式
• 第二型曲線積分與曲面積分
• 第二型曲線積分
• 第二型曲線積分的物理背景及定義
• 第二型曲線積分的計算方法
• 兩類曲線積分的聯繫
• 第二型曲面積分
• 曲面的定向
• 第二型曲面積分的物理背景及定義
• 第二型曲面積分的計算方法
• 積分之間的聯繫
• 格林公式
• 高斯公式
• 斯托克斯公式
• 積分與路徑無關

第一型曲線積分與曲面積分

第一型曲線積分

曲線的弧長

在定積分的幾何應用一節咱們已經介紹了曲線弧長公式，如今，咱們對曲線的弧長做一個完整的論述，以引出第一型曲線積分的定義。

定義17.1 對1元 $n$維向量函數 $\phi(t)=(\phi_1(t),\cdots,\phi_n(t)),t\in [a,b]$，若是 $\phi(t)$是連續的，則稱 $\gamma:\{\phi(t):t\in[a,b]\}$是 $R^n$上的連續曲線，若是對於 $t_1,t_2\in[a,b],t_1\neq t_2,t_1\neq a或t_2\neq b$，都有 $\phi(t_1)\neq \phi(t_2)$，則稱 $\gamma$爲若當曲線或簡單曲線，若是 $\gamma$是簡單曲線同時 $\phi(a)=\phi(b)$，則稱 $\gamma$爲若當閉曲線，若是 $\phi(t)$在 $[a,b]$上有連續的導數，則稱 $\gamma$爲光滑的曲線

假設曲線 $\gamma$的起點和終點分別爲 $A,B$，在中間取 $n$個點 $A_1,\cdots,A_n$，可將 $\gamma$分爲 $n+1$段。令 $A_0=A,A_{n+1}=B$，鏈接 $A_{k-1},A_k,k=1,\cdots,n+1$，獲得一段內接折線。之內接折線的長度做爲曲線弧長的估計。 $L\approx \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}||$這裏 $A_k(k=0,\cdots,n+1)$視爲向量。因爲兩點之間線段最短，若是取另一個分劃 $P_2:A_0^\prime=A,A_1^\prime,\cdots,A_m^\prime,A_{m+1}^\prime=B$，若是 $P_1:A_0,\cdots,A_{n+1}$都在 $P_2$內，則稱 $P_2$是 $P_1$的加細，則 $\sum_{k=1}^{m+1}||A_k^\prime-A_{k-1}^\prime||\ge \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}||$不斷加細，若是有一個上確界，那麼這個上確界就稱爲是曲線的弧長，以下圖。

若是 $A_1^\prime$在 $A_0,A_1$之間，那麼必有 $||A_1^\prime-A_0||+||A_1-A_1^\prime||\ge ||A_1-A_0||$。這就是爲何 $\sum_{k=1}^{m+1}||A_k^\prime-A_{k-1}^\prime||\ge \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}||$

定義17.2 $\gamma$是一段 $R^n$上的連續曲線，若是上確界 $L=\sup_{\Delta:A_0,\cdots,A_n,\cdots,A_{n+1}是\gamma的分劃}\sum_{k=1}^{n+1}||A_k-A_{k-1}||$存在，則稱 $\gamma$爲可求長曲線，其稱 $L$爲 $\gamma$的弧長

在定積分一節中，咱們求弧長的辦法是，對連續曲線 $\gamma:\phi(t)=(\phi_1(t),\cdots,\phi_n(t)),t\in[a,b]$對 $[a,b]$的分劃 $\Delta:a=t_0<\cdots<t_n<t_{n+1}=b$，則 $L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})||$這個公式和定義17.2形式上不是徹底一致的，但下面咱們將證實這兩個定義的徹底相同的。

定理17.1 $\gamma:\phi(t),a\le t\le b$是 $R^n$的一段可求長曲線， $L$是其弧長，則 $L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})||$
該定理的過程與達布定理及其相似。

