現代控制工程（二）狀態方程的解

文章目錄

• 線性定常齊次狀態方程的解
• 1. 用矩陣指數函數直接求解
• 2. 用拉氏變換求解
• 矩陣指數函數
• 矩陣指數函數的性質
• 矩陣指數函數的應用
• 狀態轉移矩陣
• 狀態轉移矩陣的性質
• 狀態轉移矩陣的應用
• 例 1
• 例 2
• 例 3
• 例 4

本章重點討論的是線性定常連續系統狀態方程求解的方法。

線性定常齊次狀態方程的解

對於線性定常系統：
$\left\{\begin{matrix} \dot x=Ax+Bu\\ y=Cx+Du \end{matrix}\right. ,x(t_0)=x(0)${x˙=Ax+Buy=Cx+Du​,x(t0​)=x(0)
當外加輸入函數 u=0 時，上述狀態空間表達式爲：
$\left\{\begin{matrix} \dot x=Ax\\ y=Cx \end{matrix}\right. ,x(t_0)=x(0)${x˙=Axy=Cx​,x(t0​)=x(0)
此時的狀態方程叫做線性定常齊次狀態方程(LTI homogeneous state equation)，因系統狀態的運動是在沒有外加輸入控制下由系統的初始狀態引起的，因此控制系統的運動也稱爲自由運動。初始狀態不爲 0 時的運動爲強迫運動。

齊次狀態方程可在時域內直接求解，也可以用拉普拉斯變換求解。

1. 用矩陣指數函數直接求解

先假設線性定常齊次狀態方程的解爲時間 t 的冪級數形式，即
$x(t) =b_0+b_1t+b_2t^2+L+b_kt^k +\cdots$x(t)=b0​+b1​t+b2​t2+L+bk​tk+⋯
注意上式中 $b_i(i=1,2,\cdots)$bi​(i=1,2,⋯) 爲待定係數矩陣。當 t=0 時， $x(0)=b_0$x(0)=b0​ 。
將所設的解帶入原方程中可得
$b_1+2b_2t+3b_3t+\cdots+kb_kt^{k-1}+\cdots=A(b_0+b_1t+b_2t^2+L+b_kt^k +\cdots)$b1​+2b2​t+3b3​t+⋯+kbk​tk−1+⋯=A(b0​+b1​t+b2​t2+L+bk​tk+⋯)
由於上式對所有的時間 t 都要成立,因此等式兩邊同冪項的係數應相等，即:
$b_0=x(0)$b0​=x(0)
$b_1=Ab_0$b1​=Ab0​
$b_2=\frac 1 2 Ab_1=\frac 1 {2!} A^2b_0$b2​=21​Ab1​=2!1​A2b0​
$b_3=\frac 1 3 Ab_2=\frac 1 {3!} A^3b_0$b3​=31​Ab2​=3!1​A3b0​
$\cdots$⋯
$b_k=\frac 1 k Ab_{k-1}=\frac 1 {k!} A^k3b_0$bk​=k1​Abk−1​=k!1​Ak3b0​
$\cdots$⋯
因此齊次方程的解可以寫成：
$x(t)=(I+At+\frac 1 {2!}A^2t^2+\cdots+\frac 1 {k!}A^kt^k+\cdots)x(0)$x(t)=(I+At+2!1​A2t2+⋯+k!1​Aktk+⋯)x(0)
對於方陣，由其組成的無窮矩陣級數的和類似於純量指數，定義爲矩陣指數函數(Matrix Exponential Function)，記爲
$e^{At}=I+At+\frac 1 {2!}A^2t^2+\cdots+\frac 1 {k!}A^kt^k+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1 {k!}A^kt^k$eAt=I+At+2!1​A2t2+⋯+k!1​Aktk+⋯=k=0∑∞​k!1​Aktk
所以，線性定常齊次狀態方程式的解也可寫成
$x(t)=e^{At}x(0)$x(t)=eAtx(0)
按矩陣指數函數法求解齊次狀態方程，在已知初始狀態 x(0)的基礎上，需要求解矩陣指數函數 $e^{At}$eAt ，這給人工計算帶來不便。

