矩陣乘法學習筆記(一)

首先咱們來了解一下前置芝士知識

 

---

 

根據上面矩陣乘法的定義，咱們能夠獲得下面的代碼：

inline mx mul(mx a,mx b) { mx c; F(i,1,3)F(j,1,3)c.m[i][j]=0; F(i,1,3) F(j,1,3) F(k,1,3) (c.m[i][j]+=(a.m[i][k]*b.m[k][j]%m))%=m; return c; }

Matrix_mul

 

因爲矩陣乘法知足結合律，那麼矩陣也就有了快速冪運算：

inline mx ksm(mx a,ll b) { mx ans=a; while(b) { if(b&1) ans=mul(ans,a); a=mul(a,a); b>>=1; } return ans; }

Matrix_ksm

 

---

 

接下來，咱們講解對於簡單的題目，該如何構造矩陣。

一、斐波那契數列

由於n爲long long 範圍內的數。顯然簡單遞推是不現實的。

咱們來思考一下斐波那契數列的性質：

首先 -> f(1)=1，f(2)=1，

其次-> f(3)=f(2)+f(1)。

咱們想辦法構造一個矩陣，讓f(n)在第一行第一列。

 

代碼以下：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstring> #include<queue> #include<vector> #define ll long long using namespace std; const int mod=1e9+7; ll n,t; struct mx { ll m[3][3]; }a,f; mx Mul(mx a,mx b) { mx ans; for(int i=1;i<=2;i++) for(int j=1;j<=2;j++) ans.m[i][j]=0; for(int i=1;i<=2;i++) for(int j=1;j<=2;j++) for(int k=1;k<=2;k++) ans.m[i][j]=(ans.m[i][j]+(a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod)%mod; return ans; } mx M_ksm(mx a,ll b) { mx ans=a; while(b) { if(b&1) ans=Mul(ans,a); a=Mul(a,a); b>>=1; } return ans; } int main() { a.m[1][1]=a.m[1][2]=a.m[2][1]=1, a.m[2][2]=0; f.m[1][1]=f.m[2][1]=1; scanf("%lld",&n); if(n==1||n==2) { cout<<1; return 0; } mx ans=Mul(M_ksm(a,n-3),f); printf("%lld",ans.m[1][1]%mod); }

斐波那契公約數

 

 

---

 

To Be Continued...