證：
由 $L$的定義，對任意的 $\varepsilon>0$，存在分劃 $\Delta_0:a=t_0^{(0)}<t_1^{(0)}<\cdots<t_m^{(0)}<t_{m+1}^{(0)}=b$，知足 $L\ge \sum_{k=1}^{m+1}||\phi(t^{(0)}_{k})-\phi(t^{(0)}_{k-1})||>L-\frac{\varepsilon}{2}$因爲 $\phi(t)$在 $[a,b]$上連續，則 $\phi(t)$在 $[a,b]$上一致連續，存在 $\delta>0$，當 $x_1,x_2\in [a,b]$， $|x_1-x_2|<\delta$時，就有 $||\phi(x_2)-\phi(x_1)||<\frac{\varepsilon}{2m(m+1)}$對任意的分劃 $\Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_s=b$，再設 $\Delta^\prime=\Delta_0\cup\Delta:a=t_0^\prime<t_1^\prime<\cdots<t_p^\prime<t_{p+1}^\prime=b$，則 $\begin{aligned} L\ge& \sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t_k^\prime)-\phi(t_{k-1}^\prime)||\\\ge &\sum_{k=1}^{m+1}||\phi(t^{(0)}_{k})-\phi(t^{(0)}_{k-1})||>L-\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}$從而 $\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t_k^\prime)-\phi(t_{k-1}^\prime)||-L\right|<\frac{\varepsilon}{2}$只要 $\lambda(\Delta)<\delta$， $\Delta$中至多有 $m$個小區間插入了 $\Delta_0$的分點，一個小區間至多插入 $m$個 $\Delta_0$的分點，從而 $\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\right|\\ =&\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\\ <&m(m+1)\frac{\varepsilon}{2m(m+1)}=\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}$從而 $\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||-L\right|\\ \le&\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\right|\\ +&\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-L\right|<\varepsilon \end{aligned}$所以 $L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})||$

模仿定積分幾何應用中 $R^2$光滑曲線弧長的求法，能夠證實 $R^n$中的光滑曲線 $\gamma:\gamma(t),t\in[a,b]$都是可求長曲線，而且 $L=\int_a^b||\gamma^\prime(t)||dt$因而，若是連續曲線由有限段光滑曲線拼接而成，那麼該連續曲線也是可求長曲線。

第一型曲線積分的物理背景及定義

對於 $R^3$上的一條細鋼絲 $\gamma$，在其上定義了一個密度函數 $\rho(x,y,z)$，怎麼求其質量呢？若是鋼絲是均勻的，那麼其質量應該是 $\rho.L(\gamma)$，其中， $\rho$爲鋼絲的密度， $L(\gamma)$是鋼絲的長度。若是鋼絲不是均勻的，能夠採起微元法：將鋼絲分解爲若干段小鋼絲 $\gamma_1,\cdots,\gamma_n$，只要每段鋼絲的弧長足夠小，若是 $\rho$是連續的，在每段小鋼絲就能夠近似地視爲均勻的小鋼絲，任取 $\xi_k\in \gamma_k(k=1,\cdots,n)$，則估計其質量爲 $m(\gamma)\approx\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)L(\gamma_k)$當鋼絲越分越細時，偏差愈來愈小，則小鋼絲的質量就爲 $m(\gamma)=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)L(\gamma_k)$其中， $\displaystyle\lambda(\Delta)=\max_{1\le i\le n}L(\gamma_k)$，求解的思路和定積分是相同的，不一樣的是如今是對曲線的積分。對以上物理背景進行抽象，就獲得第一型曲線積分的定義。首先，若是 $\gamma$是可求長曲線，則連續曲線 $\gamma_k\subseteq \gamma$也是可求長的，這由可求長曲線的定義是容易看出的¹。

定義17.3 $\gamma$是 $R^n$上一段可求長曲線，起點和終點分別爲 $A,B$， $\rho(x)$是 $\gamma$上的函數，若是存在實數 $I$，對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，從 $A$到 $B$任取 $A=A_0,A_1,\cdots,A_n,A_{n+1}=B$，只要 $\displaystyle\lambda=\max_{1\le i\le n+1}L(A_{i-1}A_i)<\delta$，任取 $\xi_k\in A_{k-1}A_k(k=1,\cdots,n+1)$，就有 $\left|\sum_{k=1}^{n+1}\rho(\xi_k)L(A_{k-1}A_k)-I\right|<\varepsilon$則稱 $\rho$在 $\gamma$上可積， $I$爲 $\rho$在 $\gamma$上的第一型曲線積分，記爲 $\displaystyle\int_\gamma f(x)ds$

第一型曲線積分和定積分、重積分同樣，有線性性質，不等式性質，區間可加性。

定理17.2 $\gamma$是 $R^n$上的可求長曲線， $f_1,f_2$在 $\gamma$上可積，則對於任意的實數 $\alpha,\beta$， $\alpha f_1+\beta f_2$在 $\gamma$上也可積，而且 $\int_\gamma (\alpha f_1(x)+\beta f_2(x))ds=\alpha\int_\gamma f_1(x)ds+\beta\int_\gamma f_2(x)ds$

定理17.3 $\gamma$是 $R^n$上的可求長曲線， $f(x)=1,x\in \gamma$在 $R^n$上可積，而且 $\int_\gamma f(x)ds = L(\gamma)$

