矩陣樹定理學習筆記

很差意思本垃圾只會記結論

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仍是瞎bb兩句了

行列式

對矩陣

\[A=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\dots&a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots&a_{2,n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&a_{n-1,3}&\dots&a_{n-1,n}\\a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&\dots&a_{n,n}\end{bmatrix}\]

它的行列式定義爲

\[\det A=\sum (-1)^ra_{1,p_1}a_{2,p_2}\cdots a_{n,p_n}\]

其中\(p\)是\(1\sim n\)的排列，\(r\)是這個排列的逆序對數

求行列式

• \[A=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\dots&a_{1,n}\\0&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots&a_{2,n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\dots&a_{n-1,n}\\0&0&0&\dots&a_{n,n}\end{bmatrix}\]

  這樣相似的上or下三角矩陣，有\(\det A=\prod_{i=1}^n a_{i,i}\)

• 交換矩陣的任意兩行or兩列，矩陣的行列式變爲原來的相反數。

  • 能夠從元素不變，逆序對改變說明

  推論：矩陣有兩行or兩列的元素同樣，矩陣的行列式爲\(0\)

• 矩陣某行or某列全乘上\(k\)，那麼矩陣的行列式也乘上\(k\)

  推論：能夠提取某行or某列的公因數

  推論：某兩行或某兩列成係數，行列式爲\(0\)

• 兩個只有一行or一列不一樣的矩陣的行列式之和等於這一行or一列相加，其餘不變元素的矩陣的行列式。

• 若是把矩陣的某一行(列)加上另外一行(列)的k倍，則行列式的值不變。

• 因而咱們可使用高斯消元把矩陣削成三角形，而後直接求出來就好了。

  • 在\(R\)意義下作高斯校園仍是用小數就能夠了，最後輸出\(.0lf\)
  • 在\(\bmod\)某些數的意義下，若是爲質數比較好弄，若是不是質數，使用展轉相除法作，多一個\(\log\)，例題，小Z的房間

• 一些能夠用的好東西

  • 行列式等於它的任一行（列）的各元素與其對應的代數餘子式乘積之和
  • 餘子式：在\(n\)階行列式中，把元素\(a_{i,j}\)所在第\(i\)行和第\(j\)行劃去後，留下的\(n-1\)階行列式叫元素\(a_{i,j}\)的餘子式，記作\(M_{i,j}\)，定義代數餘子式爲\(A_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}\)
  • 你能夠用它來找一些特殊矩陣的規律，而後說不定能夠找到行列式的簡單求法。

矩陣樹定理

• 定義一個無向圖\(G\)的度數矩陣\(D(G)\)爲\(d_{i,i}\)爲點\(i\)的度數，其他爲\(0\)
• 定義一個無向圖\(G\)的鄰接矩陣\(A(G)\)，就是你不用前向星存邊的那個存邊矩陣。
• 定義一個無向圖\(G\)的基爾霍夫矩陣\(C(G)=D(G)-A(G)\)
• \(G\)的全部不一樣生成樹個數等於其基爾霍夫矩陣的\(n-1\)階主子式的行列式的值
• 主子式：你把矩陣隨便削一行和一列以後拼起來的矩陣。