但級數展開式中的每一項適合於用計算機計算。

2. 用拉氏變換求解

對於線性定常齊次狀態方程式也可用拉普拉斯變換求解，它的求解方法與純量一階微分方程求解相似。對方程式兩邊取拉氏變換得：

拉普拉斯變換時域的 $f'(t)$f′(t) 對應於 s 域的 $sF(s)-f(0)$sF(s)−f(0)

$sX(s)-x(0)=AX(s)$sX(s)−x(0)=AX(s)
整理得到
$(sI-A)X(s)=x(0)$(sI−A)X(s)=x(0)
故
$X(s)=(sI-A)^{-1}x(0)$X(s)=(sI−A)−1x(0)
對兩邊取拉氏反變換得
$x(t)=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]x(0)$x(t)=L−1[(sI−A)−1]x(0)

所以我們得到了兩種微分方程的解，所以有微分方程解的唯一性可知：
$e^{At}=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]$eAt=L−1[(sI−A)−1]
採用拉氏變換法適合人工求解，且一般均能獲得解析形式的結果。

矩陣指數函數

可以看到，要解狀態方程，實際上只需要求出矩陣指數函數就可以了。下面討論矩陣指數函數的性質

矩陣指數函數的性質

n×n 維方陣 A 的矩陣指數函數 $e^{At}$eAt 是一個無窮級數，可以證明該級數對所有有限時間是絕對收斂的。具有以下性質：

1. $e^{At}\dot e^{A\tau}=e^{A(t+\tau)}$eAte˙Aτ=eA(t+τ)
2. $e^{A\dot 0}=I$eA0˙=I
3. $e^{-At}=[e^{At}]^{-1}$e−At=[eAt]−1
4. 若 A 和 B 可交換，即 AB=BA ，則 $e^{(A+B)t}=e^{At}\dot e^{Bt}$e(A+B)t=eAte˙Bt
   若 A 和 B 不可交換，即 $AB\neq BA$AB̸​=BA ，則 $e^{(A+B)t}\neq e^{At}\dot e^{Bt}$e(A+B)t̸​=eAte˙Bt
5. 若矩陣 $A_{n\times n}$An×n​ 有不相等的特徵值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$λ1​,λ2​,⋯,λn​, $\overline A$A 爲對角矩陣。則
   $\overline A=diag[\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n]=\begin{bmatrix} \lambda_1 & & & 0\\ &\lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_n \end{bmatrix}$A=diag[λ1​,λ2​,⋯,λn​]=⎣⎢⎢⎡​λ1​0​λ2​​⋱​0λn​​⎦⎥⎥⎤​
   則對角矩陣 $\overline A$A 的矩陣指數函數爲
   $e^{\overline A t}=diag[e^{\lambda_1 t},e^{\lambda_2 t},\cdots,e^{\lambda_n t}]$eAt=diag[eλ1​t,eλ2​t,⋯,eλn​t]
6. 若矩陣 $A_{n\times n}$An×n​ 有不相等的特徵值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$λ1​,λ2​,⋯,λn​, $\overline A$A 爲對角矩陣。則有線性變換
   $x=M\overline x$x=Mx
   使得 $\overline A=M^{-1}AM=diag[\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n]$A=M−1AM=diag[λ1​,λ2​,⋯,λn​]
   $e^{\overline A t}=M^{-1}e^{ A t}M=diag[e^{\lambda_1 t},e^{\lambda_2 t},\cdots,e^{\lambda_n t}]$eAt=M−1eAtM=diag[eλ1​t,eλ2​t,⋯,eλn​t]
   $e^{A t}=Me^{\overline A t}M^{-1}$eAt=MeAtM−1
   特別是，當 A 爲可控標準型時，變換矩陣 M 爲範德蒙矩陣 $M=\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ \lambda_1& \lambda_2 &\cdots & \lambda_n\\ \vdots& \vdots &\ddots &\vdots \\ \lambda_1^{n-1}& \lambda_2^{n-1} &\cdots & \lambda_n^{n-1} \end{bmatrix}$M=⎣⎢⎢⎢⎡​1λ1​⋮λ1n−1​​1λ2​⋮λ2n−1​​⋯⋯⋱⋯​1λn​⋮λnn−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​
7. 若矩陣 $J_i$Ji​ 爲 $m_i\times m_i$mi​×mi​ 階約當矩陣，即 $J_i=\begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & & 0\\ &\lambda_i & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ 0 & & & \lambda_i \end{bmatrix}_{m_i\times m_i}$Ji​=⎣⎢⎢⎡​λi​0​1λi​​⋱⋱​01λi​​⎦⎥⎥⎤​mi​×mi​​
   則 $e^{J_it}=e^{\lambda_it}=\begin{bmatrix} 1&{\rm{t}}&{\frac{{{t^2}}}{{2!}}}& \cdots &{\frac{{{t^{{m_i} - 1}}}}{{({m_i} - 1)!}}}\\ 0&1&t& \cdots &{\frac{{{t^{{m_i} - 2}}}}{{({m_i} - 2)!}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&1&t\\ 0&0&0&0&1 \end{bmatrix}$eJi​t=eλi​t=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​10⋮00​t1⋮00​2!t2​t⋱00​⋯⋯⋱10​(mi​−1)!tmi​−1​(mi​−2)!tmi​−2​⋮t1​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​
   即對角線上元素全爲 1 ，往上 k 次變爲 $\frac {t^k}{k!}$k!tk​.