定理17.4 $\gamma$是 $R^n$上的可求長曲線， $f_1,f_2$在 $\gamma$上可積，而且 $f_1(x)\le f_2(x)\quad x\in \gamma$，則 $\int_\gamma f_1(x)ds \le \int_\gamma f_2(x)ds$

定理17.5 $\gamma$是 $R^n$上的可求長曲線，起點和終點分別爲 $A,B$，取一個分點 $C$， $f$在 $\gamma$上可積，則 $f$在 $AC$段和 $CB$段均可積，而且 $\int_{\gamma}f(x)ds=\int_{AC}f(x)ds+\int_{CB}f(x)ds$

第一型曲線積分的計算公式

第一型曲線積分的計算也是經過定積分進行。

定理17.6 光滑曲線 $\gamma:\phi(t),t\in[a,b]$，設 $\phi^\prime(t)\neq 0$， $f(x)$在 $\gamma$上連續，則 $f(x)$在 $\gamma$上可積，而且 $\int_\gamma f(x)ds=\int_a^b f(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dt$

證：
令 $\displaystyle S(x_1,x_2)=\int_{x_1}^{x_2}||\phi^\prime(t)||dt$，則設 $\displaystyle m=\min_{t\in[a,b]}||\phi^\prime(t)||,M=\max_{t\in[a,b]}||\phi^\prime(t)||$，有 $m>0$²，所以 $m(x_2-x_1)\le S(x_1,x_2)\le M(x_2-x_1)$對 $\Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$，對應 $\gamma$的分劃 $\Delta^\prime: A_0=\phi(a),A_1=\phi(t_1),\cdots,A_n=\phi(t_n)=B$，由上式能夠看出， $\lambda(\Delta^\prime)\to 0$的充要條件是 $\lambda(\Delta)\to 0$³。對任意的分劃 $\Delta:a=t_0<\cdots<t_n=b$，任取 $\xi_k\in[t_{k-1},t_k](k=1,\cdots,n)$，由積分中值定理，存在 $\zeta_k\in[t_{k-1},t_k](k=1,\cdots,n)$，有 $\begin{aligned} &\sum_{k=1}^nf(\xi_k)[S(t_k)-S(t_{k-1})]=\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\int_{t_{k-1}}^{t_k}||\phi^\prime(t)||dt\\ =&\sum_{k=1}^nf(\xi_k)||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k \end{aligned}$ $\forall \varepsilon>0$，設 $\displaystyle M=\max_{t\in[a,b]}|f(\phi(t))|$，因爲 $||\phi^\prime(t)||$在 $[a,b]$上一致連續，存在 $\delta_1>0$，對任意的 $x_1,x_2\in[a,b]$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_1$，就有 $\left|||\phi^\prime(x_1)||-||\phi^\prime(x_2)||\right|<\frac{\varepsilon}{2M(b-a)}$令 $\displaystyle I=\int_a^bf(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dt$，存在 $\delta_2>0$，就有 $\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-I\right|<\frac{\varepsilon}{2}$只要 $\lambda(\Delta)<\delta_0=\min(\delta_1,\delta_2)$，就有 $\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k\right|\\ \le&\sum_{k=1}^n|f(\phi(\xi_k))||||\phi^\prime(\xi_k)||-||\phi^\prime(\zeta_k)|||\Delta t_k\\ \le&M(b-a)\frac{\varepsilon}{2M(b-a)}=\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}$則 $\begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k-I\right|\\ \le&\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-I\right|+\\&\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k\right|\\ <&\varepsilon \end{aligned}$所以 $f(x)$在 $\gamma$上可積，而且 $\int_\gamma f(x)ds=\int_a^b f(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dt$

由第一型曲線積分的區間可加性，咱們就能夠計算逐段光滑的曲線上的曲線積分。計算第一型曲線積分的第一步，首先是要寫出曲線的參數方程，而後再套用以上公式便可。

例17.1 計算 $\displaystyle \int_\gamma(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}})ds$，其中 $\gamma$爲曲線 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$

解：
將 $\gamma$寫成參數方程形式 $\begin{cases} x=a\cos^3t\\ y=a\sin^3t \end{cases}$其中 $t\in[-\pi,\pi]$則 $\begin{cases} x^\prime=-3a\sin t\cos^2t\\ y^\prime=3a\cos t\sin^2t \end{cases}$則 $\sqrt{x^{\prime2}+y^{\prime2}}=3a|\sin t\cos t|$則 $\begin{aligned} &\int_\gamma(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}})ds=\int_{-\pi}^\pi{a^{\frac{4}{3}}}(\sin^4t+\cos^4t)(3a|\sin t\cos t|)dt\\ =&3a^{\frac{7}{3}}\int_{-\pi}^\pi(\sin^4t+\cos^4t)|\sin t\cos t|dt =4a^{\frac{7}{3}} \end{aligned}$

