神奇的伽瑪函數(1)—— 伽瑪函數的由來

　　伽瑪函數（Gamma函數），也叫歐拉第二積分，是階乘函數在實數與複數上擴展的一類函數。伽瑪函數在分析學、機率論、偏微分方程和組合數學中有重要的應用。

　　咱們一般看到的伽瑪函數是這樣的：

　　這究竟是個什麼東西？有什麼用？歐拉又是怎麼發現它的？

　　歐拉大神

伽瑪函數的原由

　　發現伽瑪函數的原由是數列插值。數列插值問題，通俗地說就是把數列的通項公式從整數定義域擴展到實數。例如數列1,4,9,16,.....能夠用通項公式n²表達，即使n爲實數的時候，這個通項公式也是良好定義的。直觀的說，就是能夠找到一條平滑的曲線y = x²，該曲線可以經過全部的整數點(x, x²)，從而能夠把定義在整數域的公式擴展到實數域。

　　1728年，哥德巴赫開始處理階乘序列的插值問題：1,2,6,24,120,720,...，既然能夠計算2!, 3!,…，是否能夠計算2.5!呢？把最初的一些(n, n!)的點畫在座標軸上，確實能夠看到，可以畫出一條經過這些點的平滑曲線。問題是，這條曲線是什麼？

　　哥德巴赫沒法解決階乘往實數域上擴展的這個問題，因而寫信請教尼古拉斯·貝努利和丹尼爾·貝努利兩兄弟，因爲歐拉當時正好和丹尼爾·貝努利在一塊玩，他也所以得知了這個問題。以後歐拉於1729年完美地解決了這個問題，由此致使了伽瑪函數的誕生。當時歐拉只有 22 歲，這讓我感受本身就是混吃等死的。

發現伽瑪函數

　　在某一個特殊的時刻，歐拉發現階乘n!能夠用一個無窮乘積表示：

　　若是有m項乘積：

　　當m遠遠大於n時，上式可繼續計算：

　　

　　當m→∞時，無窮乘積的極限：

　　很難想像在沒有計算機的年代可以發現這個變態的無窮乘積，估計歐拉當年是根據極限倒推無窮乘積，而後對外宣稱在機緣巧合下發現了無窮乘積。

　　值得注意的是，n!明顯不等於③，③又是由②整理而來的，所以n!也不等於②，而是在m→∞時n!等於②或③的極限。以n = 2爲例，n! = 2，m是二、50、100時，②的結果分別是1.五、1.961538461538461七、1.980392156862745，展開的越多，越接近於n!。

　　

　　有了這個無窮乘積，歐拉便開用1/2代入①進行嘗試：

　　根號裏面的東西是英國數學家沃利斯（John Wallis）在1665年寫下的沃利斯公式：

　　因而歐拉把沃利斯公式折半：

　　π真是一個神奇的數字！

　　1665年牛頓還很小，尚未發明積分，沃利斯用各類巧妙的技巧獲得了這個結論，推導過程其實是在處理。受沃利斯的啓發，歐拉開始考慮以下的通常形式的積分：

　　此處n爲正整數，a爲正實數。利用分部積分：

　　繼續使用分部積分：

　　上面全部遞推合併到一塊兒就獲得了最終的結果：

　　如今階乘變成了積分的形式。然而這個式子的前提是n是正整數，沒法推廣到分數，歐拉繼續研究如何化簡這個表達式。a是一個任意實數，可否讓a消失？一個慣用的方法是取極端值，a > 0的一個極端是無窮，看看讓a趨近於無窮時會獲得什麼結果。這裏歐拉使用的技巧是讓a等於兩個實數的商：

　　等式兩側同時除以(f+g)(f+2g)…(f+ng)：

　　當f→1，g→0時，左側趨近於n!，可是右側出現了討厭的0分母，此時爲了簡化計算：

　　將上式結論代入④：

　　用求極限的方式去掉f和g：

　　當f→1，g→0時h→0，(1-t^h)/h的極限變成了0/0的形式，在洛必達法則的幫助下，0/0形和∞/∞形的極限也是能夠求解的。令u(h) = 1-t^h，v(h) = h，根據洛必達法則：

　　因而在對⑤的等式兩側求極限時，神奇的一幕出現了：

　　任意實數a已經消失了，n!變成了一個簡潔的積分形式。繼續變換：

　　這就是歐拉最先定義的伽瑪函數，實際上就是階乘擴展到實數範圍：

　　可是歐拉後來修改了伽瑪函數的定義，變成了：

　　這也是如今咱們所說的伽瑪函數，⑥和⑦是兩種表達，⑦更爲常見，從積分域能夠看出t和u的取值範圍。

 

　　本文參考：https://cosx.org/2013/01/lda-math-gamma-function

---

　　出處：微信公衆號 "我是8位的"

　　本文以學習、研究和分享爲主，如需轉載，請聯繫本人，標明做者和出處，非商業用途！ 

　　掃描二維碼關注做者公衆號「我是8位的」