8. 若矩陣 $A_{n\times n}$An×n​ 有重特徵值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$λ1​,λ2​,⋯,λm​,且 $J=T^{-1}AT=\begin{bmatrix} {{J_1}}&{}&{}&{}\\ {}&{{J_2}}&{}&{}\\ {}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{{J_m}} \end{bmatrix}_{m_i\times m_i}$J=T−1AT=⎣⎢⎢⎡​J1​​J2​​⋱​Jm​​⎦⎥⎥⎤​mi​×mi​​
   則 $e^{Jt}=T^{-1}e^{At}T=\begin{bmatrix} {{e^{{J_1}t}}}&{}&{}&0\\ {}&{{e^{J_2t}}}&{}&{}\\ {}&{}& \ddots &{}\\ 0&{}&{}&{{e^{{J_m}t}}} \end{bmatrix}_{m_i\times m_i}$eJt=T−1eAtT=⎣⎢⎢⎡​eJ1​t0​eJ2​t​⋱​0eJm​t​⎦⎥⎥⎤​mi​×mi​​
9. 矩陣指數函數 $e^{At}$eAt 的導數爲
   $\frac {\mathrm{d} e^{At}}{\mathrm{d} t}=Ae^{At}=e^{At}A$dtdeAt​=AeAt=eAtA
   也就是說該導數和純量導數是一致的。
10. 若矩陣 $A_{n\times n}$An×n​ 有 n 個特徵值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$λ1​,λ2​,⋯,λn​,則矩陣指數函數可以表示爲有限項之和:
    $e^{At}=\sum_{i=0}^{n-1}A^i \alpha_i(t)$eAt=i=0∑n−1​Aiαi​(t)
    • 若 n 個特徵值互不相同，則
      $\begin{bmatrix} \alpha_0(t)\\ \alpha_1(t)\\ \vdots\\ \alpha_{n-1}(t) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&{{\lambda _1}}& \cdots &{\lambda _1^{n - 1}}\\ 1&{{\lambda _2}}& \cdots &{\lambda _2^{n - 1}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1&{{\lambda _n}}& \cdots &{\lambda _n^{n - 1}} \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t}\\e^{\lambda_2 t}\\\vdots\\e^{\lambda_n t} \end{bmatrix}$⎣⎢⎢⎢⎡​α0​(t)α1​(t)⋮αn−1​(t)​⎦⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​11⋮1​λ1​λ2​⋮λn​​⋯⋯⋱⋯​λ1n−1​λ2n−1​⋮λnn−1​​⎦⎥⎥⎥⎤​−1⎣⎢⎢⎢⎡​eλ1​teλ2​t⋮eλn​t​⎦⎥⎥⎥⎤​
    • 若特徵值相同且均爲 $\lambda$λ ，則
      $\begin{bmatrix} {{\alpha _0}(t)}\\ {{\alpha _1}(t)}\\ \vdots \\ {{\alpha _{n - 1}}(t)} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0& \cdots &1\\ 0&0& \cdots &{(n - 1)\lambda }\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ 0&1& \cdots &{(n - 1){\lambda ^{n - 2}}}\\ 1&\lambda & \cdots &{{\lambda ^{n - 1}}} \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} {\frac{t^{n-1}}{{(n - 1)!}}{e^{\lambda t}}}\\ {\frac{t^{n-2}}{{(n - 2)!}}{e^{\lambda t}}}\\ \vdots \\ {t{e^{\lambda t}}} \\ e^{\lambda t} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&\lambda & \lambda^2&\cdots &{{\lambda ^{n - 1}}}\\ 0&1&2\lambda& \cdots &{(n - 1){\lambda ^{n - 2}}}\\ \vdots & \vdots &\vdots&{}& \vdots \\ 0&0&0& \cdots &{(n - 1)\lambda }\\ 0&0&0& \cdots &1\\ \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} e^{\lambda t}\\ {t{e^{\lambda t}}} \\ \vdots \\ {\frac{t^{n-2}}{{(n - 2)!}}{e^{\lambda t}}}\\ {\frac{t^{n-1}}{{(n - 1)!}}{e^{\lambda t}}}\\ \end{bmatrix}$⎣⎢⎢⎢⎡​α0​(t)α1​(t)⋮αn−1​(t)​⎦⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​00⋮01​00⋮1λ​⋯⋯⋯⋯​1(n−1)λ⋮(n−1)λn−2λn−1​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​−1⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​(n−1)!tn−1​eλt(n−2)!tn−2​eλt⋮teλteλt​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​10⋮00​λ1⋮00​λ22λ⋮00​⋯⋯⋯⋯​λn−1(n−1)λn−2⋮(n−1)λ1​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​−1⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​eλtteλt⋮(n−2)!tn−2​eλt(n−1)!tn−1​eλt​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