例17.2 求 $\displaystyle \int_Lxyds$，其中 $L$爲球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$與平面 $x+y+z=0$的交線

解：
爲了寫出 $L$的參數方程，咱們首先要求出 $L$在 $Oxy$平面上的投影，聯立 $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=a^2\\ x+y+z=0 \end{cases}$消去 $z$，獲得 $x^2+y^2+(-x-y)^2=2x^2+2xy+2y^2=a^2$經過配方，獲得 $2(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{2}y^2=a^2$經過變數替換後投影能夠變換爲橢圓，不管如何，從以上方程咱們能夠令 $\begin{cases} x+\frac{y}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t\\ y=\sqrt{\frac{2}{3}}a\sin t\\ z=-x-y \end{cases}$由此就能夠獲得 $L$的參數方程 $\begin{cases} x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t\\ y=\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t\\ z=-\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t \end{cases}$其中 $t\in [-\pi,\pi]$，則 $\sqrt{x^{\prime2}+y^{\prime2}+z^{\prime2}}=a$從而 $\begin{aligned} \int_Lxyds=&a\int_{-\pi}^\pi(\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t)(\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t)dt\\ =&-\frac{a^3}{3}\int_{-\pi}^\pi \sin^2tdt=-\frac{a^3\pi}{3} \end{aligned}$

例17.3 計算 $\displaystyle \int_L(xy+xz+yz)ds$， $L$同例17.2

解：
注意到 $L$上 $x,y,z$的地位是相同，好比，求解 $\displaystyle \int_Lxzds$，將參數方程寫成 $\begin{cases} x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t\\ z=\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t \end{cases}$再代入就能夠獲得 $\displaystyle \int_Lxzds=-\frac{a^3\pi}{3}$，從而 $\int_L(xy+xz+yz)ds=-a^3\pi$

例17.4 計算 $\displaystyle \int_L\sqrt{2y^2+z^2}ds$，其中 $L$是 $x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$與 $x=y$的交線

解：
在 $L$上，有 $2y^2+z^2=a^2$，有 $\int_L\sqrt{2y^2+z^2}ds=a^2\int_Lds=\pi a^2$

第一型曲面積分

第一型曲面積分的物理背景及定義

同第一型曲面積分的物理背景相似，第一型曲面積分的物理背景是空間曲面的質量。若是 $S$是可求面積的均勻的空間曲面，設其密度爲 $\rho$，那麼 $S$的質量爲 $\rho|S|$，其中 $|S|$是 $S$的面積。但若是 $S$不是均勻的空間區間，在 $S$上定義了密度函數 $\rho(x,y,z)$，能夠將 $S$劃分爲可求面積的小區面塊 $S_1,\cdots,S_n$，只要 $\displaystyle\max_{1\le i \le n}diam(S_i)$足夠小，由一致連續性， $S_1,\cdots,S_n$均可以視爲均勻曲面，任取 $\xi_k\in S_k(k=1,\cdots,n)$，則估計其質量爲 $\displaystyle m(S)\approx\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)|S_k|$，當 $\displaystyle\max_{1\le i \le n}diam(S_i)\to 0$時，若是該和數有極限，則該極限爲 $S$的質量。

定義17.4 設 $S$是一張可求面積的曲面，將 $S$分割爲可求面積的小曲面塊 $S_1,\cdots,S_n$，記該分劃爲 $\Delta$，定義 $\lambda(\Delta)=\max_{1\le i \le n}diam(S_i)$ $f(x)$是 $S$上的函數，若是存在實數 $I$，對任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，對任意的分劃 $\Delta:S_1,\cdots,S_n$，只要 $\lambda(\Delta)<\delta$，任取 $\xi_k\in S_k(k=1,\cdots,n)$，都有 $\left|\sum_{k=1}^nf(\xi_k)|S_k|-I\right|<\varepsilon$則稱 $f$在 $S$上可積， $I$稱爲 $f$在 $S$上的第一型曲面積分，記爲 $\displaystyle \iint_S f(x)ds$

