數論——乘法逆元（快速冪求法）及模運算

1、快速冪

原理：

　　快速冪的原理十分簡單。

　　a^k=a^{2^0}*a^{2^1}*a^{2^2}*…a^{2^x}，其中k=2⁰+2¹+2²+…+2^x。

　　這顯然是正確的。由於任何一個數均可以表示成二進制。

　　接下去利用位運算實現便可。

代碼實現

　　模板題連接：快速冪

　　代碼模板以下：時間複雜度O(logk)

int qmi(int a,int k,int p) { int res=1%p; while(k) { if(k&1)res=(long long)res*a%p; a=(long long)a*a%p; k>>=1; } return res; }

　　值得一提的是，以上代碼在過程當中取模，是基於模運算的運算規則。

　　模運算有一些很好的性質，如下列舉四條：

• 　(a + b) % p = (a % p + b % p) % p 
• 　(a - b) % p = (a % p - b % p + p) % p 
• 　(a * b) % p = (a % p * b % p) % p 
• 　(a^b) % p = ((a % p)^b) % p 

2、快速冪求逆元

乘法逆元的定義

 若整數b，m互質，而且b|a，則存在一個整數x，使得a/b≡a∗x(mod m)，則稱x爲b的模m乘法逆元，記爲b⁻¹(mod m)。

b存在乘法逆元的充要條件是b與模數m互質。當模數m爲質數時，b^m−2即爲b的乘法逆元。

　　由於在模運算中，並無除法的性質，即沒有(a/b)%p≠((a%p)/(b%p))%p，而乘法逆元即可以幫助咱們將其轉化成乘法形式：a/b % m=a∗x % m。

　　由乘法逆元的定義咱們能夠推出以下結論：

∵ a/b mod p = a * b^-1 mod p = a/b * b * b^-1 mod p

∴ b * b^-1 ≡ 1（mod p）

費馬小定理

若p是一個質數，且整數a不是p的倍數（a與p互質），則有a ^p-1 ≡ 1（mod p）。

　　基於這個定理，咱們就能夠推出以下結論：

 ∵ a ^p-1 ≡ 1（mod p）

∴ a * a ^p-2 ≡ 1（mod p）

　　所以，結合乘法逆元的定義所獲得的推論以及費馬小定理，咱們能夠獲得：a^-1 = a ^p-2（mod p）。

　　也就是說，當模數p爲質數，且整數b不是p的倍數時（b與p互質），b的逆元即爲b ^p-2。

代碼實現

　　模板題連接：快速冪求逆元　　

　　根據上述結論，要判斷b關於模數p的乘法逆元是否存在，若存在則求出之，咱們便只須要計算b ^p-2便可。而這個計算利用快速冪即可以很快解決。

　　代碼以下：

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdio>
using namespace std; typedef long long ll; int qmi(int a,int k,int p) { int res=1%p; while(k) { if(k&1)res=(ll)res*a%p; a=(ll)a*a%p; k>>=1; } return res; } int main() { int n;scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { int a,b; scanf("%d%d",&a,&b); if(a%b==0)printf("impossible\n"); else printf("%d\n",qmi(a,b-2,b)); } return 0; }

應用

　　有了乘法逆元，咱們在計數類問題中遇到(a/b)%p時，即可以轉化成((a % p) * (b^-1 % p)) % p來計算了，這樣便防止了爆int的狀況出現，固然，轉化的前提是必須保證b與p互質。當p是質數時，則能夠進一步轉化爲((a % p) * (b ^p-2 % p)) % p。