矩陣指數函數的應用

例題：已知 $\dot x=\begin{bmatrix} 0&1\\ -2&-3 \end{bmatrix}x$x˙=[0−2​1−3​]x, $x(t)|_{t=0}=x(0)$x(t)∣t=0​=x(0),求解方程
解：要求解該齊次狀態方程的解，關鍵是矩陣指數函數 $e^{At}$eAt 的求解。根據前面所述，可採用以下四種方法。
方法 1 ：定義法：
$e^{At}=I+At+\frac 1 {2!}A^2t^2+\cdots+\frac 1 {k!}A^kt^k+\cdots\\=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&t\\-2t&-3t\end{bmatrix}+\frac 1 {2!}\begin{bmatrix} -2t^2&-3t^2\\6t^2&7t^2\end{bmatrix}+\cdots$eAt=I+At+2!1​A2t2+⋯+k!1​Aktk+⋯=[10​01​]+[0−2t​t−3t​]+2!1​[−2t26t2​−3t27t2​]+⋯
方法 2 ：由拉普拉斯變換法求：

方法 3 ：由線性變換求
根據性質 5 和性質 6
因爲可以看到 A 的特徵值全部都是不相同的， M 矩陣就是範德蒙矩陣。

方法 4 ：由矩陣指數函數的性質 10 來求

由以上四種方法求出矩陣指數函數後，由線性定常系統齊次狀態方程解的表達式 $x(t)=e^{At}x(0)$x(t)=eAtx(0) 得：

狀態轉移矩陣

由線性定常系統齊次狀態方程的解可知，若以 t ＝ 0 作爲初始時間，系統在任意 t ≥ 0 時刻的狀態向量是由初始時刻狀態按規律進行轉移的。因此矩陣指數函數亦稱狀態轉移矩陣，記爲
$\phi(t)=e^{At}$ϕ(t)=eAt
此時 $x(t)=e^{At}x(0)$x(t)=eAtx(0)
更一般地，若以 $t=t_0$t=t0​ 作爲初始時間，系統狀態的初始值爲 $x(t_0)$x(t0​) ，則系統在任意時刻 $t\geq t_0$t≥t0​ 的狀態亦可由初始狀態轉移而來，即：
$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)$x(t)=eA(t−t0​)x(t0​)
因爲 $x(t)=e^{At}x(0)$x(t)=eAtx(0) ， $x(t_0)=e^{At_0}x(0)$x(t0​)=eAt0​x(0),所以可以推導得到上式。
此時系統的狀態轉移矩陣記爲 $\phi(t,t_0)=e^{A(t-t_0)}$ϕ(t,t0​)=eA(t−t0​)
$\begin{cases} x(t)=\phi(t)x(0)\\ x(t)=\phi(t-t_0)x(t_0) \end{cases}${x(t)=ϕ(t)x(0)x(t)=ϕ(t−t0​)x(t0​)​
從時間角度看，狀態轉移矩陣使狀態向量隨着時間的推移在不斷地作座標變換，也就是不斷在狀態空間中作轉移，故稱爲狀態轉移矩陣。其物理意義如下圖所示：