一樣能夠寫出曲面積分的性質：線性，不等式，可加性等，這與曲線積分比較相似。

第一型曲面積分的計算公式

關於第一型曲面積分的存在性，能夠模仿定積分和重積分的可積性理論，創建起曲面積分的可積性理論，就能夠證實以下命題：

命題17.1 $f(x,y,z)$在光滑曲面 $S$上連續，則 $f(x,y,z)$在 $S$上可積

下面咱們給出第一型曲面積分的計算公式：

定理17.6 $f(x,y,z)$在光滑曲面 $\begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases}$上連續，其中 $(u,v)\in D$， $D$爲可求面積的有界閉區域，其中 $r_u^\prime\times r_v^\prime\neq 0$，則 $\iint_S f(x,y,z)dS = \int_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))||r_u^\prime\times r_v^\prime||dudv$

該定理的證實和曲線積分的證實是相似的，須要用到重積分的積分中值定理，這裏就再也不贅述了。下面給出第一型曲面積分的幾個算例。

例17.5 （利用曲面方程化簡被積函數） 求解曲面積分 $\displaystyle \iint_S \frac{dS}{x^2+y^2}$，其中 $S$爲柱面 $x^2+y^2=R^2$被平面 $z=0$和 $z=H$所截的部分

解：
由曲面方程爲 $x^2+y^2=R^2$，獲得 $\iint_S\frac{dS}{x^2+y^2}=\frac{1}{R^2}\iint_S dS=\frac{2RH\pi}{R^2}=\frac{2H\pi}{R}$

例17.6 求解曲面積分 $\displaystyle \iint_S z^2 dS$，其中 $S$爲 $x=u\cos v,y=u\sin v,z= v(0\le u\le a,0\le v\le 2\pi)$

解：
$r_u^\prime=(\cos v,\sin v,0),r_v^\prime=(-u\sin v,u\cos v,1)$，則曲面積分化爲重積分爲⁴ $\begin{aligned} \iint z^2dS=&\iint_{[0,a]\times[0,2\pi]}v^2\sqrt{u^2+1}dudv\\=&\frac{4\pi^3}{3}(\ln(a+\sqrt{1+a^2})+a\sqrt{1+a^2}) \end{aligned}$

例17.7 （求解曲面積分時注意完整考慮整個曲面，不要遺漏某一兩面）求解第一型曲面積分 $\displaystyle \iint_S x^2+y^2 dS$，其中 $S$爲立體 $\sqrt{x^2+y^2}\le z\le 1$的邊界曲面

解：
須要注意的是，這個立體是一個倒圓錐，有一個底面和一個側面，不要遺漏掉底面。設底面爲 $S_1$，側面爲 $S_2$，則 $S_1:z=1,x^2+y^2\le 1$，從而 $\begin{aligned} &\iint_{S_1} x^2+y^2 dS=\iint_{x^2+y^2\le 1}x^2+y^2 dS\\ =&\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r^3dr=\frac{\pi}{2} \end{aligned}$側面寫成參數方程形式爲 $\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=r \end{cases}$取值範圍爲 $0\le r\le 1,0\le \theta\le 2\pi$，此時 $\sqrt{A^2+B^2+C^2}=\sqrt{2}r$，則將曲面積分化爲重積分即爲 $\iint_{S_2} x^2+y^2 dS=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r^3dr=\frac{\sqrt{2}\pi}{2}$則 $\iint_S x^2+y^2 dS=\iint_{S_1} x^2+y^2 dS+\iint_{S_2} x^2+y^2 dS=\frac{(1+\sqrt{2})\pi}{2}$

第二型曲線積分與曲面積分

第二型曲線積分

第二型曲線積分的物理背景及定義

第二型曲線積分的物理背景是變力作功。

如上圖，若是在牽引力 $F$的做用下，箱子移動的位移 $s$，則在力學中，力 $F$對箱子所做的功爲 $F.s$，這是恆力對一個質點的做用。若是是變力，該如何求解力對質點所做的功呢。假設在平面上有一個力場 $F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$，在力的做用下，質點的運動軌跡爲 $s：s(t)=(x(t),y(t)),t\in[\alpha,\beta]$，這裏假設運動軌跡是光滑的。則咱們能夠將運動曲線劃分爲 $n$段小曲線 $s_1,\cdots,s_n$，每段運動均可以視爲恆力作功，任取 $(\xi_k,\zeta_k)\in s_k$，在該段發生的位移爲 $\Delta s_k$，則估計該力所作的功爲 $W\approx \sum_{k=1}^nF(\xi_k,\zeta_k).\Delta s_k$當曲線段最大直徑趨於0時，若是以上和式右極限，即爲力場對質點所做的功。將以上物理背景進行抽象，就獲得第二型曲線積分。

定義17.5 $L$爲 $R^n$上的連續曲線，起點爲 $A$，終點爲 $B$， $F(x)=(F_{}$