閔可夫斯基和（Mincowsky sum）

1、概述

官方定義：兩個圖形A,B的閔可夫斯基和C={a+b|a∈A,b∈B}
通俗一點：從原點向圖形A內部的每個點作向量，將圖形B沿每一個向量移動，全部的最終位置的並即是閔可夫斯基和（具備交換律）

 

例如，平面上有兩個三角形，其座標分別爲A={(1,0),(0,1),(0,-1)}及B = {(0, 0), (1, 1), (1, −1)}，則其閔可夫斯基和爲A + B = {(1, 0), (2, 1), (2, −1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, −1), (1, 0), (1, −2)}。若推廣至流形的連續集，閔可夫斯基和從幾何上的直觀體現便是A集合沿B的邊際連續運動一週掃過的區域與B集合自己的並集，也可以使B沿着A的邊界連續運動掃過區域與A自身的並集。

 

 

本文只討論凸包的閔可夫斯基和。以下圖，粉色區域即是三角形和一個不規則四邊形的閔可夫斯基和

 

2、怎麼求

閔可夫斯基和的邊是由兩凸包構成的
也就是說把兩凸包的邊極角排序後直接順次連起來就是閔可夫斯基和

 

凸包確定會存在於A的凸包+B的凸包上。

 咱們能夠給這個兩個點集作一次凸包，而後再從這兩個點集中分別x最小中y最小的點開始。

      出來以後，多是這樣的。

 

 

 就是M點開始，咱們進行找點運動。

      能夠感性理解：下一個凸包上的點是或者。前提是已經作好凸包，也就是說，點是逆時針排布的。

      因此這樣，咱們就能夠作出來了。 

 

3、算法

求凸包之間的閔可夫斯基和的方法。
把兩個凸包的每一條向量都摳出來，按照極角序排序構成新凸包便可。
注意點和向量的去重(向量相同斜率去重)。

還有個地方能夠提一下：求多個凸包的閔可夫斯基和的時候能夠直接全把邊拿出來一塊求，沒有必要兩個兩個求。
具體實現的時候，找出最高且最靠左的點。

先把這個點加入答案，從這個點開始把全部向量遍歷一遍，最後去掉最後一個點便可(最後這個點會和第一個點重合)。
下面是C++的代碼實現：

  pot P={-inf,-inf},Q={-inf,-inf},R={-inf,-inf};
    n=read(); 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i].x=read();a[i].y=read();
        if(dcmp(a[i].y-P.y)==0&&dcmp(a[i].x-P.x)<0)P=a[i];
        if(dcmp(a[i].y-P.y)>0)P=a[i];
        if(i!=1)f[++cnt]=a[i]-a[i-1];if(i==n)f[++cnt]=a[1]-a[i];
    }
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        b[i].x=read();b[i].y=read();
        if(dcmp(b[i].y-Q.y)==0&&dcmp(b[i].x-Q.x)<0)Q=b[i];
        if(dcmp(b[i].y-Q.y)>0)Q=b[i];
        if(i!=1)f[++cnt]=b[i]-b[i-1];if(i==n)f[++cnt]=b[1]-b[i];
    }
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        c[i].x=read();c[i].y=read();
        if(dcmp(c[i].y-R.y)==0&&dcmp(c[i].x-R.x)<0)R=c[i];
        if(dcmp(c[i].y-R.y)>0)R=c[i];
        if(i!=1)f[++cnt]=c[i]-c[i-1];if(i==n)f[++cnt]=c[1]-c[i];
    }
    sort(f+1,f+cnt+1,cmp);
    pot k=P+Q+R;p[++tot]=k;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        k=k+f[i];
        if(i!=cnt&&dcmp(f[i].x*f[i+1].y-f[i].y*f[i+1].x)==0)continue;
        p[++tot]=k;
    }
    tot--;
k=p[1];