快速冪取模算法

所謂的快速冪，其實是快速冪取模的縮寫，簡單的說，就是快速的求一個冪式的模(餘)。在程序設計過程當中，常常要去求一些大數對於某個數的餘數，爲了獲得更快、計算範圍更大的算法，產生了快速冪取模算法。咱們先從簡單的例子入手：求a^bmodc

算法1.直接設計這個算法：

int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
   ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

缺點：這個算法存在着明顯的問題，若是a和b過大，很容易就會溢出。

咱們先來看看第一個改進方案：在講這個方案以前，要先看這樣一個公式：a^b mod c = (a mod c)^c mod c

因而不用思考的進行了改進：

算法2.改進算法：

int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
   ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

讀者應該能夠想到，既然某個因子取餘以後相乘再取餘保持餘數不變，那麼新算得的ans也能夠進行取餘，因此獲得比較良好的改進版本。

算法3.進一步改進算法：

int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
   ans = (ans * a) % c;//這裏再取了一次餘
}
ans = ans % c;

這個算法在時間複雜度上沒有改進，仍爲O(b)，不過已經好不少的，可是在c過大的條件下，仍是頗有可能超時，因此，咱們推出如下的快速冪算法。

算法4.快速冪算法：

快速冪算法依賴於如下明顯的公式：

int PowerMod(int a, int b, int c)
{
    int ans = 1;
    a = a % c;
    while(b>0) {
        if(b % 2 = = 1)
        ans = (ans * a) % c;
        b = b/2;
        a = (a * a) % c;
    }
    return ans;
}

本算法的時間複雜度爲O（logb），能在幾乎全部的程序設計（競賽）過程當中經過，是目前最經常使用的算法之一。

ps：本文參考自網絡