快速冪及快速冪取模運算

        快速冪原文

       快速冪這個東西比較好理解，但實現起來到不老好辦，記了幾回總是忘，今天把它系統的總結一下防止忘記。

　　首先，快速冪的目的就是作到快速求冪，假設咱們要求a^b,按照樸素算法就是把a連乘b次，這樣一來時間複雜度是O(b)也便是O(n)級別，快速冪能作到O(logn)，快了好多好多。它的原理以下：

　　假設咱們要求a^b，那麼其實b是能夠拆成二進制的，該二進制數第i位的權爲2^(i-1)，例如當b==11時

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　11的二進制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，所以，咱們將a¹¹轉化爲算 a2^0*a2^1*a2^3，也就是a1*a2*a8 ，看出來快的多了吧原來算11次，如今算三次，可是這三項貌似很差求的樣子....不急，下面會有詳細解釋。                                                   因爲是二進制，很天然地想到用位運算這個強大的工具：&和>>，&運算一般用於二進制取位操做，例如一個數 & 1 的結果就是取二進制的最末位。還能夠判斷奇偶x&1==0爲偶，x&1==1爲奇。>>運算比較單純,二進制去掉最後一位，很少說了，先放代碼再解釋。

 

int Pow(int a, int b)
{
    int ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans *= a ;
        a *= a;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

 

　　代碼很短，死記也可行，但最好仍是理解一下吧，其實也很好理解，以b==11爲例，b=>1011,二進制從右向左算，但乘出來的順序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是從左向右的。咱們不斷的讓base*=base目的便是累乘，以便隨時對ans作出貢獻。

　　其中要理解base*=base這一步：由於 base*base==base2，下一步再乘，就是base2*base2==base4，而後同理  base4*base4=base8，由此能夠作到base-->base2-->base4-->base8-->base16-->base32.......指數正是 2^i ，再看上面的例子，a¹¹= a1*a2*a8，這三項就能夠完美解決了，快速冪就是這樣。

 

快速冪取模運算原理：ab mod c=(a mod c)(b mod c)mod c ；

 

代碼：

int PowMod(int a, int b, int c)
{
    int ans = 1;
    a %= c;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans = (ans * a) % c;
        a =  (a * a) % c;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}