狀態轉移矩陣的性質

1. 不變性
   $\phi(t,t)=e^{A0}=I$ϕ(t,t)=eA0=I
2. 狀態轉移矩陣滿足其狀態方程本身 ( 第一個 $\phi$ϕ 上面有一個點，表示導數)
   $\dot \phi(t,t_0)=A\phi(t-t_0)$ϕ˙​(t,t0​)=Aϕ(t−t0​)
3. 可逆性
   $\phi^{-1}(t_2,t_1)=\phi(t_1,t_2)$ϕ−1(t2​,t1​)=ϕ(t1​,t2​)
   轉移矩陣的逆矩陣意味着轉移時間的倒轉，即從 t1 到 t2 的轉移矩陣等於從 t2 到 t1 的轉移矩陣的逆
4. 分解性
   $\phi(t_1+t_2)=e^{A(t_1+t_2)}=e^{At_1}e^{At_2}=\phi(t_1)\phi(t_2)$ϕ(t1​+t2​)=eA(t1​+t2​)=eAt1​eAt2​=ϕ(t1​)ϕ(t2​)
   路徑無關
5. 由性質 4 可得，
   $[\phi(t)]^n=\phi(nt)$[ϕ(t)]n=ϕ(nt)
   表示由 t=0 時刻狀態轉移 n 次，等於由 t=0 到 nt 時刻的狀態轉移，路徑無關。
6. 傳遞性
   $\phi(t_2,t_1)\phi(t_1,t_0)=\phi(t_2,t_0)$ϕ(t2​,t1​)ϕ(t1​,t0​)=ϕ(t2​,t0​)

狀態轉移矩陣的應用

例 1

解：根據性質 2 ： $\dot \phi(t,0)=A\phi(t-0)$ϕ˙​(t,0)=Aϕ(t−0) 當 t=0 即 $\dot \phi(t)|_{t=0}=A\phi(t)|_{t=0}=A*I=A$ϕ˙​(t)∣t=0​=Aϕ(t)∣t=0​=A∗I=A
所以 $A=\dot \phi(t)|_{t=0}=\begin{bmatrix} { - 2{e^{ - t}} + 2{e^{ - 2t}}}&{2( - 2{e^{ - 2t}} + {e^{ - t}})}\\ { - {e^{ - t}} + 2{e^{ - 2t}}}&{ - 4{e^{ - 2t}} + {e^{ - t}}} \end{bmatrix}|_{t=0}=\begin{bmatrix} 0&-2\\ 1&-3 \end{bmatrix}$A=ϕ˙​(t)∣t=0​=[ 2 1 − 3 ] A=\dot \phi(t)|_{t=0}=\begin{bmatrix} { - 2{e^{ - t}} + 2{e^{ - 2t}}}&{2( - 2{e^{ - 2t}} + {e^{ - t}})}\\ { - {e^{ - t}} + 2{e^{ - 2t}}}&{ - 4{e^{ - 2t}} + {e^{ - t}}} \end{bmatrix}|_{t=0}=\begin{bmatrix} 0&-2\\ 1&-3 \end{bmatrix} A=ϕ˙​(t)∣t=0​=[−2e−t+2e−2t−e−t+2e−2t​2(−2e−2t+e−t)−4e−2t+e−t​]∣t=0​=[01​−2−3​]

例 2

解： $x(t)=\phi(t-t_0)x(t_0)$x(t)=ϕ(t−t0​)x(t0​) ，所以需要求 $\varphi ($