[學習筆記] 行列式與矩陣樹定理

[學習筆記] 行列式與矩陣樹定理

行列式

線性代數真是好東西

定義

設 $n$ 階方陣 $ A$ 的行列式爲 $\det(A)$, 則: $$ \det(A)=\sum_{p\in P} ( -1)^{\delta(p)} \prod_{k=1}^nA_{k,p_k} $$ 其中 $P$ 爲全部 $n$ 階排列組成的集合, $\delta(p)$ 表示排列 $p$ 中的逆序對個數.

本質上是 $n$ 維歐氏空間應用線性變換 $A$ 後 $n$ 維超體積產生的變化係數.

性質

只說幾個比較顯然比較經常使用的好了...

1. $|A|=|A^T|$. (定義式並無行和列的區別)

2. $|AB|=|A|\times|B|$. (從本質理解. 矩陣乘法至關於連續應用兩個線性變換, 體積變化應該相乘.)

3. 行列式某一行/列都乘 $k$, 行列式值變爲原來 $k$ 倍. (定義中的和式的每一項都剛好包含某一行中的一項, 因而恰好每一項都多了個 $k$.) $$ D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \{\color {blue}k}a_{i1}&{\color {blue}k}a_{i2}&\dots &{\color {blue}k}a_{in}\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k}D_{1} $$

4. 行列式某兩行/列線性相關, 則行列式值爲 $0$. (從行列式的本質理解. 非滿秩的矩陣會降維, 因而體積就被壓沒了.) $$ {\begin{vmatrix}{\color {blue}2}&{\color {blue}2}&\dots &{\color {blue}2}\{\color {blue}8}&{\color {blue}8}&\dots &{\color {blue}8}\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}=0 $$

5. 交換行列式某兩行/列, 行列式值變號. (定義式中的符號和逆序對有關.) $$ {\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \{\color {blue}{a_{i1}}}&{\color {blue}{a_{i2}}}&\dots &{\color {blue}{a_{in}}}\{\color {green}{a_{j1}}}&{\color {green}{a_{j2}}}&\dots &{\color {green}{a_{jn}}}\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \{\color {green}{a_{j1}}}&{\color {green}{a_{j2}}}&\dots &{\color {green}{a_{jn}}}\{\color {blue}{a_{i1}}}&{\color {blue}{a_{i2}}}&\dots &{\color {blue}{a_{in}}}\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\end{vmatrix}} $$

6. 在行列式中, 某一行/列的每一個元素是兩數之和, 則此行列式可拆分爲兩個相加的行列式. (拆定義式, 把被更改的那一行中加起來的兩個數拆開分配到兩個和式中.) $$ {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \{\color {blue}{a_{i1}}}+{\color {green}{b_{i1}}}&{\color {blue}{a_{i2}}}+{\color {green}{b_{i2}}}&\dots &{\color {blue}{a_{in}}}+{\color {green}{b_{in}}}\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \{\color {blue}{a_{i1}}}&{\color {blue}{a_{i2}}}&\dots &{\color {blue}{a_{in}}}\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \{\color {green}{b_{i1}}}&{\color {green}{b_{i2}}}&\dots &{\color {green}{b_{in}}}\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}} $$

7. 結合性質 4/6 的推論: 某一行/列對位加上另外一行/列的 $k$ 倍, 行列式值不變. (先用性質 6 拆成兩個行列式, 而後第二個行列式顯然不滿秩因此值爲 0.) $$ {\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\a_{j1}&a_{j2}&\dots &a_{jn}\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\a_{j1}{\color {blue}{+ka_{i1}}}&a_{j2}{\color {blue}{+ka_{i2}}}&\dots &a_{jn}{\color {blue}{+ka_{in}}}\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\end{vmatrix}} $$

8. 上下三角矩陣/對角矩陣的行列式爲對角線上元素之積. (顯然除了對角線上的狀況其餘的排列 $p$ 都會形成 $A_{i,p_i}$ 命中至少一個0.) $$ {\begin{vmatrix}{\color {blue}{a_{11}}}&0&\dots &0\0&{\color {blue}{a_{22}}}&\dots &0\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \0&0&\dots &\color {blue}{a_{nn}}\end{vmatrix}}=\prod_{k=1}^n\color {blue}{a_{kk}} $$

計算

按照定義算須要 $O(n\times n!)$ 次乘法. 沒有應用價值. 考慮行列式的性質.

利用上面性質 5/7 便可計算對行列式應用初等行變換後對原行列式值產生的影響.

再加上性質 8, 咱們只要用初等行變換把行列式消成三角陣就能夠算了. 使用高斯消元便可解決. 時間複雜度 $O(n^3)$.

矩陣樹定理

又稱 Kirchhoff's Theorem.

FAQ: 爲啥搜索 Kirchhoff 只能找到一個物理學家?

A: 沒錯這個定理就是物理學家 Gustav R. Kirchhhoff 研究電路的時候順手證的.

內容

一個 $n$ 個點的無向圖 $G$ 的生成樹個數即爲它的 Laplacian 矩陣的任一餘子式的行列式值.

其中 Laplacian 矩陣在 $A_{i,i}$ 處爲點 $i$ 的度數, $A_{i,j}$ 處若點 $i$ 和 $j$ 鄰接則值爲 $-1$, 不然爲 $0$.

或者說 Laplacian 矩陣等於度數矩陣減去鄰接矩陣.

這個定理也適用於多重圖(非簡單圖), 只要把全部自環都丟掉而後把 $-1$ 改成 $i$ 和 $j$ 之間邊的個數的相反數就行了.

因而直接用就完了qaq...