計算機圖形學之矩陣變換

重點是理解矩陣的含義：矩陣實際上是一種座標系的轉換

理解矩陣的幾何功能:

1. 矩陣是一種線性變換（線段變換後還是線段，而且原點不會改變）
2. 矩陣是一種映射，映射能夠是一對一，也能夠是一對多
3. 矩陣是一種空間變換，每一種矩陣都是有自己的幾何意義，而不是單純的數字組合

理解矩陣的形式含義（矩陣在左，向量在右）：

1. 方陣滿秩，是進行當前空間的座標變換，不會進行維度的升高和下降
2. M×N(M>N),這種矩陣是一種升維矩陣，幾何意義如3×2，就如同把一個平面進行一個方向維度的延展（當秩爲2時），變成一個三維的空間，固然以前空間中的點（x,y）在提高維度的過程當中在三維空間中仍是一個平面分佈，只是多了一個值全相等的第三個維度的值而已
3. M×N(M<N),這是一種降維矩陣，幾何意義如2×3（當秩爲2時），是把三維的向量進行一個維度的壓縮，擠壓成一個平面，這個時候固然會出現不少個點壓縮到一個二維座標的狀況
4. 方陣不滿秩，其實和以前是同樣的，不滿秩就說明這個維度是虛的，沒什麼用，若是秩是一的話就是擠壓成一條線。

一.平移矩陣

1.1二維平移矩陣

形式：平移矩陣的形式是什麼樣的呢。

必定是一個滿秩的矩陣，由於咱們並不會進行維度的變換。 座標軸的方向和長度是不變的，由於矩陣運算的本質是改變的參考系的X，Y。
尋找矩陣：

那麼什麼樣的矩陣可以使得一個點進行平移操做呢，由於平移操做並不會改變參考系XY的方向和單位向量的長度，因此實際上，在當前的維度中，咱們並不可能作到，爲何呢？由於咱們以前說過，矩陣的線性變換並不會改變原點的位置，矩陣是默認原點就是（0，0），在矩陣中填充任何的值都沒辦法改變這個約定熟成的決定。那麼怎麼作到呢，咱們利用更高一維的矩陣，也就是三維矩陣進行操做，其實就是在更高的維度當中，解決咱們的原點平移問題。

在這裏，須要說明的是，若是咱們使用的是左矩陣右向量的形式，那麼構成咱們全新的座標系的向量應當是矩陣中的列。咱們在增長了一個新的維度，（dx,dy,1）,dx,dy就是咱們要平移的數量，而增長一個1，是由於要保持秩是3，畢竟咱們是從更高一層的維度來轉移咱們的座標原點的。

從幾何意義來講，平移矩陣其實就是增長一個並不正交的Z軸（dx,dy,1）來進行一個座標軸的從新定義，繼而將座標轉換位置。

這裏須要注意的是，點V=（x,y,1），並非再是咱們二維座標上的點，而是以P的列向量爲基所構成的三維空間上的點，只是說咱們把二維的點變爲V=（x,y,1）而後通過對應矩陣P的線性變換，最終獲得平移點的位置。

這個過程可能有些難以理解，可是又是那麼的巧妙和精確。咱們所構造的矩陣P，是經過新空間中基的列向量來構成的，其中的列向量中每個座標值對應的數值，其實都是以咱們原有的基x=(1,0),y=(0,1)來決定的。P這個矩陣，是一種線性的變換，是把用它座標系中表示的點的位置座標，來映射到原先咱們肯定它的時用的基的空間裏。

這其實就是一種投影運算，對V的每一個座標值進行投影。

而p的逆矩陣，其實就是把咱們的座標映射到P的座標中的運算。

1.2三維平移矩陣

當咱們理解了二維的平移矩陣，那麼，其實三維的矩陣也是同樣的原理

二.旋轉矩陣

旋轉矩陣的基礎含義就是繞原點的旋轉。

2.1二維旋轉矩陣

形式：旋轉矩陣的形式是什麼樣的呢。

必定是滿秩的，由於沒有進行維度變換 座標軸的長度應該是不變的，由於沒有進行放縮操做，可是角度應該是要變的。
尋找矩陣：

假設咱們有點v=(x,y),座標軸是標準的座標軸，角度是爲，是與x軸正方向的夾角。

首先，咱們已經知道了一些知識，那就是尋找新的座標軸的基，且基的長度還是1.那麼

這就是咱們所須要的旋轉矩陣

2.2三維旋轉矩陣

對於三維來講是差很少的，不過由於旋轉軸的不一樣，旋轉矩陣的形狀也是不一樣的

能夠結構成這麼一段話，對於標準座標系而言，要將一個點V移動到V1（在這裏V和V1的表示都是標準座標系下的），那麼用新基構成的矩陣P變換V，獲得V1。這是由於，V在標準座標系中的座標和V1在P的座標系下的座標是同樣的。

因此，矩陣變換的並非V，而是V1。由於P的做用是把自己的座標裏的點變成標準座標系的點的座標，因此變換的其實不是標準座標系裏的V，而是自身的V1，由於他們二者的值是相同的，會有很強的誤導性，可是並非說他們空間中的絕對位置是相同的。僅僅由於參考系的變換，致使了他們的值相同。

三.放縮矩陣

放縮矩陣其實就很簡單，圖形的放縮其實就是咱們自己的座標軸的基的放縮

四.投影矩陣

將點v，投影到一個平面A，投影方向是B的法向量n。

形式：正交投影矩陣的形式是什麼樣的呢。

應該是高維矩陣，由於其中包含平移操做 應該是一個不滿秩的矩陣，畢竟咱們的座標都放到了一個面上 由於是正交投影，因此咱們壓縮的，其實就是沿着B法向量上的點 尋找矩陣：咱們設V=（vx,vy,vz）,A有一點a=（ax,ay,az）,面的法向量N=（Nx,Ny,Nz）

1. 首先確立平面上的座標系，經過點A，和法向量N創建座標系（X*,Y*,Z*）.
2. 其中Z是法向量N的方向，轉向是沒有關係的。
3. 若是這麼就完了並不能完成平移操做，僅僅完成的是座標系方向的轉向，位置上還須要平移
4. 因此須要原點到平面的距離矢量L
5. 創建最後的投影矩陣 注意：咱們這裏所須要的，是應該求逆矩陣，當咱們所須要的是投影座標表示而不是在原先座標系表示的時候