洛谷CF1071E Rain Protection（計算幾何，閔可夫斯基和，凸包，二分答案）

洛谷題目傳送門
CF題目傳送門

對於這題，我無力吐槽。

雖然式子仍是不難想，作法也隨便口胡，可是一些鬼畜邊界狀況就是判不對。

首先顯然二分答案。

對於每個雨滴，它出現的時刻咱們的繩子必須落在它上面。把繩子的上下端點用二元組\((a,b)\)表示，由於三個點\((a,0)(x_i,y_i)(b,h)\)共線，咱們能夠推出
\[(b-a,h)×(x_i-a,y_i)=0\\(h-y_i)a+y_ib-x_ih=0\]
這說明了\(a,b\)的關係，必須落在一條直線上！它在\((0,0)(0,w)(w,w)(w,0)\)矩形範圍內的部分就是可行域。

如今，咱們初始的可行域是一個點\((e1,e2)\)，到下一個時刻以前，可行域會向四周擴散\(v*\Delta t\)個單位，造成了一個正方形。這個正方形與下一個可行域線段的交，就是當前真正的可行域。那假如當前可行域是一個線段，它擴散是什麼樣子呢？是一個六邊形，等於線段和正方形的閔可夫斯基和。

一個線段和一個凸包的交怎麼求呢？個人作法比較蒟蒻，把線段和凸包的交點求出來，按交點個數、端點與凸包的位置關係分類討論一下。

咱們不斷地作下去，中途若是出現可行域沒有交了就說明不合法。

接下來是實現細節。

首先，對於\(t\)相同的雨滴，咱們直接把它們的可行域合併，以避免接下來作閔可夫斯基和的時候凸包退化成點或線段。

頭疼的就是這裏了。合併的時候，要分紅線段和線段的交，線段和點的交，點和點的交討論個半天。由於線段和線段能夠直接套SegCross求交點，可是線段和點不能套，會除\(0\)。注意線段平行/重合還要單獨拿出來判，不過顯然若是重合的話\(x,y\)都是相等的，否則就平行也就是沒有交集了，直接cout<<"-1"。

再就是特判的時候有些地方非得用EPS，否則過不了。由於值域爲整數並且範圍只有\(10^3\)，因此EPS設大點不要緊，小於\(\frac{1}{\text{值域}^2}\)就能夠了。

