計算幾何之凸包模板

 凸包複習

  幾何專題刷了有大半年了，忽然發現之前學的居然忘的差很少了，下午又花了點時間複習一下，感受挺簡單的（全是靠模板。。

  資料上沒有適合本身的模板，因而複習一下本身整理一下模板。

  先來接觸點預備函數：

 1、 點的定義：

int n,tot;//n爲二維平面上點的個數，tot爲凸包上點的個數
struct node
{
    int x,y;
}a[N],p[N];//p[]用來儲存凸包

2、距離公式：

double dis(node a,node b)
{
    return (a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y);
}

3、 叉積：返回結果爲正說明p2在向量p0p1的左邊（三點構成逆時針方向）；爲負則相反；爲0則三點共線(叉積的性質很重要)

double multi(node p0,node p1,node p2)
{
    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}

4、 極角排序： 極角排序是根據座標系內每個點與x軸所成的角，逆時針比較，。按照角度從小到大的方式排序。

int cmp(node p1,node p2)//極角排序；
{
    int x=multi(p1,p2,a[0]);
    if(x>0||(x==0&&dis(p1,a[0])<dis(p2,a[0]))) return 1;
    return 0;
}

graham 算法：O(nlogn)

void Graham()
{
    int k=0;        
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(a[i].y<a[k].y||(a[i].y==a[k].y&&a[i].x<a[k].x)) k=i;
    swap(a[0],a[k]);
    sort(a+1,a+n,cmp);
    tot=2,p[0]=a[0],p[1]=a[1];
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        while(tot>1&&multi(p[tot-1],p[tot-2],a[i])>=0) tot--;
        p[tot++]=a[i];
    }
}

 以上鍊接起來就是求凸包的模板。

 

 光有代碼不行，還得懂原理

 附一篇較好的博客：傳送門

 

  看懂了那篇博客基本上凸包就已經會了。

  先用一個經典問題來引入吧： 在一片有限區域的草坪上有n個木樁（n>=3），如今要求用一根繩子將這些木樁圍起來，求所需繩子的最短周長。

  以上問題中繩子所圍成的圖形就是一個凸包。要求周長，那麼必須先要求出繩子接觸了哪些木樁。

  求凸包有若干種方法，這裏只介紹Graham算法。

  大體思路：先肯定凸包上一個點，再用這個點做爲參照將剩餘的點進行極角排序，根據性質能夠獲得凸包上的第二個點，再用已知的凸包上的點利用叉積的性質進行肯定下一個點，直到圍成一個凸包。

① 先肯定凸包上的一個點，咱們知道橫縱座標最大或最小的點確定在凸包上，咱們就選取縱座標最小的點做爲第一個點，若是有多個縱座標最小的點怎麼辦呢，咱們選取橫座標最小的點。這是爲極角排序作準備。

② 極角排序：上面提到了極角排序的定義，咱們能夠以選取的第一個點p0做爲原點（參照），其餘點與p0點的連線與x軸的夾角進行排序，若是夾角相同怎麼辦呢，按與p0的距離排序，這一步考驗對叉積的性質利用。

③  除了p0，排序後的第一個點p1和最後一個點必定是凸包上的點，想一想爲何。這樣咱們就獲得了p0,p1,咱們把它們放入棧裏，如今用p0,p1來肯定p2（棧頂的兩個點來肯定下一個點），仍是用叉積的性質，棧頂兩個點連成線（向量），看當前點是在直線的左邊仍是右邊，若是在右邊，說明棧頂的那個點不是凸包上的點，退棧便可，而後重複判斷棧頂兩個元素與當前元素的關係；反之，則說明當前點是凸包上的點。

④  將當前點入棧，若是當前點不是凸包上的點，後面的點天然會將這個點gank。對下一個點進行相同的操做。最後棧中的點就是凸包上的點啦。

 

 詳細請參考上面代碼。

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