慘痛的教訓：強烈建議不要試圖將此題做爲計算幾何板子的練習題，由於光是討論就不知道比敲板子麻煩到哪裏去了。有些醜陋的板子看不懂的話就去踩蒟蒻的總結吧。

#include<bits/stdc++.h>
#define R register int
#define I inline
#define G if(++ip==ie)if(fread(ip=buf,1,SZ,stdin))
using namespace std;
typedef double DB;
const int SZ=1<<19,N=1e5+9;
const DB EPS=1e-8;
char buf[SZ],*ie=buf+SZ,*ip=ie-1;
inline int in(){
    G;while(*ip<'-')G;
    R x=*ip&15;G;
    while(*ip>'-'){x*=10;x+=*ip&15;G;}
    return x;
}
inline bool is0(DB x){return fabs(x)<EPS;}
struct Vec{
    DB x,y;
    I Vec(){x=y=0;}
    I Vec(DB a){x=a;y=0;}
    I Vec(DB a,DB b){x=a;y=b;}
    I friend istream&operator>>(istream&cin,Vec&a){return a.x=in(),a.y=in(),cin;}
    I Vec operator-(){return Vec(-x,-y);}
    I Vec operator+(Vec a){return Vec(x+a.x,y+a.y);}
    I Vec operator-(Vec a){return Vec(x-a.x,y-a.y);}
    I Vec operator*(DB a){return Vec(x*a,y*a);}
    I Vec operator/(DB a){return Vec(x/a,y/a);}
    I friend Vec operator*(DB a,Vec b){b.x*=a,b.y*=a;return b;}
    I Vec&operator+=(Vec a){x+=a.x,y+=a.y;return*this;}
    I Vec&operator-=(Vec a){x-=a.x,y-=a.y;return*this;}
    I DB operator*(Vec a){return x*a.x+y*a.y;}
    I DB operator^(Vec a){return x*a.y-y*a.x;}
    I bool operator==(Vec a){return is0(x-a.x)&&is0(y-a.y);}
    I friend bool operator<(Vec a,Vec b){
        return (a^b)>0||(is0(a^b)&&Len(a)<Len(b));
    }
    I friend DB Len(Vec a){
        return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y);
    }
}a[N],b[N],c[9],d[9],e;
int t[N],st[N];
I Vec LineCross(Vec a1,Vec a2,Vec b1,Vec b2){
    a2-=a1;b2-=b1;
    return b2^a2?a1+(b2^(b1-a1))/(b2^a2)*a2:Vec(NAN,NAN);
}
I Vec SegCross(Vec&a1,Vec&a2,Vec&b1,Vec&b2){
    Vec c=LineCross(a1,a2,b1,b2);
    return (a1-c)*(a2-c)>EPS||(b1-c)*(b2-c)>EPS?Vec(NAN,NAN):c;
}
I int Convex(Vec*a,R n){
    R k=0,p=0;Vec bs;
    for(R i=1;i<n;++i)
        if(a[i].y<a[k].y||(a[i].y==a[k].y&&a[i].x<a[k].x))k=i;
    swap(a[0],a[k]);bs=a[0];
    for(R i=0;i<n;++i)a[i]-=bs;
    sort(a+1,a+n);
    for(R i=1;i<n;st[++p]=i++)
        while(p&&((a[i]-a[st[p-1]])^(a[st[p]]-a[st[p-1]]))>-EPS)--p;
    for(R i=0;i<=p;++i)a[i]=a[st[i]]+bs;
    return a[p+1]=bs,p+1;
}
I int Minkowski(Vec*a,R n,DB t){
    for(R i=n-1,j=4*n;j;--i){
        a[--j]=a[i]+Vec(-t,-t);
        a[--j]=a[i]+Vec( t,-t);
        a[--j]=a[i]+Vec( t, t);
        a[--j]=a[i]+Vec(-t, t);
    }
    return Convex(a,4*n);
}
I bool Inside(Vec*a,R n,Vec v){//點是否在凸包內
    for(R i=0;i<n;++i)
        if(((a[i+1]-a[i])^(v-a[i]))<-EPS)return 0;
    return 1;
}
I bool Check(R q,DB mid){
    R n=1,p;
    c[0]=e;
    for(R i=1;i<=q;++i){
        n=Minkowski(c,n,(t[i]-t[i-1])*mid);
        for(R j=p=0;j<n;++j){//搞出全部交點，注意去重
            d[p]=SegCross(a[i],b[i],c[j],c[j+1]);
            p+=!(isnan(d[p].x)||(p&&d[p-1]==d[p]));
        }
        if(p==0){//更新當前可行域，討論開始
            if(!Inside(c,n,a[i]))return 0;
            c[0]=a[i],c[1]=b[i];
        }
        else if(p==1){
            if(Inside(c,n,a[i]))
                c[1]=Inside(c,n,b[i])?(d[0]==b[i]?a[i]:b[i]):a[i];
            else c[1]=Inside(c,n,b[i])?b[i]:d[0];
            c[0]=d[0];
        }
        else c[0]=d[0],c[1]=d[1];//討論結束
        n=1+!(c[0]==c[1]);
    }
    return 1;
}
I void Err(bool f){if(f)cout<<"-1\n",exit(0);}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    R n=in(),q=0,w=in(),h=in(),lx=0,ly=0;
    cin>>e;
    for(R i=1;i<=n;++i){
        R tt=in(),x=in(),y=in();
        Vec u=0,v=0;//求可行域線段，討論開始
        if((u.x=(DB)x*h/(h-y))>w)u=Vec(w,(DB)(x*h-(h-y)*w)/y);
        if((v.y=(DB)x*h/y    )>w)v=Vec((DB)(x*h-y*w)/(h-y),w);//討論結束
        if(tt!=t[q])++q,a[q]=u,b[q]=v;//合併t相同的可行域，討論開始
        else if(a[q]==b[q]){
            if(u==v)Err(!(u==a[q]));//點交點
            else Err(!is0((u-a[q])^(v-a[q])));//點交線段
        }
        else if(x!=lx||y!=ly){
            if(u==v)Err(!is0((u-a[q])^(u-b[q])));//點交線段
            else Err(isnan((u=SegCross(a[q],b[q],u,v)).x));//線段交線段
            a[q]=b[q]=u;
        }//討論結束
        t[q]=tt;lx=x;ly=y;
    }
    DB l=0,r=w,mid;
    while((r-l)/max(1.0,l)>1e-4)
        mid=(l+r)/2,(Check(q,mid)?r:l)=mid;
    cout<<fixed<<setprecision(6)<<(l+r)/2<<'\n';
    return 0;
}